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龍在天的詩

數學之美

著名數學家陳省身先生曾不止壹次地說過:“數學是美的。”數學的美現在是方方面面的。也許美就在於她是探索世界現象規律的起點,也許美就在於她用幾個字母符號就能表達的壹些信息的簡單明了,也許美就在於她大膽的假設和嚴格的論證的偉大結合,也許是她論證壹個問題就達到了同壹個目的的奇妙感覺, 也許美就在於數學家窮盡畢生論證定理的毅力,也許美就在於她在幾乎所有學科的廣泛應用。

而美好的數學,在自古崇尚詩書傳世的中國,也洋溢著書香。中國悠久的歷史積澱了文學遺產,給中國的數學染上了奪目的色彩,這就是數學的文采。

自然美

劉勰《文心雕龍》認為文章的價值還是天然的。文章是反映生活的鏡子,脫離生活的文學是空洞無用的。數學也是如此。

數學存在的意義在於理性地揭示自然的壹些現象和規律,幫助人們認識和改造自然。可以說數學是用在生活中的。數學最早的起源,大概是來自古人的結繩筆記,壹個個,從壹開始就牢牢地系住了數學的根和生命。後來,記譜法出現是為了滿足牲畜飼養或商品交易的需要,產生了古代幾何學來測量土地。中國古代眾多的數學著作(如《九章算術》)幾乎都是關於某個具體問題的探索和推廣。

在中國,數學源於生活,而在國外,歷代數學家遵循的是宗法制度。阿基米德的數學成果在當時被用於軍事、建築、工程等諸多科學領域。牛頓看到東西就想到了數學,也就是他創造了微積分。費馬和歐拉對變分法的開創性發明也是由探索自然現象引起的。

簡潔之美

不管世界有多復雜,加減乘除;

宇宙雖然浩瀚,卻布滿了點、線、面。

這首詩,用寥寥數語,把數學的簡單明了總結的很到位。數學和詩歌壹樣,有壹種獨特的簡潔之美。

詩歌的質樸,眾所周知,用寥寥數語為讀者創造了廣闊的想象空間,這大概就是詩歌的魅力所在。

美國著名心理學家L?l·布隆菲爾德說:“數學是語言所能達到的最高境界。”如果說詩歌的凝練是寫意,是中國水墨畫中的留白,那麽數學語言的含蓄是寫實、凝練、準確、抽象、規範,是嚴謹科學態度的體現。數學的簡單性不僅能使人們更快更準確地把握理論的本質,促進自身學科的發展,也使數學學科具有很強的通用性。目前,數學作為自然科學的語言和工具,已經成為包括社會科學在內的所有科學的語言和工具。

最典型的例子就是二進制在計算機領域的應用。想象壹下,任何壹條復雜的指令,翻譯成01的清數串。多好的主意啊。可以說,沒有數學的簡化,就沒有互聯網四通八達,信息技術飛速發展的時代。

對稱美

中國的文學講究對稱,從百年對聯文化中可見壹斑。更好的對稱是回文。蘇軾有壹首著名的七調《遊金山寺》,就是這方面的佳作:

參觀金山寺

潮起潮落暗波雪山,蒲元漁舟月。/橋至寺門松徑小,檻明如石波泉眼。/壹路綠樹,江水曉,晚霞紅雲晴。/遙望遠方,四面雲接水,碧峰千鷗。

不難看出,把它倒過來還是壹首完整的七律詩:

輕鷗數千峰,水遇雲煙,東張西望。/晴天夕陽紅,小天江樹綠。/清波石巖泉為檻,小路松門寺橋對面。/嶽明漁船釣濮院,傾山雪浪暗隨潮。

這首回文詩,無論是向前讀還是向後讀,都是壹首情景交融、清新易讀的好詩。同樣,還有壹個例子:“香蓮清水動而氣爽,水動而氣爽而夏長。長日盛夏,涼風動水,涼風動水荷香。”這些詩,構思巧妙,給人奇妙的感覺,每讀壹遍,讀者都會暗暗驚呼。

而在數學中,不乏這樣的回文,比如:

12×12=144,21×21=441;

13×13=169,31×31=961;

102×102=10404,201×201=40401;

103×103=10609,301×301=90601;

9+5+4=8+7+3,92+52+42=82+72+32。

數學中更壹般的對稱性體現在函數圖像的對稱性和幾何圖形上。前者為我們探索功能的本質提供了便利,後者在建築和藝術領域應用後,給人以無窮的美感。

懸疑美

文學中的小說善於設置懸念。壹開始,他們拋出引人入勝的畫面、突發事件、令人擔憂的矛盾、令人擔憂的懸念和發人深省的問題,然後壹步步描述、講述、展開、回答、思考。或者留下壹個沒有結局的結局,無論什麽,沒有答案,結尾沒有結尾,讓讀者自己去想象,去驗證,去追問,去體驗。根據米蘭?昆德拉說:小說家的聰明在於把壹切確定性變成懷疑,教會讀者把世界理解成壹個問題。

這種現象在數學中絕不罕見。很多數學問題都是從壹個看不出任何端倪的方程開始,用各種方法壹步步解決,最後得出明確的結論。數學的樂趣在於人們尋求真理的態度,他們好奇的求解過程,以及最終真相大白時的愉悅。這與人們閱讀推理小說時的感覺相似。難怪有人說,世界本身就是壹個未知數,文學本身就是壹個探索世界奧秘的方程式。

意象美

詩歌與數學最深刻的關系是數學概念或意象與詩歌的結合。

在稻花香中,人們談論著壹年的收成,耳邊壹片蛙鳴,仿佛在壹個豐收年。(辛棄疾)

壹眼望去,有兩三裏遠,薄霧籠罩著四五戶人家。亭臺六七,八九十花開。(邵勇)

壹張帆,壹個槳,壹艘漁船,壹個漁夫和壹個鉤子。壹鞠躬壹笑,壹輪明月壹秋。(紀曉嵐)

壹別,兩地掛在壹起,只說是三四月,誰知五六年,七弦琴無心彈,八股文不得傳,九鏈從中斷。我看透了十裏亭,思緒萬千,思緒萬千,卻又無可奈何地稱之為丫環。有千言萬語抱怨郎,煩死了。我看九九重陽孤雁,八月中秋月圓非圓。七月半,我焚香點燭祭祖。六月的三伏天,人人抖我心。五月,石榴似火,雨過花落。四月枇杷不黃,我懶。三月桃花被風吹走!郎朗,真希望妳是女的,我是二世紀的男的。(卓文君)

看完這些詩,大家可以明顯感覺到,詩的意境都來自於那些數字。無論數字是單獨使用、重復使用還是循環使用,看似未受感染的數字都可以表現出孤獨、歡快、冷漠或悲傷的思想感情。

在國外,中世紀歐洲最偉大的兩位詩人——但丁(1265 ~ 1321)和G·喬叟(1342 ~ 1400)的作品都充滿了數學知識。17世紀,英國著名玄學派詩人約翰?約翰多恩(1572 ~ 1631)和安德魯?AndrewMarvell(1621 ~ 1678)通過歐幾裏得幾何中的圓規、平行線等數學概念類比了愛情。後者對愛的定義特別有趣:

像直線壹樣,愛也是傾斜的/它們可以在每個角度相交/但我們的愛真的是平行的/雖然無限,但它們從未相遇。

愛情壹直是壹個難以用語言表達清楚的名詞。作者借助讀者熟悉的平行線和豐富的數學形象,巧妙地將自己的意思準確地傳達給讀者。

邏輯美

說到邏輯,就不能不提到中國四大古典小說之壹的《紅樓夢》。復雜的人物關系,縝密的故事情節,吸引了大批學者畢生考證,樂此不疲。

《紅樓夢》的魅力在於它以卷首的壹首詩開始,逐章緊密展開。美好的數學也是通過嚴謹的論證,在壹個宏觀概念下簡潔有力的表達出來的。

數學規律就像紅樓夢壹樣,從壹些基本定理中優雅而清晰地表達出來。大部分數學卷子很難懂,但有些能讓人流連忘返。牛頓三定律很簡單,但是可以解釋非常復雜的現象,比如天體的規律。這就是數學家的味道。如果不夠嚴謹,經不起推敲,就不會入眼。

數學和文學作品既註重嚴密的邏輯論證,又遵循從局部結構到大尺度結構的發展規律。

與文獻非常相似,從局部結構到大尺度結構的發展也是現代數學發展的過程。從局部到大尺度的文學,往往用對比法處理:即對事物有不同的感受,同壹事物或同壹事物可以產生不同的詠聲。當人們對事物有不同的感受時,往往會以比較的方式來參考。比如“美女”有多重含義,除了指美女,也可以指君主。屈原《九章》:“以壹點情意言之,以壹美丈夫正之。”也可以指品德好的人,《詩經》?高峰:“誰在雲裏想,西方美人。”蘇軾《赤壁賦》:“望天之美。”幾何和數論都有這段歷史。代數幾何學家用爆炸的方式研究奇點,就像把全世界都集中在壹點上。微分幾何和廣義相對論看到的奇點比代數流形更復雜,但也希望從局部出發,逐步了解整體結構。數論專家在研究局部結構時,用素數的模方法把算術流形變成有限域上的幾何,然後與大範圍的算術幾何進行比較,得到豐富的結果。此外,數學家還會對壹些重要的定理提出許多不同的證明。比如勾股定理有10多種不同的證明,等周不等式有五六種證明,而高斯給出了數論對偶定律的六種不同觀點。不同的證明讓我們從不同的角度去理解同壹個事實,往往會導致數學的不同發展。這也算是壹個從局部到大範圍的例子。

總之,數學並不像有些人想的那麽枯燥。不是長篇大論的定理公式的堆積,而是壹門漂亮的學科。在中國的文學背景下,數學也閃耀著不壹樣的光彩。

或許,用壹個網友的文章《沁園春?數學》這篇文章的結尾是完美的:

“沁園春?數學

數園芬芳,千年繁華,不朽。

讀《算術九章》很精彩,《幾何原本》很有意義;

復變函數,通論,瑰麗瑰麗;

盛世,趁著春天和明天的溫暖,學會波瀾壯闊。

問題滿天飛,吸引了無數人才去詳細研究;

楊枷羅華氏,群論,陳定理,得意地笑著;

壹代天驕,壹個?懷爾斯,第壹次驗證費馬;

昂起頭看數學的發展,沒有極限!