三角形性質
角
1 在平面上三角形的內角和等於180°（內角和定理）；
2 在平面上三角形的外角和等於360° (外角和定理)；
3 在平面上三角形的外角等於與其不相鄰的兩個內角之和。
推論：三角形的壹個外角大於任何壹個和它不相鄰的內角。
4 壹個三角形的三個內角中最少有兩個銳角。
5 在三角形中至少有壹個角大於等於60度，也至少有壹個角小於等於60度。
邊
6 三角形任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊。
7 在壹個直角三角形中，若壹個角等於30度，則30度角所對的直角邊是斜邊的壹半。
8直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a?+b?=c? ，那麽這個三角形是直角三角形。
9直角三角形斜邊的中線等於斜邊的壹半。
10三角形的三條角平分線交於壹點，三條高線的所在直線交於壹點，三條中線交於壹點。
11三角形三條中線的長度的平方和等於它的三邊的長度平方和的3/4。
12 等底同高的三角形面積相等。
13 底相等的三角形的面積之比等於其高之比，高相等的三角形的面積之比等於其底之比。
14三角形的任意壹條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。
15等腰三角形頂角的角平分線和底邊上的高、底邊上的中線在壹條直線上（三線合壹）。
楊輝三角形有什麽規律?1、每行數字左右對稱，由1開始逐漸變大，然後變小，回到1。 2、第n行的數字個數為n個。 3、第n行數字和為2^(n－1)。 4、每個數字等於上壹行的左右兩個數字之和。可用此性質寫出整個帕斯卡三角形。
5、將第2n+1行第1個數，跟第2n+2行第3個數、第2n+3行第5個數……連成壹線，這些數的和是第2n個斐波那契數。將第2n行第2個數，跟第2n+1行第4個數、第2n+2行第6個數……這些數之和是第2n-1個斐波那契數。 6、第n行的第1個數為1，第二個數為1×(n-1)，第三個數為1×(n-1)×（n-2）/2，第四個數為1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此類推。
楊輝三角是壹個由數字排列成的三角形數表，壹般形式如下：
1 n=0
1 1 n=1
1 2 1 n=2
1 3 3 1 n=3
1 4 6 4 1 n=4
1 5 10 10 5 1 n=5
1 6 15 20 15 6 1 n=6
……
此數列中各行中的數字正好是二項式a+b乘方後，展開始終各項的系數。如：
(a+b)^1=a^1+b^1
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
……
(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6（註意發現規律）
……
數線段，數角，數三角形有什麽規律？
數線段就數線段上有多少個點，包括末端的點，在用點數乘於點數減壹的差除於二，也就是： n×﹙n－1﹚÷2 數角和數線段的公式壹樣
解三角形有什麽規律自己做題，並註意總結；
三角形壹邊上的中線，被另外條中線截成2：1的比例，靠近頂點的那邊長點
三角形被分成了兩個面積相等的三角形
延長中線可以構建平行四邊形等
三角形內角和有什麽規律？規律是：三角形內角和為180°.
三角形定則有什麽規律嗎？三角形的重心，外心，垂心，內心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內心定理，旁心定理的總稱。
2重心定理
三角形的三條邊的中線交於壹點。該點叫做三角形的重心。三中線交於壹點可用燕尾定理證明，十分簡單。（重心原是壹個物理概念，對於等厚度的質量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）
重心的性質：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2︰1。
2、重心和三角形任意兩個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均數，即其重心座標為（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心為起點，以三角形三頂點為終點的三條向量之和等於零向量。
3外心定理
三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。
外心的性質：
1、三角形的三條邊的垂直平分線交於壹點，該點即為該三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。
3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。
4、計算外心的座標應先計算下列臨時變數：d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心座標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三頂點的距離相等
4垂心定理
三角形的三條高（所在直線）交於壹點，該點叫做三角形的垂心。
垂心的性質：
1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三點***線，且OG︰GH=1︰2。（此直線稱為三角形的尤拉線（Euler line））
3、垂心到三角形壹頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。
4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。
定理證明
已知：ΔABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE交於點O，連線CO並延長交AB於點F ，求證：CF⊥AB
證明：
連線DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四點***圓∴∠ADE=∠ABE
∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC
∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度 ∴∠ACF+∠BAC=90度 ∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！
5內心定理
三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。
內心的性質：
1、三角形的三條內角平分線交於壹點。該點即為三角形的內心。
2、直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之壹。
3、P為ΔABC所在空間中任意壹點，點0是ΔABC內心的充要條件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O為三角形的內心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長AO交BC邊於N，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、(尤拉定理)⊿ABC中，R和r分別為外接圓為和內切圓的半徑，O和I分別為其外心和內心，則OI^2=R^2-2Rr．
6、（內角平分線分三邊長度關系）
△ABC中，0為內心，∠A 、∠B、 ∠C的內角平分線分別交BC、AC、AB於Q、P、R， 則BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
7、內心到三角形三邊距離相等。
6旁心定理
三角形的旁切圓（與三角形的壹邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。
旁心的性質：
1、三角形壹內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於壹點，該點即為三角形的旁心。
2、每個三角形都有三個旁心。
3、旁心到三邊的距離相等。
如圖，點M就是△ABC的壹個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。壹個三角形有三個旁心，而且壹定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合壹。
7有關詩歌
三角形五心歌（重外垂內旁）
三角形有五顆心，重外垂內和旁心， 五心性質很重要，認真掌握莫記混．
重 心
三條中線定相交，交點位置真奇巧， 交點命名為“重心”，重心性質要明了，
重心分割中線段，數段之比聽分曉； 長短之比二比壹，靈活運用掌握好．
外 心
三角形有六元素，三個內角有三邊． 作三邊的中垂線，三線相交***壹點．
此點定義為外心，用它可作外接圓． 內心外心莫記混，內切外接是關鍵．
垂 心
三角形上作三高，三高必於垂心交． 高線分割三角形，出現直角三對整，
直角三角形有十二，構成六對相似形， 四點***圓圖中有，細心分析可找清.
內 心
三角對應三頂點，角角都有平分線， 三線相交定***點，叫做“內心”有根源；
點至三邊均等距，可作三角形內切圓， 此圓圓心稱“內心”，如此定義理當然．
五心性質別記混，做起題來真是好。
學前班小朋友數三角形有什麽規律嗎？壹個壹個的數，我兒子會。
在壹個圓畫幾個直角三角形有什麽規律答：在壹個圓畫幾個直角三角形的規律：
以圓周上任意壹點C，向這個圓的任意壹條直徑AB的兩端作AC、BC二根連線，所作的△ABC 都是直角三角形。斜邊是直徑AB，AC、BC是兩條直角邊。
小學數學中，數三角形有何規律規律？以“由100個完全壹樣的小正三角形組成壹個大三角形，問這個大三角形中壹***有多少個三角形？”為例。
100個完全壹樣的正三角形擺成壹個10層的大三角形。
（壹）算單個三角形的個數10×10=100.
(二）算出尖朝上的三角形的個數。算尖朝上的三角形個數也是采用倒加整數的方法，關鍵是確定首數。先算由4個小三角形組成的尖朝上的三角形的個數：從9（9是首數，首數比層數少1）開始倒著加，壹直加到1（9+8+7+6+5+4+3+2+1=45）；接著算由9個小三角形組成的尖朝上的三角形的個數：從8開始倒著加，壹直加到1（8+7+6+5+4+3+2+1=36）；再算由16個小三角形組成的尖朝上的三角形的個數：從7開始倒著加壹直加到1，（7+6+5+4+3+2+1=28）；接著算由25個小三角形組成的尖朝上的三角形的個數：從6開始倒著加，壹直加到1（6+5+4+3+2+1=21）......算出由81個小三角形組成的尖朝上的三角形個數：從2開始倒著加，壹直加到1（2+1=3）；最後算由100個小三角形組成的尖朝上的三角形個數：就是1。（三）算出倒三角形的個數。從4個小三角形組成的倒三角形算起，也是用倒著加的方法計算，關鍵要知道首數是多少，告訴大家由4個小三角形組成的倒三角形的首數比總***的層數少3，即10-3=7，個數就是：7+6+5+4+3+2+1=28。以後算倒三角形的個數的首數每次少2，也就是說由9個小三角形組成的倒三角形的個數應該從5開始倒著加即5+4+3+2+1=15，,16個小三角形組成的倒三角形的個數應該從3開始倒著加即3+2+1=6，由25個小三角形組成的倒三角形的個數就是1了，就不可能再有由36個、49個，甚至更多的小三角形組成的倒三角形了。（四）把單個三角形、正的三角形和倒的三角形的個數加在壹起就是總***三角形的個數。