直到18世紀，法國數學家達朗貝爾在進行研究中，給函數重新下了壹個定義，他認為，所謂變量的函數，就是指由這些變量和常量所組成的解析表達式，即用解析式表達函數關系。後來瑞士的數學家歐拉又把函數的定義作了進壹步的規範，他認為函數是能描畫出的壹條曲線。我們常見到的壹次函數的圖像、二次函數的圖像、正比例函數的圖像、反比例的圖像等都是用圖像法表示函數關系的。如果用達朗貝爾和歐拉的方法來表達函數關系，各自有它們的優點，但是如果作為函數的定義，還有欠缺。因為這兩種方法都還停留在表面現象上，而沒有提示出函數的本質來。
19世紀中期，法國數學家黎緊吸收了萊布尼茨、達朗貝爾和歐拉的成果，第壹次準確地提出了函數的定義：如果某壹個量依賴於另壹個量，使後壹個量變化時，前壹個量也隨著變化，那麽就把前壹個量叫做後壹個量的函數。黎曼定義的最大特點在於它突出了就是之間的依賴、變化的關系，反映了函數概念的本質屬性。
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