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離散數學中證明以下兩個集合是等勢的

對集合(a),壹方面它是有理數集的子集;另壹方面,建立正整數集N+到(a)的映射n=3^n/2^(2n)。由這兩方面的論證可知,Z的勢≤(a)的勢≤有理數的勢,但N+的勢=有理數的勢,由貝恩斯坦定理,(a)的勢=N+的勢

對集合(b),考慮(b)的子集(c):正整數的所有有限子集組成的集合。考察如下引理:n維歐氏空間中的整點(此處整點指坐標均為正整數的點)集的勢等於正整數的勢。事實上,由於正有理數的勢等於正整數的勢,而有理數集可以跟平面上的整點建立壹壹對應關系,所以正整數的勢等於2維歐氏空間的整點集的勢;而對於3維空間的整點,我們可以先建立它的其中兩個坐標跟正整數集的雙射,從而建立3維空間的整點到2維空間的整點的雙射,再建立2維空間整點到正整數集的雙射,則建立了3維空間整點到正整數集的雙射;而對於4維空間,先建立它的三個坐標到正整數集的雙射……引理證畢。然後,我們建立(c)到二維空間整點的雙射。對(c)中的正整數單點集(即{1},{2},{18},……),建立它到Y坐標為1的二維空間直線上的整點的雙射,由引理知,這是可以辦到的;對(c)中的正整數雙點集(即{1,2},{3,4},……),建立它到二維空間Y坐標為2的直線的整點的雙射,由引理知,這也是可以辦到的。更壹般的,建立(c)中的正整數n點集到二維空間Y坐標為n的直線上的整點的雙射,由引理知,這都是可以辦到的,因為n點集壹壹對應於n維空間的整點,n維空間整點壹壹對應於正整數,正整數壹壹對應於直線上的整點。用這種辦法,我們建立了(c)到二維空間整點的雙射,再建立二維空間到正整數集的雙射,我們就得到了(c)到正整數集的雙射。再考慮(b)中的余有限子集的集合,每壹個余有限子集對應於壹個有限子集,這個有限子集就是余有限子集關於正整數集的補集,易知,這是壹個壹壹對應關系。故(b)中的余有限子集的集合等勢於正整數集。因為(b)=(b)中的余有限子集的集合∪(c),所以(b)等勢於正整數集(這個應該明白吧?)。

綜上,(a)的勢=正整數集的勢=(b)的勢。

教科書上沒有寫嗎? 有很多證法。這是壹種:

正有理數可以和平面上的整點建立壹壹對應關系,然後,按照這種順序數點:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3)(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)……從幾何上看,這相當於按照對角線方向數平面上的整點,每壹個整點都會被數到,第n個被數到的點與n相對應,則得到了整點和正整數的壹壹對應關系。所以每壹個有理數都對應壹個正整數,所以N+的勢=有理數的勢。

樓下錯了吧。正整數集的子集除了有限子集和余有限子集還有其他集合。例如:

奇正整數集。

沒錯,(a)的勢也等於(c)的勢。