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同等學力組合數學經典題目

1.有200本相同的書,欲擺放在四個不同的書櫃裏,使得每個書櫃擺放的書的數目只可能是20,40,60,80,100本,問有多少種擺放的方法?

答:總***有7中方案,每種方案方法數如下:

方案1: 20? 20? 60? 100 ?

先選定2個存放20的,剩下的2個不同的數做排列

C(4,2)* P(2,2) = 12?

方案2: 20? 40? 60? 80

做全排

P(4,4) = 24

方案3: 20? 40? 40? 100

先選定2個存放40的,剩下的20個不同的數做排列?

C(4,2) *P(2,2) = 12

方案4: 20? 60? 60? 60

先選定3個存放60的,剩下的自然存放20

C(4,3) = 4

方案5: 20? 80? 80? 20?

先選定2個存放20的,剩下的兩個自然存放80

C(4,2) = 6

方案6: 40? 40? 40? 80 ?

先選定3個存放40的,剩下的自然存放80

C(4,3) = 4

方案7: 40? 40? 60? 60?

先選定2個存放60的,剩下的兩個自然存放40

C(4,2) = 6

總數 = 12 + 24 + 12 + 4 + 6 + 4 + 6 = 68種

2.已知 A 是由 54 的所有因子組成的集合, 設%為 A 上的整

除關系,

(1) 畫出偏序集<A,%>的哈斯圖。

(2) 確定 A 中最長鏈的長度, 並按字典序寫出 A 中所有最長的鏈。

(3) A 中元素至少可以劃分成多少個互不相交的反鏈, 並完整寫出

這些反鏈

答: A 的集合 = {1,2,3,6,9,18,27,54}

? 1)COVER(|)={(1,2),(1,3),(2,6),(3,6),(3,9),(6,18),(9,18),(9,27),(18,54),(27,54)}

? 2)有4個包含元素最多的全序子集:? 最長鏈長為5

L1={54,27,9,3,1}

L1={54,18,9,3,1}

L1={54,18,6,3,1}

L1={54,18,6,2,1}

? 3)至少可以劃分成3個互不相交的反鏈: {2,3},{6,9},{18,27}

3. 求方程 t1+t2+t3+t4=20 整數解的個數, 其中 t1≥3,t2≥1,t3≥0,t4≥5。

答:

由於t1≥3,t2≥1,t3≥0,t4≥5.先取t1為3,t2為1,t3為0,t4為5,此時取值後和為9,也就是說將20-9的差值分配給t1,t2,t3,t4 就是所有的整數解個數

此時:t1'+t2'+t3'+t4' = 11

因此有C(11+4-1,11) = C(14,11)。 ?

4 設 S={∞·2,∞·4,∞·5,∞·7,∞·9}是給定的重集, 其中 2,4,5,7,9

是 S 中的五個不同元素, 且每個元素在集合中可以有無窮多。 設 hn

表示從 S 中取 n 個元素(可以重復取) 且要求 2 和 4 出現偶數次的

排列數, 求 hn ?

解:已知2,4兩個元素只出現偶數次,5,7,9三個元素出現任意次數,根據重拍母函數等式有:

設G(x) = (1 + x^2/2! + x^4/4! + .... + x^n/n!)^2 * (1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...+x^n/n!)^3

? = (e^x + e^(-x))/2 * e^3x

? = 1/4(e^x + 2* e^3x + e^5x)

? = 1/4 (∑ x^n/n! + 2* ∑ (3x)^n/n! + ∑ (5x)^n/n!)

? = 1/4 ∑(1 + 2 * 3^n + 5^n) x^n/n!

Hn = 1/4(1 + 2 * 3^n + 5^n)

5. 4名同學參同時參加英語和德語面試,要求每門科目只能面試1人,2門科目先後順序不同,有多少種次序?

解:本題可以理解為4名學生以任意順序去參加英語面試,於此同時不能在同壹時刻去參加德語面試,

即原來某位的同學不能在同壹位置上(錯排問題)。

因此該題的解為 4!D_{4} = 4!*4!*(1-1/1!+ 2/2!-3/3!+4/4!) = 24*9 = 216。

6. 壹個飯店有3種甜點,而且無限多。小王選取四個甜點的方法有?

解: t1+t2+t3=4

? C(3+4-1,4) = C(6,4) = 15種

7. (2x1 -3x2 +x3)^6 展開式中,求X1^3*X2*X3^2的系數。

解:

(2x1 -3x2 +x3)^6 = (2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)

展開式相當於是6項多項式乘積。每壹項都是看成加法原理是或的關系。

? 由於x1是3次冪,因此6項多項式中有3項選擇2x1,因此有C(6,3)*2^3

? 由於x2是1次冪,因此從剩下的3項多項式中取壹項選擇-3x2,因此有C(3,1)*(-3)

? 由於x3是2次冪,因此從剩下的2項多項式中都選x3即可,因此有C(2,2)

所以X1^3*X2*X3^2的系數 = C(6,3)*2^3 * C(3,1)*(-3) * C(2,2) = -1440

解法2:

6項多項式,由於x1 + x2 + x3的冪之和是6,因此可以理解為從3個x1,壹個x2和2個x3 組成的有限全排。

? 6!/(3! * 2! * 1!) * 2^3 * (-3) * 1^2 = -1440

8、 如果1/(1-2x)^2 = ∑ak*x^k 則ak =

解:

根據泰勒公式

f(x) = f(0) + f1(0)/1! *x + f2(0)/2!*x^2 + ....

第二項展開式:? f1(0) = (-2)(1-2x)^(-3)*(-2)? = (-2)*(-2) f1(0)/1! = (-1)^1 *(1+1)*(-2)^1

第三項展開式: f2(0) = (-2)(-3)(1-2x)^(-4)*(-2)^2 = (-2)(-3)*(-2)^2? f2(0)/2! = (-1)^2 *(2+1) * (-2)^2

因此第k項展開為:fk(0)/k! = (-1)^k * (k+1) * (-2)^k

方法二:

由於公式(1-x)^(-n) =? ∑ C(n+k-1,k)*x^k

代入n=2? x = 2x得到系數: C(K+1,K)*2^K

9. 把4個不同的球,放到3個相異的盒子裏,使得不出現空盒,有多少種不同的放法?

? 解:

? 先取2個球 C(4,2),再將剩下的球全排。於是答案為C(4,2)*P(3,3) = 36

10. 5個文科生和5個理科生交叉排成壹排有多少中排法?

? 解:

先排列5個文科生,有5!種,再將理科生插到文科生的間隙中,於是有5!種插入排列, 由於兩頭的位置可以在左邊也可以在右邊

所以總***有2 * 5! * 5! 種排列。

11 求方程x1+x2+x3+x4=10 正整數解的個數

解:

由於求正整數解,那要求x1>0,x2>0,x3>0,x4>0

由此原式可以理解為: (x1+1)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1) = 6

於是正整數解的個數為 C(6+4-1,6) = C(9,3) = 84

12.? 求將函數f(x)=(1+x+x^2+x^3+...)^2 * (x^2+x^3+x^4+...)^3 展開後x^14系數

解:

? 此種情況可以理解為有5種不同顏色的球(如黑,白,紅,綠,藍)每種球無限制。現在要求取出14個球,其中至少有2個紅球,2個藍球和2個綠球。

? 則可以先分配2個紅球,2個籃球,2個綠球,14個球中剩下的8個球,從5種顏色的球中取。

? 設取白球x1個,黑球x2個,綠球x3個,紅球x4個,藍球x5個。 則取法有:

? x1+x2+x3+x4+x5 = 8

? 則有C(8+5-1,8) = C(12,4) = 495

13. 有2個紅球,1個白球,1個黃球,試求有多少種不同的組合方案?

解:1)母函數法:

f(x) =(1+x+x^2)(1+x)(1+x) = 1+3x+4x^2+3x^3 + x^4

? 所以有組合數 = 1+3+4+3+1 = 12種

2)分情況討論:

紅:0,1,2

白:0,1

黃:0,1

壹個不選方法:0,0,0

選1個球的組合: (0,0,1)(0,1,0),(1,0,0)

選2個球的組合:(0,1,1)(1,0,1),(1,1,0)(2,0,0)

選3個球的組合: (1,1,1)(2,1,0),(2,0,1)

選4個球的組合: (2,1,1)

總***組合方案 = 1+3+4+3+1=12

14. 把4個相異的球,放到3個相異的盒子中,使得不出現空盒,有多少中不同的放法?

解: 分兩步完成,第壹步先把4個相異的球分成三組,即選2個作為壹組。 有C(4,2)種方法。

? 第二步,把分成3組的球放進3個不同的盒子,做全排, 有P(3,3)中方法。

因此方法數為: C(4,2) * P(3,3) = 6 * 6 = 36 (種)

15.求方程x+y+z+k = 10正整數解的個數

解: (x+1) + (y+1) + (z+1) + (k+1) = 6

C(6+4-1,6) = C(9,6) = C(9,3)