A、81 B、64 C、12 D、14
2、n∈N且n<55，則乘積（55-n）（56-n）……（69-n）等於（）
A、 B、 C、 D、
3、用1，2，3，4四個數字可以組成數字不重復的自然數的個數（）
A、64 B、60 C、24 D、256
4、3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多壹張，則有不同分法的種數是（）
A、2160 B、120 C、240 D、720
5、要排壹張有5個獨唱和3個合唱的節目表，如果合唱節目不能排在第壹個，並且
合唱節目不能相鄰，則不同排法的種數是（）
A、 B、 C、 D、
6、5個人排成壹排，其中甲、乙兩人至少有壹人在兩端的排法種數有（）
A、 B、 C、 D、
7、用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中小於50000的偶數有（）
A、24 B、36 C、46 D、60
8、某班委會五人分工，分別擔任正、副班長，學習委員，勞動委員，體育委員，
其中甲不能擔任正班長，乙不能擔任學習委員，則不同的分工方案的種數是（）
A、 B、
C、 D、
答案：
1-8 BBADCCBA
壹、填空題
1、（1）（4P84+2P85）÷（P86-P95）×0！=___________
（2）若P2n3=10Pn3，則n=___________
2、從a、b、c、d這四個不同元素的排列中，取出三個不同元素的排列為
__________________________________________________________________
3、4名男生，4名女生排成壹排，女生不排兩端，則有_________種不同排法。
4、有壹角的人民幣3張，5角的人民幣1張，1元的人民幣4張，用這些人民幣可以組成
_________種不同幣值。
二、解答題
5、用0，1，2，3，4，5這六個數字，組成沒有重復數字的五位數，
（1）在下列情況，各有多少個？
①奇數
②能被5整除
③能被15整除
④比35142小
⑤比50000小且不是5的倍數
6、若把這些五位數按從小到大排列，第100個數是什麽？
1 × × × ×
1 0 × × ×
1 2 × × ×
1 3 × × ×
1 4 × × ×
1 5 0 2 ×
1 5 0 3 2
1 5 0 3 4
7、7個人排成壹排，在下列情況下，各有多少種不同排法？
（1）甲排頭
（2）甲不排頭，也不排尾
（3）甲、乙、丙三人必須在壹起
（4）甲、乙之間有且只有兩人
（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰
（6）甲在乙的左邊（不壹定相鄰）
（7）甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序
（8）甲不排頭，乙不排當中
8、從2，3，4，7，9這五個數字任取3個，組成沒有重復數字的三位數
（1）這樣的三位數壹***有多少個？
（2）所有這些三位數的個位上的數字之和是多少？
（3）所有這些三位數的和是多少？
答案：
壹、
1、（1）5
（2）8
二、
2、abc,abd,acd,bac,bad,bcd,cab,cad,cbd,dab,dac,dbc
3、8640
4、39
5、
①3× =288
②
③
④
⑤
6、
=120 〉100
=24
=24
=24
=24
=2
7、（1） =720
（2）5 =3600
（3） =720
（4） =960
（5） =1440
（6） =2520
（7） =840
（8）
8、（1）
（2）
（3）300×（100+10+1）=33300
排列與組合練習
1、若 ，則n的值為（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
2、某班有30名男生，20名女生，現要從中選出5人組成壹個宣傳小組，其中男、女學
生均不少於2人的選法為（ ）
A、 B、
C、 D、
3、空間有10個點，其中5點在同壹平面上，其余沒有4點***面，則10個點可以確定不
同平面的個數是（ ）
A、206 B、205 C、111 D、110
4、6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，不同的分法種數是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、由5個1，2個2排成含7項的數列，則構成不同的數列的個數是（ ）
A、21 B、25 C、32 D、42
6、設P1、P2…，P20是方程z20=1的20個復根在復平面上所對應的點，以這些點為頂
點的直角三角形的個數為（ ）
A、360 B、180 C、90 D、45
7、若 ，則k的取值範圍是（ ）
A、[5，11] B、[4，11] C、[4，12] D、4，15]
8、口袋裏有4個不同的紅球，6個不同的白球，每次取出4個球，取出壹個線球記2
分，取出壹個白球記1分，則使總分不小於5分的取球方法種數是（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：
1、B 2、D 3、C 4、A 5、A 6、B
7、B 8、C
1、計算：（1） =_______
（2） =_______
2、把7個相同的小球放到10個不同的盒子中，每個盒子中放球不超1個，則有_______
種不同放法。
3、在∠AOB的邊OA上有5個點，邊OB上有6個點，加上O點***12個點，以這12個點為頂
點的三角形有_______個。
4、以1，2，3，…，9這幾個數中任取4個數，使它們的和為奇數，則***有_______種
不同取法。
5、已知
6、（1）以正方體的頂點為頂點的三棱錐有多少個？
（2）以正方體的頂點為頂點的四棱錐有多少個？
（3）以正方體的頂點為頂點的棱錐有多少個？
7、集合A中有7個元素，集合B中有10個元素，集合A∩B中有4個元素，集合C滿足
（1）C有3個元素；（2）C A∪B；（3）C∩B≠φ，C∩A≠φ，求這樣的集合C的個
數。
8、在1，2，3，……30個數中，每次取兩兩不等的三個數，使它們的和為3的倍數，
***有多少種不同的取法？
答案：
1、490
2、31
3、165
4、60
5、解：
6、解：（1）
（2）
（3）58+48=106
7、解：A∪B中有元素 7+10-4=13
8、解：把這30個數按除以3後的余數分為三類：
A={3，6，9，…，30}
B={1，4，7，…，28}
C={2，5，8，…，29}
（個）
高二?排列與組合練習題（1）
壹、選擇題：
1、將3個不同的小球放入4個盒子中，則不同放法種數有（ ）
A．81 B．64 C．12 D．14
2、n∈N且n<55，則乘積（55－n）（56－n）……（69－n）等於（ ）
A． B． C． D．
3、用1，2，3，4四個數字可以組成數字不重復的自然數的個數（ ）
A．64 B．60 C．24 D．256
4、3張不同的電影票全部分給10個人，每人至多壹張，則有不同分法的種數是（ ）
A．2160 B．120 C．240 D．720
5、要排壹張有5個獨唱和3個合唱的節目表，如果合唱節目不能排在第壹個，並且合唱節目不能相鄰，則不同排法的種數是（ ）
A． B． C． D．
6、5個人排成壹排，其中甲、乙兩人至少有壹人在兩端的排法種數有（ ）
A． B． C． D．
7、用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，其中小於50000的偶數有（ ）
A．24 B．36 C．46 D．60
8、某班委會五人分工，分別擔任正、副班長，學習委員，勞動委員，體育委員，
其中甲不能擔任正班長，乙不能擔任學習委員，則不同的分工方案的種數是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
9、（1）（4P84+2P85）÷（P86－P95）×0！=___________
（2）若P2n3=10Pn3，則n=___________
10、從A．B．C．D這四個不同元素的排列中，取出三個不同元素的排列為__________________
11、4名男生，4名女生排成壹排，女生不排兩端，則有_________種不同排法。
12、有壹角的人民幣3張，5角的人民幣1張，1元的人民幣4張，用這些人民幣可以組成_________種不同幣值。
三、解答題
13、用0，1，2，3，4，5這六個數字，組成沒有重復數字的五位數，
（1）在下列情況，各有多少個？
①奇數，②能被5整除，③能被15整除
④比35142小，⑤比50000小且不是5的倍數
（2）若把這些五位數按從小到大排列，第100個數是什麽？
14、7個人排成壹排，在下列情況下，各有多少種不同排法？
（1）甲排頭；
（2）甲不排頭，也不排尾；
（3）甲、乙、丙三人必須在壹起；
（4）甲、乙之間有且只有兩人；
（5）甲、乙、丙三人兩兩不相鄰；
（6）甲在乙的左邊（不壹定相鄰）；
（7）甲、乙、丙三人按從高到矮，自左向右的順序；
（8）甲不排頭，乙不排當中。
15、從2，3，4，7，9這五個數字任取3個，組成沒有重復數字的三位數。
（1）這樣的三位數壹***有多少個？
（2）所有這些三位數的個位上的數字之和是多少？
（3）所有這些三位數的和是多少？
高二數學
排列與組合練習題
參考答案
壹、選擇題：
1．B
2．B
3．A
4．D
5．C
6．C
7．B
8．A
二、填空題
9．（1）5；（2）8
10．abc，abd，acd，bac，bad，bcd，cab，cad，cbd，dab，dac，dbc
11．8640
12．39
三、解答題
13．（1）①3× =288
②
③
④
⑤
（2）略。
14．（1） =720
（2）5 =3600
（3） =720
（4） =960
（5） =1440
（6） =2520
（7） =840
（8）
15．（1）
（2）
（3）300×（100+10+1）=33300
例1．某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒 ，則不同的選購方式***有 ( )
(A) 5種 (B) 6種 (C) 7種 (D) 8種
解法壹 記購買的軟件數為x，磁盤數為y，依題意
當x＝3時，y＝2，3，4；當x＝4時，y＝2，3；當x＝5時，y＝2；當x＝6時，y＝2.上述的不等式組***有7組解，故不同的選購方式***有7種，選C．
解法二 依題意，(x，y)是在坐標平面上，位於三條直線L1：x＝3，L2：y＝2，L3：60x＋70y=500圍成的三角形的邊界及內部的點(坐標均為整數的點)，如圖7－2－1，這樣的點***有7個，故選C．
評述 這是壹個計數的應用問題，解法壹轉化為求不等式組的整數解的個數；解法二轉化求坐標平面上特定區域內的整點個數．事實上，兩種解法最終都采用了窮舉法．這是解決計數問題的基本方法之壹．
例2．在壹塊並排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植壹壟,為有利於作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小於6壟，則不同的種植方法***有多少種？
× ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○ ○
× ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○
× ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ×
○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ × ○
○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ×
○ ○ × ○ ○ ○ ○ ○ ○ ×
解法壹 如表格所示，用×表示種植作物的地壟，О表示未種植作物的地壟，則不同的選壟方法***有6種，由於A、B是兩種作物，故不同的種植方法***有12種．
解法二 選壟方法可分為三類：第壹類間隔為6壟，有1－8，2－9，3－10三種選法；第二類間隔為7壟，有1－9，2－10兩種選法；第三類間隔為8壟，只有1－10種選法，故選壟方法***6種，種植方法***12種．
評述 這是壹個計數的應用問題，解法壹采用了畫框圖的方法；解法二直接應用加法原理和乘法原理．
若將例1和例2判定為排列與組合的問題，並布列含排列數或組合數的算式，反而會將對問題的思考復雜化，難以得出正確的結論，由此可見，不應把計數問題都簡單歸結為排列和組合的問題，也不能只通過計算排列數或組合數求解．
例3．7人排成壹行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數．
(1)甲排中間；
(2)甲不排在兩端；
(3)甲、乙相鄰；
(4)甲在乙的左邊(不壹定相鄰)；
(5)甲、乙、丙兩兩不相鄰．
解：(1)甲排中間，其余6人任意排列，故***有 ＝720種不同排法．
(2)若甲排在左端或右端，各有 種排法，故甲不排在兩端***有 ＝3600種不同排法．
(3)法壹：先由甲與除乙以外的5人(***6人)任意排列，再將乙排在甲的左側或右側(相鄰)，故***有 ? ＝1440種不同排法．
法二：先將甲、乙合成為壹個“元素”，連同其余5人***6個“元素”任意排列，再由甲、乙交換位置，故***有 ? ＝1440種不同排法．
(4)在7人排成壹行形成的 種排法中，“甲左乙右”與“甲右乙左”的排法是壹壹對應的(其余各人位置不變)，故甲在乙的左邊的不同排法***有 ＝2520種不同解法．
(5)先由除甲、乙、丙以外的4人排成壹行，形成左、右及每兩人之間的五個“空”，再將甲、乙、丙插入其中的三個“空”，每“空”1人，故***有 ＝1440種不同的排法．
評述 這是壹組排隊的應用問題，是壹類典型的排列問題，附加的限制條件常是定位與限位，相鄰與不相鄰，左右或前後等．
例4．用0，1，2，3，4，5六個數字組成無重復數字的五位數，分別求出下列各類數的個數：
(1)5的倍數；
(2)比20300大的數；
(3)不含數字0，且1，2不相鄰的數．
解：(1)5的倍數可分為兩類：個位數的位置上的數字是0或5，
個位數字是0的五位數有 個；
個位數字是5的五位數有4 個；
故5的倍數***有 ＋4 ＝216個
(2)比20300大的五位數可分為三類：
第壹類：3××××，4××××，5××××；有3 個；
第二類：21×××，23×××，24×××，25×××，有4 個；
第三類：203××，204××，205××，有3 個．
故比20300大的五位數***有3 ＋4 ＋3 ＝474個．
(3)組成不含數字0，且1，2不相鄰的數可分為兩步，第壹步：將3，4，5三個數字排成壹行；第二步：將1，2插入第壹步所形成四個“空”中的兩個“空”，故***有 ＝72個．
評述 這是壹組組成無重復數字的多位數的排數問題，也是壹類典型的排列問題，常見的附加條件是倍數關系，大小關系、相鄰關系等．應當註意的是排隊問題不會有元素重復的問題，而排數問題必須規定無重復數字才是排列問題．
例5 四面體的頂點和各棱中點***10個點，在其中取4個不***面的點，不同取法***有 ( )
(A) 150種 (B) 147種 (C) 144種 (D) 141種
分析 取出的四個點不***面的情況要比取出的四個點***面的情況復雜，可采用間接法，先不加限制任取四點，再減去四面***點的取法．
解 在10個點中任取4點，有 種取法，取出的4點***面有三類(如圖7－2－3)．
第壹類：***四面體的某壹個面，有4 種取法；
第二類：過四面體的壹條棱上的三點及對棱的中點，如圖中的平面ABE，有6種取法；
第三類：過四面體的四條棱的中點，面與另外兩條棱平行，如圖中的平面EFGM，***有3個．
故取4個不***面的點的不同取法***有 －(4 ＋6＋3)＝141(種)
因此選D
評述 由點組成直線、平面、幾何體等圖形是壹類典型的組合問題，常見的附加條件是點***線與不***線，點***面與不***面，線***面與不***面等．
例6 (1)設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的五個盒子，現將這五個球放入這五個盒子內，要求每個盒內放壹個球，並且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，這樣的投放方法的總數為 ；
(2)四個不同的小球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有壹個空盒的放法***
有 種．
解(1)第壹步：投放2個球，使其編號與盒子編號相同，有 種投法；第二步：投入其余3個球，以第壹步的投法是1，2號球投入1，2號盒子內為例，其余3個球由於不能再出現球號與盒號相同的投法，如框圖所示有2種投法．
④
⑤
③
⑤
③
④
3 4 5 3 4 5
綜上可知，符合題意的投放方法***有 ×2＝20種．
(2)第壹步：取出兩個小球( 種取法)合成壹個“元素”，與另外兩個球合成三個“元素”；第二步：將3個元素放入4個盒中的3個盒子，每個盒子放壹個元素，形成壹個空盒( 種放法)，故符合題意的放法***有 ? ＝144種．
評述 這是壹組具有壹定綜合性的計數問題，應當註意，第(1)題如果判定第二步余下3球可任意放入余下3 個盒子，列出 ? 的算式，就會出錯．