這是壹個半序關系, 但不是全序關系.
驗證基本是平凡的, 由≤的自反性, 反對稱性與傳遞性可對應得到R的相應性質.
不是全序也很簡單, 若a ≠ b, 則<a,b> R <b,a>與<b,a> R <a,b>都不能成立.
否則有a ≤ b∧b ≤ a, 由≤的反對稱性得a = b, 矛盾.
2. 結合關系是(x ≤ u∧x ≠ u)∨(x = u∧y ≤ v)吧?
這就是字典序, 是壹個全序關系, 從而也是半序關系, 由A×A是有限集, 也是良序關系.
反對稱性: 若<x,y> R <u,v>且<u,v> R <x,y>.
由<x,y> R <u,v>即(x ≤ u∧x ≠ u)∨(x = u∧y ≤ v),
得(x ≤ u∧x ≠ u)∨x = u, 即x ≤ u.
同理由<u,v> R <x,y>即(u ≤ x∧u ≠ x)∨(u = x∧v ≤ y)可得u ≤ x.
於是由≤的反對稱性得x = u.
代入<x,y> R <u,v>得y ≤ v, 代入<u,v> R <x,y>得v ≤ y.
再由≤的反對稱性得y = v, 於是<x,y> = <u,v>.
傳遞性: 若<x,y> R <u,v>且<u,v> R <s,t>.
由<x,y> R <u,v>得x ≤ u, 由<u,v> R <s,t>得u ≤ s. 於是由≤的傳遞性得x ≤ s.
若x ≠ s, 則<x,y> R <s,t>成立.
若x = s, 有u ≤ s = x, 可得u = x (≤反對稱性), 於是x = u = s.
代入<x,y> R <u,v>得y ≤ v, 代入<u,v> R <s,t>得v ≤ t. 於是由≤的傳遞性得y ≤ t.
可知<x,y> R <s,t>也成立.
完全性: 任給<x,y>, <u,v>.
由≤的完全性, 成立x ≤ u或u ≤ x. 不妨設x ≤ u.
若x ≠ u, 則有<x,y> R <u,v>.
若x = u, 當y ≤ v時有<x,y> R <u,v>, v ≤ y時有<u,v> R <x,y>.
而由≤的完全性, 成立y ≤ v或v ≤ y至少有壹個成立.
因此<x,y> R <u,v>與<u,v> R <x,y>至少有壹個成立.
3. 不是半序關系, 因為沒有反對稱性.
對a ≠ b, 由≤的完全性, 不妨設a ≤ b. 可知<a,a> R <a,b>, <a,b> R <a,a>, 但<a,a> ≠ <a,b>.
4. 不是半序關系, 因為沒有自反性. 即<x,y> R <x,y>不成立.
個人對離散數學的語言不是很熟悉, 有疑問請追問.