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悖論主要有邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統計悖論和時間悖論等。
羅素的悖論以其簡單明確震動了整個數學界，造成第三次數學危機。但是，羅素悖論並不是頭壹個悖論。老的不說，在羅素之前不久，康托爾和布拉裏·福蒂已經發現集合論中的矛盾。羅素悖論發表之後，更出現了壹連串的邏輯悖論。這些悖論使入聯想到古代的說謊者悖論。即“我正在說謊”，“這句話是謊話”等。這些悖論合在壹起，造成極大問題，促使大家都去關心如何解決這些悖論。
頭壹個發表的悖論是布拉裏·福蒂悖論，這個悖論是說，序數按照它們的自然順序形成壹個良序集。這個良序集合根據定義也有壹個序數Ω，這個序數Ω由定義應該屬於這個良序集。可是由序數的定義，序數序列中任何壹段的序數要大於這段之內的任何序數，因此Ω應該比任何序數都大，從而又不屬於Ω。這是布拉裏·福蒂1897年3月28日在巴洛摩數學會上宣讀的壹篇文章裏提出的。這是頭壹個發表的近代悖論，它引起了數學界的興趣，並導致了以後許多年的熱烈討論。有幾十篇文章討論悖論問題，極大地推動了對集合論基礎的重新審查。
布拉裏·福蒂本人認為這個矛盾證明了這個序數的自然順序只是壹個偏序，這與康托爾在幾個月以前證明的結果序數集合是全序相矛盾，後來布拉裏·福蒂在這方面並沒有做工作。
羅素在他的《數學的原理》中認為，序數集雖然是全序，但並非良序，不過這種說法靠不住，因為任何給定序數的初始壹段都是良序的。法國邏輯學家茹爾丹找到—條出路，他區分了相容集和不相容集。這種區分實際上康托爾已經私下用了許多年了。不久之後，羅素在1905年壹篇文章中對於序數集的存在性提出了疑問，策梅羅也有同樣的想法，後來的許多人在這個領域都持有同樣的想法。
經典數學悖論
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古今中外有不少著名的悖論，它們震撼了邏輯和數學的基礎，激發了人們求知和精密的思考，吸引了古往今來許多思想家和愛好者的註意力。解決悖論難題需要創造性的思考，悖論的解決又往往可以給人帶來全新的觀念。
本文將根據悖論形成的原因，粗略地把它歸納為六種類型，分上、中、下三個部份。這是第壹部份：由概念自指引發的悖論和引進無限帶來的悖論
（壹）由自指引發的悖論
以下諸例都存在著壹個概念自指或自相關的問題：如果從肯定命題入手，就會得到它的否定命題；如果從否定命題入手，就會得到它的肯定命題。
１－１ 謊言者悖論
公元前六世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯（Ｅｐｉｍｅｎｉｄｅｓ）：“所有克利特人都說謊，他們中間的壹個詩人這麽說。”這就是這個著名悖論的來源。
《聖經》裏曾經提到：“有克利特人中的壹個本地中先知說：‘克利特人常說謊話，乃是惡獸，又饞又懶’”（《提多書》第壹章）。可見這個悖論很出名，但是保羅對於它的邏輯解答並沒有興趣。
人們會問：艾皮米尼地斯有沒有說謊？這個悖論最簡單的形式是：
１－２ “我在說謊”
如果他在說謊，那麽“我在說謊”就是壹個謊，因此他說的是實話；但是如果這是實話，他又在說謊。矛盾不可避免。它的壹個翻版：
１－３ “這句話是錯的”
這類悖論的壹個標準形式是：如果事件Ａ發生，則推導出非Ａ，非Ａ發生則推導出Ａ，這是壹個自相矛盾的無限邏輯循環。拓撲學中的單面體是壹個形像的表達。
哲學家羅素曾經認真地思考過這個悖論，並試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》裏說道：“自亞裏士多德以來，無論哪壹個學派的邏輯學家，從他們所公認的前提中似乎都可以推出壹些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的，但是指不出糾正的方法是什麽。在１９０３年的春季，其中壹種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。”
他說：謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發現的那個矛盾：“那個說謊的人說：‘不論我說什麽都是假的’。事實上，這就是他所說的壹句話，但是這句話是指他所說的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生壹個悖論。” （同上）
羅素試圖用命題分層的辦法來解決：“第壹級命題我們可以說就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第壹級命題的總體的那些命題；其余仿此，以至無窮。”但是這壹方法並沒有取得成效。“１９０３年和１９０４年這壹整個時期，我差不多完全是致力於這壹件事，但是毫不成功。”（同上）
《數學原理》嘗試整個純粹的數學是在純邏輯的前提下推導出來的，並且使用邏輯術語說明概念，回避自然語言的歧意。但是他在書的序言裏稱這是：“發表壹本包含那麽許多未曾解決的爭論的書。”可見，從數學基礎的邏輯上徹底地解決這個悖論並不容易。
接下來他指出，在壹切邏輯的悖論裏都有壹種“反身的自指”，就是說，“它包含講那個總體的某種東西，而這種東西又是總體中的壹份子。”這壹觀點比較容易理解，如果這個悖論是克利特以為的什麽人說的，悖論就會自動消除。但是在集合論裏，問題並不這麽簡單。
１－４ 理發師悖論
在薩維爾村，理發師掛出壹塊招牌：“我只給村裏所有那些不給自己理發的人理發。”有人問他：“妳給不給自己理發？”理發師頓時無言以對。
這是壹個矛盾推理：如果理發師不給自己理發，他就屬於招牌上的那壹類人。有言在先，他應該給自己理發。 反之，如果這個理發師給他自己理發，根據招牌所言，他只給村中不給自己理發的人理發，他不能給自己理發。
因此，無論這個理發師怎麽回答，都不能排除內在的矛盾。這個悖論是羅素在壹九○二年提出來的，所以又叫“羅素悖論”。這是集合論悖論的通俗的、有故事情節的表述。顯然，這裏也存在著壹個不可排除的“自指”問題。
１－５ 集合論悖論
“Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。”
人們同樣會問：“Ｒ包含不包含Ｒ自身？”如果不包含，由Ｒ的定義，Ｒ應屬於Ｒ。如果Ｒ包含自身的話，Ｒ又不屬於Ｒ。
繼羅素的集合論悖論發現了數學基礎有問題以後，１９３１年歌德爾（Kurt Godel ，１９０６－１９７８，捷克人）提出了壹個“不完全定理”，打破了十九世紀末數學家“所有的數學體系都可以由邏輯推導出來”的理想。這個定理指出：任何公設系統都不是完備的，其中必然存在著既不能被肯定也不能被否定的命題。例如，歐氏幾何中的“平行線公理”，對它的否定產生了幾種非歐幾何；羅素悖論也表明集合論公理體系不完備。
１－６ 書目悖論
壹個圖書館編纂了壹本書名詞典，它列出這個圖書館裏所有不列出自己書名的書。那麽它列不列出自己的書名？
這個悖論與理發師悖論基本壹致。
１－７ 蘇格拉底悖論
有“西方孔子”之稱的雅典人蘇格拉底（Ｓｏｃｒａｔｅｓ，公元前４７０－前３９９）是古希臘的大哲學家，曾經與普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名詭辯家相對。他建立 “定義”以對付詭辯派混淆的修辭，從而勘落了百家的雜說。但是他的道德觀念不為希臘人所容，竟在七十歲的時候被當作詭辯雜說的代表。在普洛特哥拉斯被驅逐、書被焚十二年以後，蘇格拉底也被處以死刑，但是他的學說得到了柏拉圖和亞裏斯多德的繼承。
蘇格拉底有壹句名言：“我只知道壹件事，那就是什麽都不知道。”
這是壹個悖論，我們無法從這句話中推論出蘇格拉底是否對這件事本身也不知道。古代中國也有壹個類似的例子：
１－７ “言盡悖”
這是《莊子·齊物論》裏莊子說的。後期墨家反駁道：如果“言盡悖”，莊子的這個言難道就不悖嗎？我們常說：
１－７ “世界上沒有絕對的真理”
我們不知道這句話本身是不是“絕對的真理”。
１－８ “荒謬的真實”
有字典給悖論下定義，說它是“荒謬的真實”，而這種矛盾修飾本身也是壹種“壓縮的悖論”。悖論（ｐａｒａｄｏｘ）來自希臘語“para＋dokein”，意思是“多想壹想”。
這些例子都說明，在邏輯上它們都無法擺脫概念自指所帶來的惡性循環。有沒有進壹步的解決辦法？在下面壹節的最後壹部份還將繼續探討。