答：總***有7中方案，每種方案方法數如下：
方案1： 20? 20? 60? 100 ?
先選定2個存放20的，剩下的2個不同的數做排列
C(4,2)* P(2,2) = 12?
方案2： 20? 40? 60? 80
做全排
P(4,4) = 24
方案3： 20? 40? 40? 100
先選定2個存放40的，剩下的20個不同的數做排列?
C(4,2) *P(2,2) = 12
方案4： 20? 60? 60? 60
先選定3個存放60的，剩下的自然存放20
C(4,3) = 4
方案5： 20? 80? 80? 20?
先選定2個存放20的，剩下的兩個自然存放80
C(4,2) = 6
方案6： 40? 40? 40? 80 ?
先選定3個存放40的，剩下的自然存放80
C(4,3) = 4
方案7： 40? 40? 60? 60?
先選定2個存放60的，剩下的兩個自然存放40
C(4,2) = 6
總數 = 12 + 24 + 12 + 4 + 6 + 4 + 6 = 68種
2.已知 A 是由 54 的所有因子組成的集合， 設%為 A 上的整
除關系，
（1） 畫出偏序集<A,%>的哈斯圖。
（2） 確定 A 中最長鏈的長度， 並按字典序寫出 A 中所有最長的鏈。
（3） A 中元素至少可以劃分成多少個互不相交的反鏈， 並完整寫出
這些反鏈
答： A 的集合 = {1,2,3,6,9,18,27,54}
? 1）COVER(|)={(1,2),(1,3),(2,6),(3,6),(3,9),(6,18),(9,18),(9,27),(18,54),(27,54)}
? 2)有4個包含元素最多的全序子集:? 最長鏈長為5
L1={54,27,9,3,1}
L1={54,18,9,3,1}
L1={54,18,6,3,1}
L1={54,18,6,2,1}
? 3)至少可以劃分成3個互不相交的反鏈： {2,3},{6,9},{18,27}
3． 求方程 t1+t2+t3+t4=20 整數解的個數， 其中 t1≥3,t2≥1,t3≥0,t4≥5。
答：
由於t1≥3,t2≥1,t3≥0,t4≥5.先取t1為3，t2為1，t3為0，t4為5，此時取值後和為9，也就是說將20-9的差值分配給t1，t2,t3,t4 就是所有的整數解個數
此時：t1'+t2'+t3'+t4' = 11
因此有C(11+4-1,11) = C(14,11)。 ?
4 設 S={∞·2,∞·4,∞·5,∞·7,∞·9}是給定的重集， 其中 2,4,5,7,9是 S 中的五個不同元素， 且每個元素在集合中可以有無窮多。 設 hn
表示從 S 中取 n 個元素（可以重復取） 且要求 2 和 4 出現偶數次的
排列數， 求 hn ?
解：已知2,4兩個元素只出現偶數次，5,7,9三個元素出現任意次數，根據重拍母函數等式有：
設G(x) = (1 + x^2/2! + x^4/4! + .... + x^n/n!)^2 * (1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...+x^n/n!)^3
? = (e^x + e^(-x))/2 * e^3x
? = 1/4(e^x + 2* e^3x + e^5x)
? = 1/4 (∑ x^n/n! + 2* ∑ (3x)^n/n! + ∑ (5x)^n/n!)
? = 1/4 ∑(1 + 2 * 3^n + 5^n) x^n/n!
Hn = 1/4（1 + 2 * 3^n + 5^n)
5. 4名同學參同時參加英語和德語面試，要求每門科目只能面試1人，2門科目先後順序不同，有多少種次序？
解：本題可以理解為4名學生以任意順序去參加英語面試，於此同時不能在同壹時刻去參加德語面試，
即原來某位的同學不能在同壹位置上（錯排問題）。
因此該題的解為 4！D_{4} = 4！*4！*(1-1/1!+ 2/2!-3/3!+4/4!) = 24*9 = 216。
6. 壹個飯店有3種甜點，而且無限多。小王選取四個甜點的方法有？
解： t1+t2+t3=4
? C(3+4-1,4) = C(6,4) = 15種
7. （2x1 -3x2 +x3)^6 展開式中，求X1^3*X2*X3^2的系數。
解：
（2x1 -3x2 +x3)^6 = (2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)*(2x1 -3x2 +x3)
展開式相當於是6項多項式乘積。每壹項都是看成加法原理是或的關系。? 由於x1是3次冪，因此6項多項式中有3項選擇2x1，因此有C(6,3)*2^3
? 由於x2是1次冪，因此從剩下的3項多項式中取壹項選擇-3x2,因此有C(3,1)*(-3)
? 由於x3是2次冪，因此從剩下的2項多項式中都選x3即可，因此有C(2,2)
所以X1^3*X2*X3^2的系數 = C(6,3)*2^3 * C(3,1)*(-3) * C(2,2) = -1440 解法2：6項多項式，由於x1 + x2 + x3的冪之和是6，因此可以理解為從3個x1，壹個x2和2個x3 組成的有限全排。
? 6!/(3! * 2! * 1!) * 2^3 * (-3) * 1^2 = -1440
8、 如果1/(1-2x)^2 = ∑ak*x^k 則ak =
解：
根據泰勒公式
f(x) = f(0) + f1(0)/1! *x + f2(0)/2!*x^2 + ....
第二項展開式:? f1(0) = (-2)(1-2x)^(-3)*(-2)? = (-2)*(-2) f1(0)/1! = (-1)^1 *(1+1)*(-2)^1
第三項展開式： f2(0) = (-2)(-3)(1-2x)^(-4)*(-2)^2 = (-2)(-3)*(-2)^2? f2(0)/2! = (-1)^2 *(2+1) * (-2)^2
因此第k項展開為：fk(0)/k! = (-1)^k * (k+1) * (-2)^k
方法二：
由於公式(1-x)^(-n) =? ∑ C(n+k-1,k)*x^k
代入n=2? x = 2x得到系數： C(K+1,K)*2^K
9. 把4個不同的球，放到3個相異的盒子裏，使得不出現空盒，有多少種不同的放法？
? 解：
? 先取2個球 C(4,2),再將剩下的球全排。於是答案為C(4,2)*P(3,3) = 36
10. 5個文科生和5個理科生交叉排成壹排有多少中排法？
? 解：
先排列5個文科生，有5！種，再將理科生插到文科生的間隙中，於是有5!種插入排列， 由於兩頭的位置可以在左邊也可以在右邊
所以總***有2 * 5！ * 5！ 種排列。
11 求方程x1+x2+x3+x4=10 正整數解的個數
解：
由於求正整數解，那要求x1>0,x2>0,x3>0,x4>0
由此原式可以理解為: (x1+1)+(x2+1)+(x3+1)+(x4+1) = 6
於是正整數解的個數為 C(6+4-1,6) = C(9,3) = 84
12.? 求將函數f(x)=(1+x+x^2+x^3+...)^2 * (x^2+x^3+x^4+...)^3 展開後x^14系數
解：? 此種情況可以理解為有5種不同顏色的球（如黑，白，紅，綠，藍）每種球無限制。現在要求取出14個球，其中至少有2個紅球，2個藍球和2個綠球。
? 則可以先分配2個紅球，2個籃球，2個綠球，14個球中剩下的8個球，從5種顏色的球中取。
? 設取白球x1個，黑球x2個，綠球x3個，紅球x4個，藍球x5個。 則取法有：
? x1+x2+x3+x4+x5 = 8
? 則有C(8+5-1,8) = C(12,4) = 495
13. 有2個紅球，1個白球，1個黃球，試求有多少種不同的組合方案？
解：1）母函數法：
f(x) =（1+x+x^2）(1+x)(1+x) = 1+3x+4x^2+3x^3 + x^4
? 所以有組合數 = 1+3+4+3+1 = 12種
2）分情況討論：
紅：0,1,2
白：0,1
黃：0,1
壹個不選方法：0,0,0
選1個球的組合： （0,0,1）（0,1,0），（1,0,0）
選2個球的組合：（0,1,1）（1,0,1），（1,1,0）（2,0,0）
選3個球的組合： （1,1,1）（2,1,0），（2,0,1）
選4個球的組合： （2,1,1）
總***組合方案 = 1+3+4+3+1=12
14. 把4個相異的球，放到3個相異的盒子中，使得不出現空盒，有多少中不同的放法？
解： 分兩步完成，第壹步先把4個相異的球分成三組，即選2個作為壹組。 有C(4,2)種方法。
? 第二步，把分成3組的球放進3個不同的盒子，做全排， 有P(3,3)中方法。
因此方法數為： C(4,2) * P(3,3) = 6 * 6 = 36 (種）
15.求方程x+y+z+k = 10正整數解的個數
解： (x+1) + (y+1) + (z+1) + (k+1) = 6
C(6+4-1,6) = C(9,6) = C(9,3)