這裏可以先參考知乎回答中的部分內容：
從數學的角度，提供壹個形象有趣的解釋。理解傅裏葉變換的鑰匙是理解基♂，它能讓妳重新認識世界。
假設壹個科研所有四個所長（壹正三副），四個所長各司其職，把整個科研所的事物管理得井井有條。這四個所長，少壹個，單位的工作無法順利展開，多壹個礙手礙腳事倍功半，他們四人壹道就組成了科研所的壹個"基"。 壹個單位的基可能不是唯壹的，四個人換換位置工作也能展開，調走壹個人再換壹個人來頂替，單位亦可以正常運轉，但是4這個數是不能變化的（數學語言：空間的維數固定不變）。 總結：壹組基，就是足夠能描述、表達某類事物的最少的壹小撮元素們。
我們把科研所的日常事務換成感情，把四個所長換成語言字典重新來敘述。 假設妳愛上了壹個人，需要向她表達感情。這時就需要壹套表達感情的工具——語言。如果使用漢語，妳可以說"我愛妳"，如果使用英文，妳可以說"I love you"。漢語的所有詞匯構成了壹個集合，英語的所有詞匯也構成了壹個集合，它們都可以描述感情、感覺、事物和知識，它們是兩套不同的描述系統，分別有自己的基。 總結：描述事物的基可以有很多套。
漢語的詞匯量很大，有很多重復意義的詞，比如我愛妳就可以重新表述為："俺愛妳"，"我愛儂"，"我想和妳困覺"等等。我們把漢語詞匯中所有同意的詞只保留壹個（數學語言：使線性無關），留下來的詞匯量較少的詞典就是漢語的壹個基，裏面的每壹個詞被稱作基函數。它的特點是：所有漢語能描述的思想都可以用從這個較小的詞匯本中挑出的壹些詞匯（基函數）經過精心安排（加權相加）來描述，並且只有壹種描述方式（數學語言：若基固定，則對應系數/坐標確定），因為我們已經去掉了所有冗余的、近似的詞匯，因此不存在壹個事物在壹個基下有兩種不同表示法存在。 總結：壹套基中的元素很多，足夠描述事物，只要從中挑出壹些妳需要的，按某種方式組合在壹起即可，壹套基中的元素很少，以至於這種描述事物的方法是唯壹的。
給定兩個不同的語言，給出兩個不同語言的小字典（兩組基），我們都可以分別用唯壹的方式表達同壹思想（函數、點），這兩種表示法之間可以相互轉換（數學語言：坐標變換）。"I love you"和"我愛妳"可以相互轉化。 總結：給定壹個基，我們就可以用這組基表達事物，也可以用它來翻譯用其他基描述的事物，不同基下的表示可以相互轉換。
/video/BV1ys411472E?p=13
在這個視頻中，向量還是同壹個向量，但是選取的基坐標不同，即坐標軸的方向和網格間距不同。不過，坐標原點是壹致的。那麽，兩個坐標系的向量如何轉化呢？
比如說，詹妮弗用坐標(-1,2)描述壹個向量，如圖，綠色和紅色是她的基，可以看出黃色向量分解之後正是(-1,2):
但是，她的i帽在我們的坐標系中實際上是(2,1)，j帽是(-1,1)，那麽她說的向量(-1,2)在我們的坐標系中是什麽呢？
但是這和之前還是有差別的：之前是真的有變換，而現在這個向量其實並沒有動，只是不同基的坐標表示不同。之前為了描述壹個變換，實際上是讓坐標系i帽和j帽在變，比如逆時針旋轉90度，坐標系的i變成了0，1；j變成了-1，0。所以任意向量逆時針旋轉90度之後結果是這樣的：
也就是說，之前講的是特定向量進行線性變換後，在原坐標系中的樣子，其實是壹個向量變成了另壹個向量。現在說的是，另外壹個坐標系中的向量，在我們坐標系中是什麽樣子，其實是同壹個向量。
然而，為什麽詹妮弗的(-1,2)在我的坐標系中就是(-4,1)呢，我看了視頻被繞暈了，也沒有搜索到什麽結果，僅有的幾個帖子也只是在轉述原作者的思路和截圖，沒有人解釋為什麽……
這裏，我來說說自己的理解，未必正確，如果有人能在評論中指點我更好。我的思路仍然是參考孟巖的理解矩陣：
註意看，引用中的黑體字。我們也可以理解為，詹妮弗坐標系中的向量，和我們在l單位坐標系中量出來的向量，正是同壹個向量
我這個圖搞得有點醜，我們可以把ma=lb對應起來，m就是詹妮弗對向量a即(-1,2)的壹個環境聲明。而我們的坐標系環境聲明其實被省略了，現在要得到問號部分的值，即在我們的坐標系環境聲明下，求出這個向量值。
視頻作者緊接著提出，在我們的坐標系中，有壹個坐標為(3,2)的向量。如何計算出它在詹妮弗的坐標系中坐標為(5/3,1/3)? 按照上面的思路，是這樣的：
現在問號填入(5/3,1/3)，發現是正確的。當然這裏可以使用逆矩陣，即：
然後就是結果了：
在我們的坐標系中，90度逆時針旋轉，在詹妮弗的坐標系中如何描述？
這個其實是上面兩個步驟的合並：
這裏我們可以對任意向量這樣操作，所以可以將第壹步的(-1,2)變成向量v。現在這個變換，接收的是詹妮弗描述的向量，輸出的也是詹妮弗描述的向量。
如果詹妮弗用這個矩陣與她的坐標系中壹個向量相乘，就會得到其坐標系下該向量逆時針旋轉90度的結果：
更通用的說法：
M代表了我們坐標系下的變換，而兩邊的則將結果變成從其他人角度來看的結果。