對集合（b），考慮（b）的子集（c）：正整數的所有有限子集組成的集合。考察如下引理：n維歐氏空間中的整點（此處整點指坐標均為正整數的點）集的勢等於正整數的勢。事實上，由於正有理數的勢等於正整數的勢，而有理數集可以跟平面上的整點建立壹壹對應關系，所以正整數的勢等於2維歐氏空間的整點集的勢；而對於3維空間的整點，我們可以先建立它的其中兩個坐標跟正整數集的雙射，從而建立3維空間的整點到2維空間的整點的雙射，再建立2維空間整點到正整數集的雙射，則建立了3維空間整點到正整數集的雙射；而對於4維空間，先建立它的三個坐標到正整數集的雙射……引理證畢。然後，我們建立(c)到二維空間整點的雙射。對（c）中的正整數單點集（即｛1｝，｛2｝，｛18｝，……），建立它到Y坐標為1的二維空間直線上的整點的雙射，由引理知，這是可以辦到的；對（c）中的正整數雙點集（即｛1，2｝，｛3，4｝，……），建立它到二維空間Y坐標為2的直線的整點的雙射，由引理知，這也是可以辦到的。更壹般的，建立（c）中的正整數n點集到二維空間Y坐標為n的直線上的整點的雙射，由引理知，這都是可以辦到的，因為n點集壹壹對應於n維空間的整點，n維空間整點壹壹對應於正整數，正整數壹壹對應於直線上的整點。用這種辦法，我們建立了（c）到二維空間整點的雙射，再建立二維空間到正整數集的雙射，我們就得到了（c）到正整數集的雙射。再考慮（b）中的余有限子集的集合，每壹個余有限子集對應於壹個有限子集，這個有限子集就是余有限子集關於正整數集的補集，易知，這是壹個壹壹對應關系。故（b）中的余有限子集的集合等勢於正整數集。因為（b）=（b）中的余有限子集的集合∪（c），所以（b）等勢於正整數集（這個應該明白吧？）。
綜上，（a）的勢=正整數集的勢=（b）的勢。
教科書上沒有寫嗎？ 有很多證法。這是壹種：
正有理數可以和平面上的整點建立壹壹對應關系，然後，按照這種順序數點：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……從幾何上看，這相當於按照對角線方向數平面上的整點，每壹個整點都會被數到，第n個被數到的點與n相對應，則得到了整點和正整數的壹壹對應關系。所以每壹個有理數都對應壹個正整數，所以N+的勢=有理數的勢。
樓下錯了吧。正整數集的子集除了有限子集和余有限子集還有其他集合。例如:
奇正整數集。
沒錯，（a）的勢也等於（c）的勢。