-從多個角度摘錄數學文化-註1
大寨壹中？高源街
序
學數學是“好好學+考”和“計算+邏輯”。所以目前中學數學教育尖子生的模式是基礎紮實，知識面窄，沒有很強的創造能力就能攻克難題，動手和應用數學解決實際問題的能力差。他們比較“爭強好勝”但對事物缺乏“好奇心”，所以缺乏創新能力。
數學是人類文化的重要組成部分。數學課程應反映數學的歷史、應用和發展趨勢，以及數學家的思想體系、審美價值、創新精神和數學在人類文明發展中的作用，從而在學生中逐步形成正確的數學觀。
數學不僅是壹門科學，也是壹種文化，即“數學文化”；數學不僅僅是壹些知識，更是壹種素質，即“數學素質”。數學文化是現代人文素質的重要組成部分。
齊教授說:“沒有現代數學，就沒有安全帶文化；沒有現代數學，文化註定要衰落。"
壹門科學的歷史是這門科學最珍貴的部分，因為科學只能給我們知識，而歷史可以給我們智慧。
如果我們談論數學史，我們和我們的學生都能感受到數學的美好和深刻，了解數學的過去、現在和未來，為數學的停滯而擔憂，為數學的進步而鼓掌。
感受數學的跌宕起伏，也可以感受數學家平凡而偉大的人格魅力，體會數學家從事數學研究的喜怒哀樂，在數學道路上的磕磕絆絆，以及對數學執著追求的精神。
介紹
什麽是數學？
問題是數學的核心。哈爾莫斯。
壹個例子比十個定理更有效。牛頓
哲學與數學的統壹:壹個美麗的夢想。笛卡爾
數學家對自然著迷。沒有迷戀，就沒有數學。-諾爾斯
古往今來的數學大猜想！——華·
伽利略:數學是上帝用來書寫宇宙的詞。
愛因斯坦:數學是壹門藝術，如果妳和它交朋友，妳就會明白妳永遠離不開它。
畢達哥拉斯說:“數字統治宇宙。”
科學理論(高斯):“數學，科學的女王；數論，數學女王。”
從數學的學科結構來看，數學是模型。
從數學的過程來說，數學就是推理和計算。
從數學的表現形式來看，數學是壹種符號。
從數學對人的指導來說，數學就是方法論。
從數學的價值來說，數學是工具。
數學的特點
內容的抽象
推理的嚴密性和結論的清晰性
應用的廣泛性
數學文化概述
狹義的“文化”僅指知識，指有文化的人說自己有知識；另壹方面，廣義的“文化”是人類物質財富和精神財富的積累。(9頁)
數學不僅僅是壹系列數字符號，它還包含著人文精神的內涵，體現了人類求真、勇敢、合作、奉獻的精神。這些都是人文精神的升華，這是壹種文化的體現。(9頁)
數學文化的主要特征是:
思維(2)量化(3)發展(4)實用(5)教育(10頁)
數學文化的內涵:
數學文化的理性精神
數學文化的人文精神
數學文化應用的體現
數學文化的相對穩定性和連續性
數學文化的反思、批判與完善
數學文化的世界？(第10-12頁)
數學文化的價值；
數學是壹種精確的思維工具。
數學是壹種科學語言。
數學是推理的藝術。
數學是人類文化的重要組成部分(13-14頁)
數學學科中的數學文化
2.1?由黃金分割產生的數學問題
1.黃金數字是“上帝賜予的數字”，是“美麗的數字”，也是“美麗的密碼”。這個“美麗密碼”裏還有很多“秘密”有待揭曉。(20頁)
2.黃金分割是轉型，但千變萬化，殊途同歸。無論從哪個角度看，都精致而恰到好處；無論從哪個方面看，都有著深刻的內涵、雋永的意義和永恒的魅力。(27頁)
3.黃金分割體現了科學與藝術的統壹，感性與理性的統壹，形象思維與邏輯思維的統壹，是人類認識世界的傑作。黃金分割是上帝給的壹個“美麗密碼”。(27頁)
2.2?神秘的無限世界
1.無限是壹個永恒的謎，數學是壹門無限的科學。(27頁)
2.無窮既是實無窮，也是潛無窮。無限本身就是壹個矛盾，既是壹個需要無限逼近的過程，又是壹個可以研究的實體。正如我國著名數學家許立誌教授所說，“現實中的無限和潛力中的無限只是壹個硬幣的兩面。”(34頁)
希爾伯特說:“無限不僅是人類最偉大的朋友，也是人類心靈安寧的最大敵人。”(36頁)
2.3?勾股定理賞析
1.勾股定理的證明是論證數學的開始。它是歷史上第壹個把形狀和數字聯系起來的定理，也就是第壹個把幾何和代數聯系起來的定理，也是數學家認為探索外星文明和與外星人交流的最佳“語言”。(47頁)
2.中國的數學文化傳統體現了重視應用、數形結合、以計算為主的務實精神。(47頁)
2.4?-壹首沒完沒了的歌。
1.德國數學家康托爾曾指出:“圓周率的精度可以作為衡量壹個國家數學水平的標誌。”(48頁)
2.計算價值。除了上面提到的幾何法、解析法和計算機，還有壹種不需要復雜計算的奇特方法——實驗法。(56頁)
3.圓周率如迷宮，讓人流連忘返；皮就像壹首朦朧的詩，像壹曲悠揚的地域樂章，又像壹座雲霧中的山峰，讓人遐想、陶醉、奮進、攀登無止境！(第61頁)
2.5?中國剩余定理
1.《舒舒九章》中說:“數學是微妙的，不容易窺見其壹斑。我窮的時候雄心勃勃，覺得自己很夢幻。還好我了解到我不會隱瞞。”(65頁)
2.6?七橋問題和壹筆
1.所謂“圖論”，就是用直觀的圖形和數學方法研究組合關系的壹門新學科。(69頁)
2.7幾何中的三大作圖問題
1.厚重的石墻和堅固的牢門禁錮了阿拉克薩戈拉行動的自由，卻禁錮不了他自由的思想。(73頁)
2.8?兩個超越無理數的和
1.在這個公式中，“五朵金花”中，0和1來自算術，I來自代數，E來自分析。它們同時奇妙地盛開著。兩個最著名的超越數E齊頭並進，實數和虛數溶於壹爐。稱之為“數學中最美的公式”是當之無愧的。(86頁)
2.9?莫比烏斯帶和克萊因瓶
1.莫比烏斯帶是將長方形紙帶的壹端扭曲，然後先連接起來制成的。(87頁)
2.莫比烏斯帶，多麽簡單，卻又極其深刻，它在工業和科技領域有著如此多奇妙的應用，同時也給科學家、哲學家、藝術家和作家帶來了如此多新奇的想象。所以我們說，莫比烏斯帶是科學的藝術形象，也是藝術形象的科學。(94頁)
第三章？數學史書籍中的數學文化
3.1?歐幾裏得和《幾何原本》
1.畢達哥拉斯學派師從泰勒斯，主張用數學解釋萬物，提出“萬物皆有數”。從具體事物中抽象出數學，建立自己的理論體系。(95頁)
2.《幾何原本》內容介紹:當時的數學知識是通過公理方法系統化的。理論概要全書共分13冊，包括5個公設、5個公理、119個定義、465個命題，構成了歷史上第壹個數學公理體系。每卷的內容大致可以分為以下幾類。
第壹卷？幾何基礎？
第二卷？幾何代數
第三卷？圓的？
第四卷？正多邊形
第五卷？比例理論？
第六卷？相似的圖形？
八九卷？初等數論？
第10卷？不常見的測量？
第11、12和13卷？立體幾何(第97-98頁)
3.《幾何原本》是現代科學出現的壹個主要因素。偉大科學成就的取得，壹方面需要經驗與實驗相結合，另壹方面需要細致的分析和演繹推理。(98頁)
愛因斯坦在贊美《幾何原本》時說:“世界第壹次見證了壹個邏輯系統的奇跡。這個邏輯系統壹步壹步精確地推進，它的每壹個命題都是不容置疑的——我說的是歐幾裏得猜想推理的這壹驚人勝利，它使人類理性獲得了未來成就所必需的信心。(99頁)
《幾何原本》有以下缺陷:
這個定義是不精確和嚴格的。
公理系統是不完整的
整本書體系不完整。
這本書的結構不合理。
有些校樣是局部的(99-100頁)
《幾何原本》在中國的翻譯和傳播不僅僅是知識的傳播，更是壹種科學方法的傳播。(第103頁)
徐光啟在數學方面的成就；
本文論述了中國數學在明代落後的原因。
討論了數學應用的普遍性。即(1)天文歷；(二)水利工程；(3)氣質；(4)武器和軍事工程的藝術；(5)會計和財務管理；(六)各種建設項目；(7)機械制造；(8)領域測量；(9)醫學；(10)制造時鐘泄漏等定時器。
幾何元素的翻譯。(第103頁)
梁啟超稱《幾何原本》為“精金美玉的不朽之作”。(第104頁)
為了進壹步宣傳《幾何原本》，徐光啟寫了《幾何原本雜談》。開頭他說:“好好學習，就有理由去做壹件事。這本書恰如其分，可以使讀書人擺脫傲慢，實踐關懷；學習者從自己的規律中學習，做出自己聰明的思考。”他很崇拜這本書，“認為”這本書有四點:不用懷疑(懷疑)、不用推測(猜測)、不用嘗試(實驗)、不用改變(改變)；有四種不可能:無法擺脫(離開或失蹤)、無法反駁(反駁)、無法減少(減少)、無法改變前後順序。”(第104頁)
歐幾裏德主張學習必須循序漸進，勤奮努力。我們不贊成機會主義和急功近利，也反對狹隘的實用觀。(第106頁)
幾何元素的結構特征；
？首先是壹個封閉的演繹系統。
？二是內容抽象。
？第三種是上面提到的公理化方法。(第107頁)
3.2?劉徽與《九章算術》
1.九章算術的內容非常豐富。全書采用習題集的形式，共有246道與生產生活實踐相關的應用題，根據內容的不同分為九章，這就是《九章算術》書名的由來。這些問題每壹個都有提問(題目)、回答(答案)和技巧(解題步驟和方法)。有的是壹題壹技，有的是多題壹技，有的是多技。“舒”其實是壹種可用的算法，以計算為工具，是壹種計算布局的算法。(第108頁)
2.“九章”的名稱和主要內容
？第壹章？田方
？第二章？玉米
？第三章？衰退
？第四章？韶光
？第五章？商業工人
？第六章？平均損失
？第七章？過剩或不足
？第八章？等式
？第九章？畢達哥拉斯學派(108頁)
3.劉徽《割包皮》:“割得細，損得少。割之，割之，使之不能割，則與圓合，無所失。”(第115頁)
4.《九章算術》的數學思想和文化意義；
(1)開放式感應系統
(2)算法泛化
？(3)建模方法
？(4)中庸思想的體現
？(5)與儒家經典的關聯(121-122頁)
3.3?周易與二進制
1.易經包括易經和易經。(第123頁)
2.易經最大的特點是改變了易經的人文文化:從迷信到理性，從巫術到哲學。(第133頁)
3.易經向我們展示了壹幅全新的宇宙全貌，在“父”、“天”、“母”的指揮下，宇宙生生不息，生化不息，充滿無限生機和活力。(第133-134頁)
4.《周易》的文化價值；
？(1)易學長河
？(2)宇宙圖景
？(3)數學的起源
？(4)偉大的思想
？(5)文化種子(133-134頁)
第四章？數學史料中的數學文化
4.1?悖論與三次數學危機
1.通常的反叛形式是:“如果妳承認壹個命題是正確的，妳就會推斷它是錯誤的；如果妳認為它不正確，妳就會斷定它是正確的。”悖論往往直接導致“數學危機”。(第135頁)
2.幾個著名的悖論:(1)騙子悖論；(2)上帝全能的悖論；(3)理發師悖論；(第136頁)
3.赫貝索斯悖論與第壹次危機：貝克勒悖論和第二次數學危機；
羅素悖論和第三次數學危機。(137-141頁)
4.2?幾何與代數之間的橋梁——解析幾何
1.笛卡爾非常喜歡這座數學殿堂，這裏的每壹個證明都像壹顆璀璨的珍珠讓人愛不釋手。然而，笛卡爾發現人們只能撿起這些珠子，卻很難將這些獨特的珠子穿起來。笛卡爾主張代數和幾何中所有美好的事物都應該相輔相成，於是他著手尋找壹種新的方法將代數和幾何聯系起來。(第146頁)
4.3?非歐幾裏得幾何
1.愛因斯坦提出相對論，應用黎曼幾何作為數學工具，從而統壹了數學和物理領域的兩次革命。根據相對論，真實空間不是均勻分布的，而是彎曲的。(第158-259頁)
2.非歐幾何的影響是巨大的，是數學史上的壹場革命。它使數學家們從根本上改變了對數學本質的認識以及對數學和物質世界的理解，使人們認識到數學空間和物理空間有著本質的區別。它打破了數學真理是絕對真理的信念，從而使數學失去了確定性和真理性，但數學卻從中獲得了自由，數學家可以探索和構建任何可能的公理系統，只要這種研究是有意義的。(160頁)
4.4?人類思維的結晶——微積分
1.牛頓也對重返校園感到非常興奮。他寫了壹首題為《三冠》的詩，表達了他願意為科學獻身而受苦的心情:
哦，世俗的王冠，我鄙視他，如同我腳下的塵土，
它是沈重的，而最好的只是壹種空虛；
但現在我很高興歡迎荊棘王冠，
雖然疼，但味道以甜為主；
我看見榮耀的皇冠在我面前，
它充滿了幸福和永恒。(第166頁)
萊布尼茨這樣評價牛頓:“在從世界之初到牛頓生活的時代的所有數學中，牛頓的工作超過了壹半。”英國著名詩人蒲柏這樣描述這位偉大的科學家:
自然和自然法則，
沈浸在混亂中，
上帝說，牛頓出生了，
壹切都變得清晰。(第166頁)
詩人華茲華斯在牛頓雕像前寫下這首詩:
雕像矗立的地方。
那是牛頓，壹臉嚴肅和沈默。
大理石總是標記他的心。
獨自航行在思想的奇妙海洋中(167頁)
牛頓本人很謙虛。他說:“我不知道這個世界把我當成了誰，但對我自己來說，就像壹個在海邊玩耍的孩子。有時候我很高興能找到壹塊相對光滑的鵝卵石或者特別漂亮的貝殼，眼前是未被發現的真理之海。”(第167頁)
人們懷著崇敬之情，在他的墓碑上刻下了這樣的話:“他首先以近乎神壹般的思維能力，解釋了行星的運動和圖像，彗星的軌道和大海的潮汐。讓普通人幸福，因為他們中間出現了壹個傑出的人！”(第167頁)
微積分的文化意義；
數學本身的作用
其他學科和工程技術的作用
對人類物質文明的影響
對人類文化的影響(174-175頁)
數學名題中的數學文化
視界:費馬大定理
在數學史上，費馬被譽為“業余數學家之王”。(第176頁)
費馬創造了數學史上最深奧的奧秘！(第177頁)
我從來沒有見過這麽精彩的講座，充滿了精彩和聞所未聞的新思想，以及戲劇性的伏筆，充滿了懸念，直到最後達到高潮。當大家終於意識到自己離證明費馬大定理只有壹步之遙時，空氣中充滿了緊張。(181頁)
懷爾斯在談到對費馬大定理的好感時說，“這是我童年的浪漫，沒有什麽能取代它.....如果妳能在成年後解決對妳來說非常重要的事情，那麽沒有什麽能比這更有意義了。”(第183頁)
懷爾斯在完成費馬大定理的證明後說:“...那段特殊而漫長的探索已經結束，我的內心回歸平靜。”(第183頁)
“費馬大定理就像壹顆耀眼的寶石。它藏在深山峽谷的草叢裏。偶然被人看到了。因為它的美麗，吸引了很多人去得到它，很多人甚至跌入了深淵。但是在征服它的途中，人們發現了豐富的礦藏。這個礦藏不是阿拉丁的寶庫，裏面的東西不壹定都是璀璨的寶石，但卻能帶來壹個新的工業板塊。沒有這個礦藏，這個寶石可以是無價之寶，但是有了這個礦藏，它和其他礦藏壹起，成為了人類文明的壹部分。”(第185頁)
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想是“數學皇冠上的明珠”。(第185頁)
陳景潤在崎嶇的數學山路上跋涉，艱難地保持著步伐。在抽象思維的高原上，他登上陡峭的懸崖，下降，再上升！吃霜喝雪，上壹步就是壹步！他氣喘籲籲，大汗淋漓，常常覺得自己支撐不下去了，但還是爬了上去。使用四肢和手指和爪子真的很費力！多少次上上下下，連鐵鞋都已經磨破了。(190頁)
作家徐遲，用詩意的語言，贊嘆論文的壹頁頁，數學的醉人之美！“多麽感人的壹頁又壹頁！這些是人類思想的花朵。這就是空谷中的蘭花，寒夜中的杜鵑，老林中的人參，冰山上的雪蓮，山頂上的靈芝，抽象思維的牡丹。.....(192頁)
5.3?四色猜想
1.英國數學家西華德老當益壯、孜孜不倦、頑強攻關的精神值得學習。(第196頁)
2.時至今日，仍有許多數學家甚至業余數學家不滿足於計算機所取得的成就，都在尋找四色問題的壹個邏輯證明。(第199頁)
5.4?希爾伯特的23個數學問題及其影響
1.希爾伯特在演講中指出:“數學問題的寶藏是無窮無盡的。壹個問題壹旦解決，無數新的問題就會取而代之。”他還指出:“數學真正進步的每壹步都與更強大的工具和更簡單的方法的發現密切相關，這將有助於理解現有的理論，並拋開舊的和復雜的東西。..... "(204頁)
5.5?21世紀的七個數學問題及其反響
1.懸賞的七大難題就像數學領域的“珠穆朗瑪峰”。在珠穆朗瑪峰的政府中，雖然最終登頂的只有少數人，但成功登頂者留下的生存裝備和技能，將讓無數後來者受益。。德夫林認為，這就是提出懸賞七大難題的意義所在。(205頁)
2.我們堅信這些獎勵問題的解決將類似於開啟壹個我們從未想象過的數學新世界。(209頁)