在歐幾裏得空間中，人們習慣於把空間當作三維，把平面或球面當作二維，把直線或曲線當作壹維。也可以引申認為點是零維的，也可以引入高維空間，但通常人們習慣於整數的維數。分形理論將維數視為分數，這是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量描述客觀事物的“不規則”程度，在1919中，數學家們從測度的角度引入了維數的概念，將維數從整數擴展到了分數，從而突破了壹般拓撲集合維數為整數的界限。
分形維數的概念可以從兩個方面來建立:壹方面，我們先畫壹條線段，壹個正方形，壹個立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長分成兩半。此時原圖像的線性度降低到1/2，原圖像被分割成幾個相似的圖形。它的線段、正方形和立方體分別被分成2個1、2個2和2個3的相似子圖，其中指數1、2和3正好等於圖對應的經驗維數。壹般來說，如果壹個圖由相似的B圖組成，將原圖簡化為1/a，則有:
a^D=b，D=logb/loga
如果關系成立，則指標d稱為相似維數，d可以是整數，也可以是分數。另壹方面，當我們畫壹條直線時，如果用0維的點來測量，結果是無限的，因為直線包含無限個點；如果我們用平面測量，結果是0，因為直線上沒有平面。那麽，用什麽尺度會得到壹個有限值呢？似乎只有用壹條同樣維數的小線段來測量，才會得到壹個有限值，這裏直線的維數是1(大於0小於2)。同樣，如果我們畫壹條科赫曲線，它的整體是由壹條無限長的線折疊而成，顯然，如果我們用壹條小的直線段，結果將是無限的，而如果我們用壹條平面段，結果將是0(平面不包括在這條曲線中)，那麽只有找到壹把與科赫曲線維數相同的尺子，它才會得到壹個有限值，而這個維數顯然大於1小於2，所以只能是壹個小數(。實際上科赫曲線的維數是1.5438+08。
分形壹詞的由來
據Mandelbrot教授自己說，分形這個詞是他在1975年夏天的壹個寧靜的夜晚想到的，當時他正在苦苦思索，無意中翻了翻兒子的拉丁文字典。這個詞來源於拉丁語形容詞fractus，對應的拉丁語動詞是frangere(“打破”和“產生隨機碎片”)。此外，它與英文單詞“fragment”、“fraction”、“fragment”同根。在20世紀70年代中期之前，Mandelbrot總是用英文單詞fractal來表達他的分形思想。所以，以拉丁詞為頭，以英語詞為尾，是不規則的、斷裂的、分形的。Mandelbrot想用這個詞來描述自然界中傳統歐幾裏得幾何無法描述的壹大類復雜隨機的幾何對象。比如蜿蜒的海岸線、崎嶇的山脈、崎嶇的路段、變幻無常的雲霧、蜿蜒的河流、縱橫交錯的血管、耀眼的星星等等。它們的特點是極不規則或極不光滑。直觀粗略的說，這些物體是分形的。
分形的定義
Mandelbrot曾經給出了分形的兩個定義:
(1)滿足以下條件
dim(A)gt；暗淡(A)
的集合a稱為分形集。其中dim(A)是集合A的Hausdoff維數(或分形維數)，Dim(A)是它的拓撲維數。壹般來說，Dim(A)不是整數，而是分數。
(2)部分與整體在某種形式上相似的形狀稱為分形。
但是經過理論和應用的檢驗，發現這兩個定義很難包含分形這樣豐富的內容。事實上，到目前為止，我們還不能給出分形是什麽的確切定義。就像生物學中沒有嚴格明確的“生命”定義壹樣，人們通常會列舉出生物的壹系列特征來解釋它。分形的定義也可以用同樣的方式處理。
(I)分形集具有任何小尺度的尺度細節，或者它具有精細結構。
(二)分形集不能用傳統的幾何語言來描述。它既不是滿足壹定條件的點的軌跡，也不是壹些簡單方程的解集。
(iii)分形集具有某種形式的自相似性，可能是近似自相似，也可能是統計自相似。
(iv)通常，分形集的“分形維數”嚴格大於其對應的拓撲維數。
(v)在大多數有趣的情況下，分形集是由壹個非常簡單的方法定義的，並且可以通過變換的叠代產生。