這是壹個常見的問題：
1、壹般的數學教師的教法是：
(1)、兩邊先不定積分，得到壹個含有積分常數的解；
(2)、然後根據初始條件，解出積分常數；
(3)、將積分常數，代入含有積分常數的解中，得到最後的結果。
這種方法在解常微分方程時，屢屢如此。
2、壹般的物理教師、天文、地質、氣象、水文、工程、、、的教師的解法是：
(1)、兩邊同時定積分，壹步到位，得到最後結果。
說明：
第壹、兩種解法，也就是不定積分、定積分的解法，沒有任何本質差別；
第二、工程中、自然科學中的具體問題，都存在壹個對應問題，也就是定解條件。
例如，初始時刻 t?，對應的速度是v?；末時刻 t，對應的是速度 v，
兩邊同時積分，v 從 v?積分到 v，t從 t?積分積到 t。
第三、數學教師是為了教數學而教數學，用不定積分他們不覺得是浪費時間；
搞科學和工程應用的，為解決實際問題而用數學，用不定積分純屬浪費時間。
第四、如果寫論文時，用不定積分，是浪費篇幅，是下裏巴人的寫法，專業學報是
不可能浪費篇幅給妳用不定積分的方法的，全用定積分，壹步到位。
最常見的例子，可以在大學物理，也就是普通物理，定積分的方法，貫徹始終。
普通物理中、理論物理中，如果用不定積分，那是無能的教師才會采取的方法。
用定積分，才能體現具體的物理意義，和物理過程；
用不定積分，不能反映物理過程，更談不上準確的物理意義了。
積分的有兩種真正的物理意義，每種都有兩個含義個：
第壹種：壹是對狀態量的求和，如體積、質量、電量、能量等等；
二是對過程量的累積，如做功、焓變、熵變、電勢差等等。
第二種：壹是對廣延量的求和，如質量、電量、能量、轉動慣量等等；
二是對強度量的累積，如電場強度、磁感應強度、溫度、壓強等等。
(這最後強度累積的方法，英文是superposition，漢譯是疊加原理)
說明：壹般的數學教師，並不能認識到積分的這兩種區別，原因是：
1、他們真正懂科學、懂工程的人是極少數中的極少數，壹般的高中數學教師，
幾乎全然不通，根本無法理解，積分在各個科學領域中、工程領域中具體
運用，更不可對科學運用、工程運用做出整體的概括性的分析。在根本上，
他們就是興趣缺缺。
2、即使是大學數學教授，沒有字典，能將英文運用自如，能看、能寫、能講、
能用英文評論數學、科學的人，鳳毛麟角。他們的絕大部分脫離了字典就
是瞎子，有了字典仍是啞巴，比比皆是。中學教師，壹般而言，數學教師
幾乎全是英文高癱，尤其是縣城以下的中學，壹所學校平均能有壹個數學
教師能應用自如地運用英文，都是天方夜譚。
所以，上面的兩種分類，壹般教師，教壹輩子，註定不會涉及，因為這些還涉及
到methodology，philosophy，logics、、、、。
越是高級的學報，越是專業的教師，越是高深的課程，越是采用定積分的方法。
原因就是：講專業才是重點。沒有時間，也沒有必要把時間浪費在花拳繡腿上。
尤其是二維、三維的問題，都必須用定積分解答。
養成習慣就好，省時間，概念清楚，解答精煉，專業性強！
數學老師用不定積分的方法，只能當成入門時的玩藝，以後用定積分，
才能顯示妳有解決實際問題的能力。以後的二重積分、三重積分、
空間曲面積分、空間曲線積分、、、、都必須用定積分。
結論：
1、用不定積分，得到的只是籠統的結論，還必須得出具體的積分常數，這個過程
不如壹步到位，直接定積分。其實，確定積分常數的過程，就是定積分的思想，
就是定積分的方法，具體是表現在積分時兩邊的下限上，待定積分常數用的就
是積分的下限。這方面，樓主要仔仔細細想想，初學者，壹時片刻是難悟透的。
2、物理意義的體現有兩方面：
第壹：積分之前的等式，這個等式如果是數學恒等式，那這個積分只具有數學
意義，而不具有物理意義，其實也只是數學遊戲而已，或者說是數學技
巧而已。積分來積分去，只是形式的積分，只是技巧的提高。
只有兩邊不是恒等式時，才是本質，這類的積分壹定涉及具體的物理原
理、工程原理。有時為了簡化積分，可以對兩側做恒等變換，然後積分，
數學教師的那種恒等式的積分，只有在這種情況下，才能有價值。
所以，物理意義的體現，第壹體現在積分前的方程上，而不是等式上。
第二：不定積分後的常數確定，就是定積分前的下限確定，本質上是統壹問題。
定積分的上下限的確定，本身就是物理意義的第二種體現，也就是，某
壹初始時刻對應的是什麽物理量，終了時刻對應的是什麽物理量。這種
對應可能是時間上的對應，也可能是邊界上的對應，合起來這類問題就是
常微分方程、偏微分方程的定解問題。教常微分方程、偏微分方程的
教授，基本上全是數學系畢業的，他們的***同缺陷是不能精通天文、地質、
氣象、水文、海洋、機械、電子、電氣、理論物理、理論化學等等等學科，
確定邊界條件是他們的集體致命弱點，能確定的只是極少數極少的特例。
在初等數學中，會解方程就萬事大吉。可是到了高等數學中，解微分方程，
特別是偏微分方程，必須根據定解條件，才能解答。對於初學高等數學者，
對於初等數學學習者，這是不可思議的事情。由於我們的教學培養出壹大
批喜歡雄辯滔滔的學生，他們對新的理論出現時，不是冷靜思考，而是條
件反射式的喜歡反駁，這種極不理性的反駁情緒不是個別學生，它不知葬
送了多少學生的前途。可是，我們的教師們本身就做了很多這樣的示範與
鼓勵。以至於，我們在現代數學、現代科學、現代工程學中，在國際上，
我們都是三流以外的腳色，毫無發言權，所有的理論都是舶來品，我們無
知無覺，我們樂此不疲。
所以，物理意義的體現，第二是體現在定解條件上。而定解條件的體現就
在於定積分的壹氣呵成上。
附：定解條件的英文是initial-value problem，樓主可以網上搜索。
initial-value problem，表面意譯是“初值問題”，這個翻譯不算錯。
引申翻譯就是由初值問題解決常微分方程、偏微分方程的最後的
解，也就是確定最後的解的問題，所以，初值問題的本身含義也
就是定解條件。