湖北省黃石市下陸中學 宋毓彬
壹元壹次方程應用題是初壹數學學習的重點，也是壹個難點。主要困難體現在兩個方面：壹是難以從實際問題中找出相等關系，列出相應的方程；二是對數量關系稍復雜的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知數的式子來表示出這些基本量的相等關系，導致解題時無從下手。
事實上，方程就是壹個含未知數的等式。列方程解應用題，就是要將實際問題中的壹些數量關系用這種含有未知數的等式的形式表示出來。而在這種等式中的每個式子又都有自身的實際意義，它們分別表示題設中某壹相應過程的數量大小或數量關系。由此，解方程應用題的關鍵就是要“抓住基本量，找出相等關系”。
下面就壹元壹次方程中常見的幾類應用題作逐壹講評，供同學們學習時參考。
1.行程問題
行程問題中有三個基本量：路程、時間、速度。關系式為：①路程=速度×時間；②速度=；③時間=。
可尋找的相等關系有：路程關系、時間關系、速度關系。在不同的問題中，相等關系是靈活多變的。如相遇問題中多以路程作相等關系，而對有先後順序的問題卻通常以時間作相等關系，在航行問題中很多時候還用速度作相等關系。
航行問題是行程問題中的壹種特殊情況，其速度在不同的條件下會發生變化：①順水（風）速度=靜水（無風）速度+水流速度（風速）；②逆水（風）速度=靜水（無風）速度－水流速度（風速）。由此可得到航行問題中壹個重要等量關系：順水（風）速度－水流速度（風速）＝逆水（風）速度+水流速度（風速）＝靜水（無風）速度。
例1．某隊伍450米長，以每分鐘90米速度前進，某人從排尾到排頭取東西後，立即返回排尾，速度為3米/秒。問往返***需多少時間？
講評：這壹問題實際上分為兩個過程：①從排尾到排頭的過程是壹個追及過程，相當於最後壹個人追上最前面的人；②從排頭回到排尾的過程則是壹個相遇過程，相當於從排頭走到與排尾的人相遇。
在追及過程中，設追及的時間為x秒，隊伍行進（即排頭）速度為90米/分=1.5米/秒，則排頭行駛的路程為1.5x米；追及者的速度為3米/秒，則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關系“追趕者的路程－被追者的路程=原來相隔的路程”，有：
3x－1.5x=450 ∴x=300
在相遇過程中，設相遇的時間為y秒，隊伍和返回的人速度未變，故排尾人行駛的路程為1.5y米，返回者行駛的路程為3y米，由相遇問題中的相等關系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有： 3y+1.5y=450 ∴y=100
故往返***需的時間為 x+y=300+100=400（秒）
例2 汽車從A地到B地，若每小時行駛40km，就要晚到半小時：若每小時行駛45km，就可以早到半小時。求A、B 兩地的距離。
講評：先出發後到、後出發先到、快者要早到慢者要晚到等問題，我們通常都稱其為“先後問題”。在這類問題中主要考慮時間量，考察兩者的時間關系，從相隔的時間上找出相等關系。本題中，設A、B兩地的路程為x km，速度為40 km/小時，則時間為小時；速度為45 km/小時，則時間為小時，又早到與晚到之間相隔1小時，故有
－ = 1 ∴ x = 360
例3 壹艘輪船在甲、乙兩地之間行駛，順流航行需6小時，逆流航行需8小時，已知水流速度每小時2 km。求甲、乙兩地之間的距離。
講評：設甲、乙兩地之間的距離為x km，則順流速度為km/小時，逆流速度為km/小時，由航行問題中的重要等量關系有：
－2= +2 ∴ x = 96
2.工程問題
工程問題的基本量有：工作量、工作效率、工作時間。關系式為：①工作量=工作效率×工作時間。②工作時間=，③工作效率=。
工程問題中，壹般常將全部工作量看作整體1，如果完成全部工作的時間為t，則工作效率為。常見的相等關系有兩種：①如果以工作量作相等關系，部分工作量之和=總工作量。②如果以時間作相等關系，完成同壹工作的時間差=多用的時間。
在工程問題中，還要註意有些問題中工作量給出了明確的數量，這時不能看作整體1，此時工作效率也即工作速度。
例4． 加工某種工件，甲單獨作要20天完成，乙只要10就能完成任務，現在要求二人在12天內完成任務。問乙需工作幾天後甲再繼續加工才可正好按期完成任務？
講評：將全部任務的工作量看作整體1，由甲、乙單獨完成的時間可知，甲的工作效率為，乙的工作效率為，設乙需工作x 天，則甲再繼續加工（12－x）天，乙完成的工作量為，甲完成的工作量為，依題意有 +=1 ∴x =8
例5． 收割壹塊麥地，每小時割4畝，預計若幹小時割完。收割了後,改用新式農具收割，工作效率提高到原來的1.5倍。因此比預計時間提前1小時完工。求這塊麥地有多少畝？
講評：設麥地有x畝，即總工作量為x畝，改用新式工具前工作效率為4畝/小時，割完x畝預計時間為小時，收割畝工作時間為/4=小時；改用新式工具後，工作效率為1.5×4=6畝/小時，割完剩下畝時間為/6=小時，則實際用的時間為（+）小時，依題意“比預計時間提前1小時完工”有
－（+）=1 ∴ x =36
例6. 壹水池裝有甲、乙、丙三個水管，加、乙是進水管，丙是排水管，甲單獨開需10小時註滿壹池水，乙單獨開需6小時註滿壹池水，丙單獨開15小時放完壹池水。現在三管齊開，需多少時間註滿水池？
講評：由題設可知，甲、乙、丙工作效率分別為、、－（進水管工作效率看作正數，排水管效率則記為負數），設x小時可註滿水池，則甲、乙、丙的工作量分別為，、－，由三水管完成整體工作量1，有 +－＝1 ∴ x = 5
3．經濟問題
與生活、生產實際相關的經濟類應用題，是近年中考數學創新題中的壹個突出類型。經濟類問題主要體現為三大類：①銷售利潤問題、②優惠（促銷）問題、③存貸問題。這三類問題的基本量各不相同，在尋找相等關系時，壹定要聯系實際生活情景去思考，才能更好地理解問題的本質，正確列出方程。
⑴銷售利潤問題。利潤問題中有四個基本量：成本（進價）、銷售價（收入）、利潤、利潤率。基本關系式有：①利潤=銷售價（收入）－成本（進價）成本（進價）=銷售價（收入）－利潤；②利潤率=利潤=成本（進價）×利潤率。在有折扣的銷售問題中，實際銷售價=標價×折扣率。打折問題中常以進價不變作相等關系。
⑵優惠（促銷）問題。日常生活中有很多促銷活動，不同的購物（消費）方式可以得到不同的優惠。這類問題中，壹般從“什麽情況下效果壹樣分析起”。並以求得的數值為基準，取壹個比它大的數及壹個比它小的數進行檢驗，預測其變化趨勢。
⑶存貸問題。存貸問題與日常生活密切相關，也是中考命題時最好選取的問題情景之壹。存貸問題中有本金、利息、利息稅三個基本量，還有與之相關的利率、本息和、稅率等量。其關系式有：①利息=本金×利率×期數；②利息稅=利息×稅率；③本息和（本利）=本金+利息－利息稅。
例7.某商店先在廣州以每件15元的價格購進某種商品10件，後來又到深圳以每件12.5元的價格購進同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時，要獲利12％，那麽這種商品的銷售價應定多少？
講評：設銷售價每件x 元，銷售收入則為（10+40）x元，而成本（進價）為（5×10+40×12.5），利潤率為12％，利潤為（5×10+40×12.5）×12％。由關系式①有
（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％ ∴x=14.56
例8.某種商品因換季準備打折出售，如果按定價七五折出售，則賠25元，而按定價的九折出售將賺20元。問這種商品的定價是多少？
講評：設定價為x元，七五折售價為75％x，利潤為－25元，進價則為75％x－（－25）=75％x+25；九折銷售售價為90％x，利潤為20元，進價為90％x－20。由進價壹定，有
75％x+25=90％x－20 ∴ x = 300
例9. 李勇同學假期打工收入了壹筆工資，他立即存入銀行，存期為半年。整存整取，年利息為2.16％。取款時扣除20％利息稅。李勇同學***得到本利504.32元。問半年前李勇同學***存入多少元？
講評：本題中要求的未知數是本金。設存入的本金為x元，由年利率為2.16％，期數為0.5年，則利息為0.5×2.16％x，利息稅為20％×0.5×2.16％x，由存貸問題中關系式③有 x +0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32 ∴ x = 500
例10.某服裝商店出售壹種優惠購物卡，花200元買這種卡後，憑卡可在這家商店8折購物，什麽情況下買卡購物合算？
講評：購物優惠先考慮“什麽情況下情況壹樣”。設購物x元買卡與不買卡效果壹樣，買卡花費金額為（200+80％x）元，不買卡花費金額為x元，故有
200+80％x = x ∴ x = 1000
當x ＞1000時，如x=2000 買卡消費的花費為：200+80％×2000=1800（元）
不買卡花費為：2000（元 ） 此時買卡購物合算。
當x ＜1000時，如x=800 買卡消費的花費為：200+80％×800=840（元）
不買卡花費為：800（元） 此時買卡不合算。
4.溶液（混合物）問題
溶液（混合物）問題有四個基本量：溶質（純凈物）、溶劑（雜質）、溶液（混合物）、濃度（含量）。其關系式為：①溶液=溶質+溶劑（混合物=純凈物+雜質）；②濃度=×100％=×100％純度（含量）=×100％=×100％；③由①②可得到：溶質=濃度×溶液=濃度×（溶質+溶劑）。在溶液問題中關鍵量是“溶質”：“溶質不變”，混合前溶質總量等於混合後的溶質量，是很多方程應用題中的主要等量關系。
例11.把1000克濃度為80％的酒精配成濃度為60％的酒精，某同學未經考慮先加了300克水。⑴試通過計算說明該同學加水是否過量？⑵如果加水不過量，則應加入濃度為20％的酒精多少克？如果加水過量，則需再加入濃度為95％的酒精多少克？
講評：溶液問題中濃度的變化有稀釋（通過加溶劑或濃度低的溶液，將濃度高的溶液的濃度降低）、濃化（通過蒸發溶劑、加溶質、加濃度高的溶液，將低濃度溶液的濃度提高）兩種情況。在濃度變化過程中主要要抓住溶質、溶劑兩個關鍵量，並結合有關公式進行分析，就不難找到相等關系，從而列出方程。
本題中，⑴加水前，原溶液1000克，濃度為80％，溶質（純酒精）為1000×80％克；設加x克水後，濃度為60％，此時溶液變為（1000+x）克，則溶質（純酒精）為（1000+x）×60％克。由加水前後溶質未變，有（1000+x）×60％=1000×80％
∴x = ＞300 ∴該同學加水未過量。
⑵設應加入濃度為20％的酒精y克，此時總溶液為（1000+300+y）克，濃度為60％，溶質（純酒精）為（1000+300+y）×60％；原兩種溶液的濃度分別為1000×80％、20％y，由混合前後溶質量不變，有（1000+300+y）×60％=1000×80％+20％ ∴ y=50
5.數字問題
數字問題是常見的數學問題。壹元壹次方程應用題中的數字問題多是整數，要註意數位、數位上的數字、數值三者間的關系：任何數=∑（數位上的數字×位權），如兩位數=10a+b；三位數=100a+10b+c。在求解數字問題時要註意整體設元思想的運用。
例12. 壹個三位數，三個數位上的和是17，百位上的數比十位上的數大7，個位上的數是十位上的數的3倍。求這個數。
講評：設這個數十位上的數字為x，則個位上的數字為3x，百位上的數字為（x+7），這個三位數則為100（x+7）+10x+3x。依題意有（x+7）+x+3x=17 ∴x=2
∴100（x+7）+10x+3x=900+20+6=926
例13. 壹個六位數的最高位上的數字是1，如果把這個數字移到個位數的右邊，那麽所得的數等於原數的3倍，求原數。
講評：這個六位數最高位上的數移到個位後，後五位數則相應整體前移1位，即每個數位上的數字被擴大10倍，可將後五位數看成壹個整體設未知數。設除去最高位上數字1後的5位數為x，則原數為10+x，移動後的數為10x+1，依題意有 10x+1=10+x
∴x = 42857 則原數為142857
6.調配（分配）與比例問題
調配與比例問題在日常生活中十分常見，比如合理安排工人生產，按比例選取工程材料，調劑人數或貨物等。調配問題中關鍵是要認識清楚部分量、總量以及兩者之間的關系。在調配問題中主要考慮“總量不變”；而在比例問題中則主要考慮總量與部分量之間的關系，或是量與量之間的比例關系。
例14.甲、乙兩書架各有若幹本書，如果從乙架拿100本放到甲架上，那麽甲架上的書比乙架上所剩的書多5倍，如果從甲架上拿100本書放到乙架上，兩架所有書相等。問原來每架上各有多少書？
講評：本題難點是正確設未知數，並用含未知數的代數式將另壹書架上書的本數表示出來。在調配問題中，調配後數量相等，即將原來多的壹方多出的數量進行平分。由題設中“從甲書架拿100本書到乙書架，兩架書相等”，可知甲書架原有的書比乙書架上原有的書多200本。故設乙架原有x本書，則甲架原有（x+200）本書。從乙架拿100本放到甲架上，乙架剩下的書為（x－100）本，甲架書變為（x+200）+100本。又甲架的書比乙架多5倍，即是乙架的六倍，有 （x+200）+100=6（x－100） ∴x=180 x+200=380
例15.教室內***有燈管和吊扇總數為13個。已知每條拉線管3個燈管或2個吊扇，***有這樣的拉線5條，求室內燈管有多少個？
講評：這是壹道對開關拉線的分配問題。設燈管有x支，則吊扇有（13－x）個，燈管拉線為條，吊扇拉線為條，依題意“***有5條拉線”，有+＝5∴x=9
例16.某車間22名工人參加生產壹種螺母和螺絲。每人每天平均生產螺絲120個或螺母200個，壹個螺絲要配兩個螺母，應分配多少名工人生產螺絲，多少名工人生產螺母，才能使每天生產的產品剛好配套？
講評：產品配套（工人調配）問題，要根據產品的配套關系（比例關系）正確地找到它們間得數量關系，並依此作相等關系列出方程。本題中，設有x名工人生產螺母，生產螺母的個數為200x個，則有（22－x）人生產螺絲，生產螺絲的個數為120（22－x）個。由“壹個螺絲要配兩個螺母”即“螺母的個數是螺絲個數的2倍”，有 200x=2×120（22－x）
∴x=12 22－x=10
例17. 地板磚廠的坯料由白土、沙土、石膏、水按25∶2∶1∶6的比例配制攪拌而成。現已將前三種料稱好，公5600千克，應加多少千克的水攪拌？前三種料各稱了多少千克？
講評：解決比例問題的壹般方法是：按比例設未知數，並根據題設中的相等關系列出方程進行求解。本題中，由四種坯料比例25∶2∶1∶6，設四種坯料分別為25x、2x、x、6x千克，由前三種坯料***5600千克，有 25x+2x+x=5600
∴ x=200 25x=5000 2x=400 x=200 6x=1200
例18. 蘋果若幹個分給小朋友，每人m個余14個，每人9個，則最後壹人得6個。問小朋友有幾人？
講評：這是壹個分配問題。設小朋友x人，每人分m個蘋果余14個，蘋果總數為mx+14，每人9個蘋果最後壹人6個，則蘋果總數為9（x－1）+6。蘋果總數不變，有
mx+14＝9（x－1）+6 ∴x＝ ∵x、m均為整數 ∴9－m＝1 x＝17
例19. 出口1噸豬肉可以換5噸鋼材，7噸豬肉價格與4噸砂糖的價格相等，現有288噸砂糖，把這些砂糖出口，可換回多少噸鋼材？
講評：本題可轉換成壹個比例問題。由豬肉∶鋼材=1∶5，豬肉∶砂糖=7∶4，得豬肉∶鋼材∶砂糖=7∶35∶4，設可換回鋼材x噸，則有 x∶288=35∶4 ∴x=2620
7.需設中間（間接）未知數求解的問題
壹些應用題中，設直接未知數很難列出方程求解，而根據題中條件設間接未知數，卻較容易列出方程，再通過中間未知數求出結果。
例20.甲、乙、丙、丁四個數的和是43，甲數的2倍加8，乙數的3倍，丙數的4倍，丁數的5倍減去4，得到的4個數卻相等。求甲、乙、丙、丁四個數。
講評：本題中要求4個量，在後面可用方程組求解。若用壹元壹次方程求解，如果設某個數為未知數，其余的數用未知數表示很麻煩。這裏由甲、乙、丙、丁變化後得到的數相等，故設這個相等的數為x，則甲數為，乙數為，丙數為，丁數為，由四個數的和是43，有 +++=43 ∴x = 36
∴ =14 =12 =9 =8
例21.某縣中學生足球聯賽***賽10輪（即每隊均需比賽10場），其中勝1場得3分，平1場得1分，負1場得0分。向明中學足球隊在這次聯賽中所負場數比平場數少3場，結果公得19分。向明中學在這次聯賽中勝了多少場？
講評：本題中若直接將勝的場次設為未知數，無法用未知數的式子表示出負的場數和平的場數，但設平或負的場數，則可表示出勝的場數。故設平x場，則負x－3場，勝10－（x+x－3）場，依題意有 3[10－（x+x－3）]+x=19 ∴x=4 ∴ 10－（x+x－3）=5
8.設而不求（設中間參數）的問題
壹些應用題中，所給出的已知條件不夠滿足基本量關系式的需要，而且其中某些量不需要求解。這時，我們可以通過設出這個量，並將其看成已知條件，然後在計算中消去。這將有利於我們對問題本質的理解。
例22.壹艘輪船從重慶到上海要5晝夜，從上海駛向重慶要7晝夜，問從重慶放竹牌到上海要幾晝夜？（竹排的速度為水的流速）
分析：航行問題要抓住路程、速度、時間三個基本量，壹般有兩種已知量才能求出第三種未知量。本題中已知時間量，所求也是時間量，故需在路程和速度兩個量中設壹個中間參數才能列出方程。本題中考慮到路程量不變，故設兩地路程為a公裏，則順水速度為，逆水速度為，設水流速度為x，有－x＝+x ∴x＝，又設竹排從重慶到上海的時間為y晝夜，有 ·x=a ∴x=35
例23. 某校兩名教師帶若幹名學生去旅遊，聯系兩家標價相同的旅行社，經洽談後，甲旅行社的優惠條件是：1名教師全部收費，其余7．5折收費；乙旅行社的優惠條件是：全部師生8折優惠。
⑴當學生人數等於多少人時，甲旅行社與乙旅行社收費價格壹樣？
⑵若核算結果，甲旅行社的優惠價相對乙旅行社的優惠價要便宜，問學生人數是多少？
講評：在本題中兩家旅行社的標價和學生人數都是未知量，又都是列方程時不可少的基本量，但標價不需求解。⑴中設標價為a元，學生人數x人，甲旅行社的收費為a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收費為0.8a（x+2）元，有 a+0.75a（x+1）=0.8a（x+2） ∴ x=3
⑵中設學生人數為y人，甲旅行社收費為a+0.75a（x+1）元，乙旅行社收費為0.8a（x+2）元，有 0.8a（x+2）－［a+0.75a（x+1）］＝×0.8a（x+2） ∴x=8。