什麽是證明？哲學家已經就這個問題以及壹件事如何才算被證明爭論了多個世紀。毫無疑問，他們還將繼續爭論下去！另壹方面，數學家長期以來使用“暫定的定義（working definitions）”來推動數學的進步。
以這個問題為開端，PASS Maths 已經發表了壹系列文章來介紹證明和邏輯推理背後的基本思想以及它們在數學中的重要性。在這篇文章中，我們將對演繹推理進行簡單介紹並且考察壹下已知最早的數學證明之壹。
演繹推理
給定壹組已知或者被假定為真的命題，演繹推理是擴展這些命題的強有力的方法。在演繹推理中，我們認為如果前提P是已知或被假定為真的，那麽我們可以得到結論C。以下表1給出了幾種論證的形式， 表2給出了具體的例子：
表1 不同類型的演繹推理
P不能推出C
P能推出C
P為假
無效
有效、不可靠
P為真
無效
有效、可靠
表2 壹些演繹論點的例子
無效、錯誤前提
P：魚是哺乳動物。
P: 魚是溫血動物。
C：哺乳動物是溫血動物。
有效、不可靠
P: 哺乳動物是冷血動物。
P: 人是哺乳動物。
C：人是冷血動物。
無效、正確前提
P：魚是冷血動物。
P：人類不是魚。
C: 人類是溫血動物。
有效、可靠
P: 人是溫血動物。
P: 漁民是人。
C：漁民是溫血動物。
在表格中，兩個無效的論證不代表結論壹定錯誤，只是無法從論證中得到判斷。
開端：歐幾裏得幾何
歐幾裏得出生在大約公元前365年的埃及亞歷山大港，於約公元前300年去世。除了他在亞歷山大港教授數學外，我們對他的生平知之甚少。歐幾裏得書寫了大量著作，但是最有名的是他的《幾何原本》，這是壹本關於幾何的著作並被當作教科書使用了超過2000年！這本書中的內容並不是歐幾裏得的原創，而是對當時的幾何知識的總結。但是它們包含了數學史上最早的證明之壹。
在《幾何原本》中，歐幾裏得從描述點、線、平面、圓、鈍角、銳角等的23條定義開始展開。歐幾裏得的定義既不正確也不錯誤，它們只是像字典壹樣解釋著他要用到的術語的含義。然後他又寫下了數條假設。其中五條並不限於幾何，他稱之為公理：
1、和同壹個量相等的兩個量也相等。
2、等量加等量，其和相等。
3、等量減等量，其差相等。
4、 彼此能夠重合的幾何圖形是全等的。
5、整體大於部分。?
剩下五條假設和幾何相關，他稱之為公設：
1、兩點可以決定壹條直線。
2、直線可以沿其正反兩個方向無限延長。
3、給定任意線段，可以以其壹個端點作為圓心，該線段作為半徑作壹個圓。
4、凡直角都相等。
5、同壹平面內壹條直線和另外兩條直線相交，若在這條直線同側的兩個內角之和小於180°，則另外兩條直線壹定相交。
這十條內容合在壹起***同構成了歐氏幾何的公理系統。公理指的是被假定為正確的邏輯原則，它無需被證明是正確的，它可以作為演繹推理的前提。
歐幾裏得的公理系統是利用演繹推理推導出其他內容的“第壹性原理”。當然，所有的演繹論證只有在歐幾裏得公理和公設是正確時才是可靠的。
命題和證明歐幾裏得在《幾何原本》推導出大量幾何命題並且用演繹推理展示了它們在他的公理體系內是正確的。
壹個例子是命題6：“如果三角形中兩個角相等，那麽這兩個角所對的邊也相等。”
歐幾裏得的證明方法如下：
Figure 1: 命題6
“做三角形ABC且∠ABC等於∠ACB；那麽邊AB等於AC。假如AB不等於AC，其中壹個會長於另壹個。假設AB比較長；從AB中切下和AC等長的BD；連接DC。因為DB等於AC，而BC是公用的，DB等於AC，BC等於CB，且∠DBC等於∠ACB。
因此，DC等於AB，所以三角形DBC全等於三角形ACB，顯然它們兩個不壹樣大，因此出現了矛盾。所以只能是AB等於AC。“
歐幾裏得的公設是對的嗎？
所有歐幾裏得時期的希臘人和後來的阿拉伯數學家都直覺的認為第五條公設實際上可以由五條公理和前四條公設推導出來。
許多人試圖證明第五條公設，通常壹個公認的證明在被證明有錯之前會被長期接受。壹般的，有瑕疵的證明會包含“循環論證”：不管怎樣，他們先假定第五條公設是正確的來證明它是正確的
事實上，第五條公設無論對錯，它都無法從其他公設和公理中推導出來。數學家長期著迷於第五條公設，但是直到十九和二十世紀我們才知道了第五條公設不成立的幾何（非歐幾何）。
在歐氏幾何中，第五公設是對的。但是，在其他許多類型的幾何中它是不對的。這是顯而易見的，只要考慮球面上的幾何就能看到。
在球面內是無法畫壹條真正的直線的，因此在球面幾何中歐幾裏得關於線的想法變成了大圓。可以思考壹下地球上的情形，經線都是壹個大圓，赤道也是。事實上，球面上兩點之間距離最短的路徑就是這樣壹個大圓。
歐幾裏得前四條公設的壹個推論是兩條不同的直線相交，只能交於壹點。在圓上，這個說法也有問題，因為不同的大圓總是交於兩點！兩條不同的經線都經過南極和北極！
但是請妳記住，我們還沒有說歐氏幾何中的點在球面上對應什麽！我們如果把相互對跖的兩個點定義為球面上的壹個點，問題就消失了。
根據歐幾裏得的第23個定義，“平行直線是在同壹個平面內向兩端無限延長不能相交的直線。”
按照這個定義，很容易看出歐幾裏得的前四條公設仍然成立。但是第五條公設失效，因為無法畫出兩條不相交的線。球面幾何中沒有平行線。
第五條公設失效的結果就是在球面上三角形內角和不再總是180度。事實上，有壹個思維難題和非歐幾何有關
獵人離開家朝南走了壹英裏。然後朝西走了壹英裏並且射殺了壹頭熊，最後朝北走了壹英裏返回家裏。問熊是什麽顏色？
歐幾裏得和演繹推理
關於歐氏幾何的故事以及後來對非歐幾何的發現，說明了利用公理進行演繹推理的好處和缺點。
利用定義、公理和公設作為壹個系統。歐幾裏得可以通過演繹推理得到大量的幾何命題，他的公理和證明在數個世紀中成為數學家們有用的工具，並且展示了演繹推理的威力。
然而，發現非歐幾何漫長又痛苦的過程展示了演繹推理的局限性：公理系統中的所有證明都不能超出公理系統自身。在歐氏平面中，歐幾裏得第五公設是對的，他的證明既有效又可靠。然而在非歐幾何中，例如球面幾何，第五公設就是錯的，因此歐幾裏得的證明是不可靠的。