如果整數A除以整數B得到的余數是1，那麽整數A除以2倍、3倍、4倍、...、(b-1)次分別是
1×2=2,
1×3=3,
1×4=4,
…………
1×(b-1)=b-1。
例如，15 ÷ 7 = 2...余數是1，即
2× 15 ÷ 7 = 4 ...剩余2，
3× 15 ÷ 7 = 6 ...剩下3個，
4× 15 ÷ 7 = 8 ...剩下的4個，
5× 15 ÷ 7 = 10 ...5,
6× 15 ÷ 7 = 12 ...於6。
也請關註壹個體驗。
從某個數A中連續減去幾個B後，所需的差小於數B，實際上是數A除以數B所得的余數.
比如758減去壹個數105後，需要的差小於105，實際上是758除以105得到的余數。
758 ÷ 105 = 7 ...於23。
讓我們來研究孫子的問題。
中國古代孫子的計算中有壹個問題:“今有未知之事，三三數剩二，五五數剩三，七七數剩二。事物的幾何是什麽？”意思是，“壹個數除以3大於2，除以5大於3，除以7大於2。找到適合這個條件的最小數。”這個問題被稱為“孫子問題”。孫子問題的通解，國際上稱為“中國剩余定理”。
事實上，我們可以這樣看待上面的問題:
分別寫出約數3、5、7的兩兩公倍數。下表:
壹號組，二號組，三號組
最小公倍數3和5，公倍數3和7，公倍數5和7。
其他公倍數15 21 35
30 42 70
45 63 105
60 84 140
75 105 175
……
在第壹組數字中，我們選擇較小的數字——30，符合“除以7和2”；
在第二組數字中，選擇較小的數字——63，符合“除以5，剩余3”；
在第三組數字中，選擇較小的數字-35。
根據sum的整除性可以知道，30+63+35=128壹定是同時符合“除以3、除以5、除以7”的數(為什麽？)，但不壹定是最低的。要得到合格的最小數，只需從3、5、7的最小公倍數中減去幾倍，使差值小於這個最小公倍數。
3、5、7的最小公倍數是3×5×7=105。因此，由於前面的經驗2，我們可以看出
128 ÷ 105 = 1 ...於23。
這個余數23是所需的合格最小數。
有意義的是，雖然孫老先生的解也是從思考上表得到的，但他的解更壹般。親愛的讀者們，妳們能猜出孫子的壹般解法嗎？
法律
壹個數除以3大於2，除以5大於3，除以7大於2，求適合這個條件的最小數。孫子的解決辦法是:
首先從3和5、3和7、5和7的公倍數中找出分別被7、5和3整除的較小數15、21和70。
15 ÷ 7 = 2 ...剩余1，
21 ÷ 5 = 4 ...剩余1，
70 ÷ 3 = 23 ...剩余1。
然後將找到的三個較小的數分別乘以余數除以7、5、3的乘積，
15×2+21×3+70×2=233.
最後，總和233除以除數3、5和7的最小公倍數。
233 ÷ 105 = 2 ...余23，
這個余數23是合格的最小數。
以上三個步驟適用於解決所有類似孫子問題的問題。
練習
1.韓信命令士兵:有壹隊士兵。如果按五行列排列，則末有壹，末有六，末有五，末有七，末有四，末有十。求兵數。
2.有壹堆棋子，三個地塊還剩兩個，五個地塊還剩四個，七個地塊還剩六個。這堆棋子的最小數量是多少？(分兩種方式求解)
3.用壹個數除以7、3、8、4和9。5.從小到大找出適合條件的十個數。
4.將壹個數除以5+2，除以7+4，除以11+8。找出適合該條件的最小數字。
5.壹只猴子數壹堆桃子。兩塊地留1，三塊地留1，五塊地留三，七塊地留三。這堆桃子的最小數量是多少？
數學很抽象，很枯燥。如何讓數學變得通俗易懂，受到人們的喜愛？在這方面，我國古代數學家做了很多嘗試，歌謠和公式就是其中之壹。從南宋的楊輝開始，元代的朱世傑、丁菊、賈衡，明代的劉世龍、程大偉都以韻文的形式提出了各種算法，或以詩歌的形式提出了各種數學問題。朱世傑的《思源遇見》和《或問歌》中有十二個數學問題，都是以詩歌的形式提出來的。例如，第壹個問題:
如今，這裏有壹個方形的水池，四面都是水。
礁石的兩邊逐漸變大，水冒出來30英寸。
東海岸有壹種香蒲，水面上沒有零。
橋墩與水稍平齊，那麽如何確定三種(水深、墩長、墩長)？
第四個問題:
我有壹壺酒，我要帶友春壹起走。
遇到壹家店，翻倍，每個朋友喝壹桶。
店友經過三個地方，把壺裏的酒弄丟了。
我可以問壹下這個壺裏有多少酒嗎？
程大偉的《明代算法經典》是壹部通俗實用的數學著作，也是壹部數字詩的代表作。明末清初廣為流傳的《算法通宗》十七卷，為民間數學知識的普及做出了突出貢獻。程大偉花了將近20年的時間才完成這本書。最初，他是壹個商人。他經商時，從全國各地搜集算術、寫作方面的書籍，編成歌謠，把枯燥的數學題變成美妙的詩篇，讓人朗朗上口，加強了數學普及的親和力。
著名的《孫子算經》有壹個“不知物數”的問題。這段計算的原文是:“今天，有些事情的數字是未知的。三三個數剩二，五五個數剩三，七七個數剩二。事物的幾何是什麽？答二十三。”這個問題壹直流傳到後世，出現了很多有趣的名字，比如“鬼谷子”“韓信點兵”。程大偉在《算術統壹》中以詩歌的形式寫了壹個數學解:
三人同行七十，五樹二十壹棍，
七子重聚在月中，到105年才知道。
這首詩包含了著名的“余數定理”。也就是說，余數除以3乘以70，余數除以5乘以21，余數除以7乘以15。如果結果大於105，則減少105的倍數。上述問題的結果是:(2×70)+(3×21)+(2×15)-(2×105)= 23。
這個問題在宋代的壹個筆記本裏也有詩意的解答:
三歲小孩七十稀罕，五留二十事特別奇。
七度再相見，寒食明。
古代把正月十五叫做上元，所以上元指的是15，也叫至日十六日清明。寒食是清明節的前壹天，所以寒食上的清明是指105。兩首詩解法相同，答案是23。
程大偉也有壹首類似二元線性方程組的飲酒數學詩:
餐廳顧客眾多，薄酒之名，濃而醇。
壹瓶好酒三人醉，三瓶稀酒壹人醉。
* * *喝了19次，33個客人都醉了。
請問高明做學問，有多少酒量？
這首詩的大意是:壹瓶好酒能醉三客；三瓶薄酒就能把客人灌醉。33個客人喝醉了，總喝19瓶酒。有多少瓶好酒和薄酒？
元代有壹本算術書《詳明算法》講的是丈量田畝的方法:
古代田地長而潮濕，全靠繩尺丈量。
雖然有壹種形式的普遍定律，但只有田方定律易於詳述。
如果看到漩渦斜下凹，壹定要補上。
但是，小米實際上是壹種田地產品，分兩畝或四畝的方法很強。
蘇東坡的壹首名為《鳥歸巢》的數學詩；
相繼出生，三四五六七八。
鳳凰鳥少鳥多，啄食人間千石谷！
經過計算，“壹個生壹個”是1+1 = 2。“三四五六七八，但是3× 4 = 12，5× 6 = 30，7× 8 = 56。四組數字之和正好是100。這首詩就像壹場智力遊戲，用智慧啟迪人。
這樣，這類問題就可以掌握了。