壹元五次或更高次方程求根沒有壹般的代數公式，數學史上稱之為阿貝爾定理，結果證明是壹個錯誤的定理。讓我來證明他的錯誤。
為了讓大家更清楚我的論證過程，首先我簡單介紹壹下我的大致論證思路。我也這麽認為能不能找出求方程根公式的求導規律？事實證明，完全有可能。有兩個新的數學定理還沒有被人類認識到，可以幫助我們。壹個是同解方程的判別定理。這個定理的大意是，任意兩個壹元高次方程，如果相互相等，就可以通過兩個方程的系數關系來判斷。判別式可以由維耶塔定理推出。判別式等於零，它們壹定是互為相同的方程。否則壹定不是同解方程。
第二個是必須找到公共解方程的定理。總的思路是，兩個壹元高階方程有相同的解，就壹定能導出它們的公共解方程。後來思考如何把兩個新的數學定理應用到壹元高次方程的求根公式的推導中。結果我們把求方程根的問題轉化為求另壹個方程的系數的問題。但是，有兩個或多個系數的另壹個方程具有相同的解決方案。只要在判別式等於零的函數關系周圍取另壹個方程的系數，就可以得到與原方程有相同解的方程。為了找到待解方程的所有系數，我嘗試用公式匹配壹個括號中的壹個系數。那麽，為了達到這個目的，其他系數應該取什麽值呢？結果我解了壹個約化方程。括號中的系數可以通過已經求出的系數和方程的平方根求出。然後計算具有相同解的方程。然後根據方程必解定理計算同樣的解。
如何推導判別式來驗證兩個方程是否為同解方程？我做這個。假設壹個方程的所有根都是未知數X1，X2，X3等。將這些未知根代入另壹個方程的左側，每個未知根視為壹個因子。相乘後，每個因子展開。展開後以阿貝爾族的形式排列，然後通過維耶塔定理根與系數的關系，換算出所有的未知根X1，X2，X3等。轉化為方程系數的已知個數，這樣系數的判別式就出來了。如果判別式等於零，這兩個方程壹定是同解方程。否則壹定不是同解方程。對了，判別式定理還可以用來快速消去高階方程。
那麽第二個定理是怎麽推導出來的呢？我們知道兩個方程之間有幾種情況:壹種是兩個壹元方程之間有多解，即壹個方程的所有解完全存在於另壹個方程中，這實際上是壹個方程的左邊可以完全除另壹個方程的左邊。另壹種是壹個方程和另壹個方程有多個或同壹個解，但不是另壹個方程的所有解。這種情況其實就是壹個方程的左邊不能完全除盡另壹個方程的左邊，壹定有余數，但是余數並沒有以常數的形式出現。如果把余數寫成壹個等於零的方程，那麽余數等於零的方程壹定包含兩個方程的同壹個根，因為高次方程的左邊可以分成兩部分，即另壹個方程的左邊部分和剩下的不能除盡的余數。如果被另壹個方程的任意壹個根代替，可除數部分為零，但余數部分不同。如果被兩個方程之間的同解的任意壹個根所替代，則為零，否則兩個方程不會有同解。所以余數等於零的方程包含了兩個方程的所有公共根，這個方程的次數至少比另壹個方程的次數低。第三是兩個方程沒有相同的解。不存在同解的方程，對我們研究和推導公式沒有幫助，不再討論。在第壹種情況下，我們無法用降階法求解。我們需要的是第二種情況。在第二種情況下，如果余數等於零的方程包含兩個方程的同解的根，我們也可以消去雜質的根。具體方法是把余數等於零的方程變成最高階系數1的形式，把前面兩個方程中階數較低的方程左邊分成兩部分，其中壹部分可以把改變後的方程左邊和不能除盡的余數分開。同樣的，
因為有兩個新的定理可以利用，利用判別式定理，我們可以求出另壹個方程在判別式等於零附近與原方程有相同解的系數。只要另壹個方程在正常情況下不包含原方程的全部解，就可以根據公解方程必求定理得到壹個約化方程。壹元三次方程和四次方程的求根公式推導過程比較簡單。只要推導出與壹元二次方程同解的方程組，然後通過求解通解方程得到求根公式，那麽壹元五次方程就復雜得多，涉及到如何利用冗余變量把多元方程變成特殊的高階方程的過程。我花了五年時間思考這個問題，終於在2004年找到了規律。下面是壹元五次方程的求根公式的推導。
同理，只要我找到壹個與壹元五次方程有相同解的壹元高階方程，並且這個高階方程通常不包含壹元五次方程的所有根，根據公解方程必求定理，我們就可以得到壹個低於五次方程的壹元方程。假設有壹個壹元十壹次方程和這個壹元五次方程是同解方程。於是，求方程根的問題就轉化為求另壹個方程的系數的問題，兩個方程可以分別寫成最高冪系數為1的基本形式。方程的系數從高到低都用字母表示。首先推導兩個方程同解的判別式，推導過程如下；
將壹元五次方程的五個未知根X1、X2、X3、X4、X5分別代入壹元五次方程的左側，每根代入做壹個因子。* * *五因子相乘並展開。根據阿貝爾族的排列形式和根與系數的等價代換，所有按阿貝爾族排列的根都可以轉化為壹元五次方程的系數。
判別式推導時，壹元五次方程的系數在每個因子中以壹次冪的形式出現，五個因子相乘和展開的結果必然是十壹次冪的代數表達式，而X1，X2，X3，X4，X5都可以用壹元五次方程的系數來表示，在判別式等於零的中心周圍可以得到壹元五次方程的系數的值。我可以通過繞過判別式等於零的方程，找到壹元五次方程的所有系數。在判別式等於零的方程中，我們可以從十壹個系數中選擇壹個系數，使之成為壹個特殊的可解壹元五次方程，因為我們可以隨意設置其他十個系數的值，所以使之成為壹個特殊的壹元五次方程應該沒有問題。那麽什麽樣的壹元五次方程可以用人類之前掌握的知識來求解呢？壹是未知數都在壹個五次方的括號內，二是系數之間還有另壹種特殊的關系，三是特殊的壹元五次方程可以參考壹元三次方程公式創始人的做法。經過多次嘗試，前兩種可能性被排除，我們再次嘗試，看看它是否可以成為最後壹個方程。有人會問那是什麽方程？這裏我必須介紹壹下特殊的方程，即方程的五次項的系數是1，方程的四次項和二次項的系數是0，方程的三次項的系數的平方是第壹次平方項的系數的-5倍。這個特殊方程可以用推導壹元三次公式的類似方法來求解。對了，有壹個特殊的壹元七次方程，暫時也可以用來推導公式。因為版面不支持上標和下標，所以會把上標和下標和水平標簽混淆。請花點時間自己驗證壹下。
為了把壹元五次方程中的四次項的系數變為零，我們都知道可以參照壹元二次方程的公式，變成壹個新的方程。新方程的未知數包含了原方程的未知數，其他十個系數不需要設置其他值。它成為新方程後，如果新方程的其他系數被專門化，就需要設置原來的十個系數。先將新方程的平方系數設置為零，實際上是壹個十系數的三次函數關系，而新方程第四個系數的平方設置為新方程第壹個系數的-5倍，實際上是壹個十系數的四次函數關系。這兩個關系構成了壹個十元二次方程組。我們仍然使用設置冗余元素值的方法來實現我們的匹配立方體。我們的任務是將上述方程中的第壹個關系式變為只有兩個元素的代數表達式乘以只有壹個元素的代數表達式，括號立方等於零的方程。做法如下:
從上述多元方程的第壹個關系中選擇壹個元素作為公式對象，並使用其他元素的設置值來幫助此元素適應括號立方體。同上，將平方項系數匹配為零，不需要為其他冗余元素設置附加值，只是變成了新元素的方程。我們只需要把新元素方程的壹階系數設為0的函數，其實就是其他九個元素的二次函數關系。在此設置之後，壹個元素將在括號立方體中完全公式化，其他九個元素將是括號外的三次多項式。這個時候，我們不必急於在壹個括號立方體中選擇另壹個元素來匹配。我們還有未完成的任務。前面我們把新元素方程第壹個平方項的系數設為零，但仍然是多元二次函數的形式。當用其他元素來表示其中壹個時，肯定有偏旁，所以要降階。減少訂單的方法如下:
因為是二次函數，當我們在方括號內選擇壹個元素的全公式時，可以不為其他元素設置其他值，而方括號外的另壹個也在另壹個括號的平方內，所以我們逐個選擇元素公式，這樣就變成了9個括號和壹個常數項，* *中有10項。如果我們選擇這個函數下的前8個括號中的每壹個，那麽最後壹個括號和常數項之和壹定為零。通過最後壹個符號與常數項之和等於零的方程，可以找到壹個元素值，將找到的元素代入方程組，就成為壹個特殊的八變量二次四次方程組，方程組中的每個公式都可以轉化為多元線性方程。所以方程組變成了八元四次方程組。如果把八元中的四個元素暫時當作已知數來找其他四個元素，那麽其他四個元素中的每壹個都必須用那四個元素來表示，把所表示的情況，連同已經直接找到的元素壹起代入正方體括號中，只合並相似項，不展開。立方括號也被替換，但是相似的術語應該被擴展和合並。因此，三次括號包含五個元素，括號外只有四個元素的代數表達式是可用的。現在，妳可以從括號外的代數表達式中選擇壹個元素，整個公式都在壹個括號立方體內。為了將所選元素的三次系數變為1，只需將整個方程除以該系數即可。如上，需要將其匹配成缺失平方項的形式，沒有其他元素。當新元素的第壹個平方項的系數設置為零時，另壹個元素在另壹個三次括號中全部匹配，設置值的結果是壹個三元二次函數。和上面壹樣，這個三元二次函數可以匹配成三個括號和壹個常數項的平方和或差，前兩個括號的平方和或差設為零，那麽後壹個括號和常數的平方和或差壹定為零。壹個元素值可以由最後壹個括號的平方和常數組成的方程求解。代入前兩個括號的平方和或差等於零的方程，將項移至平方，成為二元壹次方程。通過這個二元線性方程，壹個元素值可以用另壹個元素來表示。將此表達式與計算出的元素值壹起代入第壹個匹配的括號立方體，成為只有三個元素的括號立方體，再代入第二個匹配的括號立方體，成為只有兩個元素的括號立方體。代入括號立方外的函數，就成了元素的代數形式。如果把括號外的代數表達式設為零，就可以解壹元三次方程，求出後代會在兩個先後匹配過的括號立方體中，這樣前壹個括號立方體只包含兩個元素，後壹個括號立方體只包含壹個元素。通過移動項，我們可以打開壹個只有兩個元素的平方方程。這樣，原十元二次方程組中的1就變成了壹個二次方程，第壹個多元方程組中第二個方程的消去過程要與1方程的消去過程同步，第二個方程就變成了二次方程。因為這樣的方程組是人類現有的知識可以解決的。將十個系數的解代入多元五次方程，得到壹個特殊的壹元五次方程，得到最後壹個系數。此時已經計算出與原壹元五次方程有相同解的壹元十壹次方程。有人問，這樣算出來的方程會包含壹元五次方程的所有解嗎？現在可以分析了。壹元五次方程的左公式除以壹元十壹次方程的左公式後，余數中的未知系數全部由十壹系數的壹階代數出現，求解特殊的五次方程只需求解這些系數的最後壹個系數，且必須開五次平方根，這是其他元素無法消除的。根據通解方程的求導定理，壹般可以推導出低於五次方的壹維方程。所以阿貝爾定理是錯誤的。
利用新定理，可以將高階多元方程快速轉化為壹元方程。
如何快速把壹個高次方程組變成壹元高次方程？這是我國民間科學研究的壹大成果，即利用民間發展的同解方程判別定理，可以直接引入快速消元。這裏必須介紹壹下同解方程的判別定理。
同解方程的判別定理是什麽？
指任意兩個壹元高階方程。如果它們的系數之間有固定的函數關系，它們壹定是同解方程。這個固定的函數關系可以通過維耶塔定理推導出來，推導過程如下:
如何推導判別式來驗證兩個方程是否為同解方程？我做這個。假設壹個方程的所有根都是未知數X1，X2，X3等。將這些未知根代入另壹個方程的左側，每個未知根視為壹個因子。相乘後，每個因子展開。展開後以阿貝爾族的形式排列，然後通過維耶塔定理根與系數的關系，換算出所有的未知根X1，X2，X3等。轉化為方程系數的已知個數，這樣系數的判別式就出來了。如果判別式等於零，這兩個方程壹定是同解方程。否則壹定不是同解方程。
如何利用這個定理快速將多元方程消元成壹元方程？
通過維耶塔定理，可以先計算出驗證兩類壹元方程有相同解的各種代數判別式，並將其列為壹系列永久字典代數表達式，用於方程的快速消元。在各種方程中，每壹類都選擇同壹個未知數，每壹類都看作這個未知數有同解的壹元方程，而其他未知數都看作那個未知數的系數，這樣每兩類寫出壹個判別式等於零的方程，判別式等於零的方程就是自然的。所以繼續用這個方法，最後變成壹維高階方程。