計算機用戶的壹個普遍誤解是計算機數值計算的絕對準確性。也就是說，如果妳乘以:
3 × (1/3)
您期望的準確結果是1。另壹方面，妳發現計算機沒有給出這個結果，但它只是壹個近似值，類似於0.4000000000005
這似乎是系統的壹個“bug”，但更令人驚訝的是，是的，計算機就是這樣工作的（計算機代數系統除外）。本文將詳細解釋這個問題。
位、字節、半字節和無符號整數
幾乎所有的計算機用戶都知道“位”的概念。在計算機中，表達式值0或1通過切換來設置。如果您有兩個位可供選擇，您可以輕松獲得四種不同的狀態:
00 01 10 11
如果您有三位，您可以用八種狀態來表示它們:
000 001 010 011 100 101 110 111
每增加壹點，妳就會得到兩倍的狀態。
許多計算機使用八位來表示信息，而其他計算機則多了八位，例如16位、32位或64位。通常以八位為壹組作為基本單位，並使用另壹個詞“字節”。計算機的處理器壹次處理壹位或多位信息。存儲器使用壹個或多個八位字節來存儲數據。
事實上，在某些情況下使用四位來處理問題更方便。這種四位數據通常被稱為“四位字節”。但事實上，“bit”比“nybble”更常用。
壹個nybble可以編碼16種不同的情況，例如數字0到15。壹般來說，可以使用任何序列排列來表示不同的16狀態，但在實際應用中通常是這樣的:
0000 =十進制0 1000 =十進制8 0001 =十進制1 =十進制9 0010 =十進制2 1010 = 1011 =十進制4 654383 0110 =十進制6 1110 =十進制14 0111 =十進制7 1166。
這種表示是自然的，因為它符合我們熟悉的十進制數表示方法。例如，給定壹個十進制數:
7531
我們自然將其理解為:
7 × 1000 + 5 × 100 + 3 × 10 + 1 × 1
或者，使用10的冪來表示:
7 × 10 3 + 5 × 10 2 + 3 × 10 1 + 1 × 10 0
請註意，任何數字（除了0）的0次方都是1。
數據中的每個數字代表壹個從0到9的值，因此我們有10個不同的數字，這就是為什麽我們稱之為“十進制”。每個數字都可以用10的冪來確定。聽起來很復雜，但事實並非如此。當妳閱讀壹個數字的用法時，這正是妳認為理所當然的，妳甚至沒有仔細考慮過它。
類似地，如上所述，使用二進制編碼，13的值編碼如下:
1101
每個位置有兩個數字可供選擇，因此我們稱之為“二進制”。因此，它們的位置確定如下:
1101 =
1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 =
1×8+1×4+0×2+1 = 13（十進制）
請註意，這裏使用的是2的冪:1、2、4和8。癡迷於計算機的人通常能記住從2到16的2的冪，這不是因為他們的記憶力，而是因為他們經常使用這些數字:
2 0 = 1 2 8 = 256 2 1 = 2 2 9 = 512 2 2 = 4 2 10 = 1 024 2 3 = 8 2 11 = 2 048 2 4 = 16 2 654 38+02 = 4 096 2 5 = 32 2 13 = 8 192 2 6 = 64 2 14 = 16 384 2 7 = 128 2 15 = 32 768 2 16 = 65 536
請註意，根據公制單位，值2 10 = 1 024通常稱為“千克”或縮寫為“k”，因此2的許多高次冪通常可以縮寫為:
2 11 = 2K = 2 048 2 12 = 4K = 4 096 2 13 = 8K = 8 192 2 14 = 16K = 16 384 2 15 = 32K = 32 768 2 16 = 64K
同樣，值2 ^ 20 = 1 ^ 024 x 1 ^ 024 = 1 ^ 048 576通常縮寫為“m”:
2 21 = 2米2 22 = 4米
而2 ^ 30壹度被稱為“吉”或“克”。我們將在下面大量使用這些修飾語。
有壹個很微妙的話題。如果我們使用16位，我們可以得到65 536個不同的值，但這些值的範圍從0到65 535。人們通常從1開始計數，但計算機從0開始計數。因為這對他們來說更容易。這個小問題有時會讓計算機感到困惑。
現在，我們有了計算位數的方法:
您只能在所有位的範圍內執行算術運算。換句話說，如果您使用的是16位，則不能對65 535或更大的數據進行操作，否則會出現“數據溢出”錯誤。這個術語表示您所做的是“有限精度”操作。
小數不能用這種編碼來表示。您只能使用非十進制的“整數”。
負數不能用這種編碼來表示。所有數字都是“無符號數字”
盡管有這種限制，“無符號整數”對於計算機中1的簡單計數仍然非常有用。它們易於計算機處理。通常計算機使用16位或32位無符號整數，通常稱為“整數”或“長整數”。整數允許對0到65，535的數據進行運算，而長整數允許對0到4，294，967，295的數字進行運算。
八進制和十六進制數字
現在讓我們討論壹些無關的話題:二進制數的表示。計算機通常使用二進制來表示數據，但實際上，如果您像這樣使用二進制:
1001 0011 0101 0001
那將是壹件痛苦的事情，而且容易出錯。通常計算機使用基於二進制的表達式:八進制，或者更常見的十六進制。
這個聽起來很狡猾，但實際上非常簡單。如果不是因為這個，我們不會這樣使用它。在通常的十進制系統中，我們有10個數字（0到9），排列方式如下:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ...
在八進制中，我們只有八個數字（0到7），排列如下:
0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 ...
也就是說，八進制的“10”相當於十進制的“8”，八進制的“20”相當於十進制的“16”，以此類推。
在十六進制中，我們只有十六個數字（0到9，然後從A到F），排列方式如下:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e f 10 11 12 13 14 15 16...
換句話說，十六進制的“10”相當於十進制的“16”，十六進制的“20”相當於十進制的“32”。
這些數值方法都是表位置系統，但它們使用8和16，而不是像decimal那樣使用10。例如:
八進制756
= 7 × 8 2 + 5 × 8 1 + 6 × 8 0
= 7 × 64 + 5 × 8 + 6 × 1
= 448+40+6 =十進制494
十六進制3b2
= 3 × 16 2 + 11 × 16 1 + 2 × 16 0
= 3 × 256 + 11 × 16 + 2 × 1
= 768+176+2 =十進制946
如果妳不明白，別擔心。我們想解釋的是，對於八進制來說，它們與三位二進制完全對應:
000 =八進制0
001 =八進制1
010 =八進制2
011 =八進制3
100 =八進制4
101 =八進制5
110 =八進制6
111 =八進制7
類似地，壹個十六進制數只對應壹個4位二進制數。
0000 =十六進制0 1000 =十六進制8 0001 =十六進制1 =十六進制9 0010 =十六進制2 1010 = 1011 =十六進制b 0100 =十六進制4 16538十六進制6 1110 =十六進制e 0111 =十六進制7 11 =十六進制f。
因此，將很長的二進制數轉換為八進制數非常簡單，例如將二進制數1001001010101轉換為八進制數:
1 001 001 1 01 001二進制= 11八進制。
轉換成十六進制更容易:
1001 001 01 001 0001 = 9351十六進制。
但是轉換成十進制（37 713）比較麻煩。八進制和十六進制使轉換二進制機器級別的數字變得容易。
帶符號整數和補碼
定義了無符號二進制數之後，我們將開始定義負數，即“有符號整數”。最簡單的方法是保留壹位來表示數值的符號。這個“符號位”可以位於值的最左邊，當然也可以位於值的最右邊。如果符號位為0，則表示該值為正，如果符號位為1，則表示該值為負。
這樣做是可能的。盡管從人類的角度來看這是最明顯的解決方案，但它可能會給計算機帶來壹些困難。例如，這種編碼使正負零都成為可能。人們可能對此感到不可思議，但它適用於計算機。
對於計算機來說，更自然的表達方式是將給定位數的二進制數根據其範圍分成兩半，其中前半部分用於表示負數。例如，在壹個4位數中，您可以得到:
0000 =十進制0 0001 =十進制1 0010 =十進制2 0011 =十進制3 0100 =十進制4 0101 = 011 =十進制7 1000 =十進制-8 138+0101 = Decimal-3 110 = Decimal-2 11111 = Decimal-65438+。
現在我們有了壹個“帶符號整數”的數字系統，由於壹些不重要的原因，它使用了已知的“補碼”編碼方法。對於16位有符號數字編碼，我們可以得到-32 768到32 767範圍內的有符號數字。對於32位有符號編碼系統，我們可以對從-2 147 483 648到2 147 482 647的數字進行編碼。
與僅改變符號位來表示負數的編碼方法相比，“補碼”編碼方法有所不同。例如，對於-5，僅編碼符號位，應為:
1101
但是對於“補碼”編碼方法，它是:
1011
這是符號編碼的-3。我們稍後將解釋為什麽計算機使用補碼編碼。
所以，現在我們可以用二進制的方式表示兩個不同的值，正的和負的。記住解釋二進制數只有兩種方法。如果內存中有這樣的二進制值:
1101
-這在十進制中只能解釋為“13”或“-3”。
不動點
這種格式通常用於商業計算（例如，在電子表格或COBOL中）；因為在這裏，拋棄小數點來記錄貨幣是不可接受的。因此，了解二進制如何存儲小數非常有用。
首先，我們必須決定用多少位存儲小數部分，用多少位存儲整數部分。假設我們用32位來表示這種格式，那麽我們用16位來表示整數部分，用16位來表示小數部分。
小數部分怎麽用？這遵循表示整數的方式:如果8位後跟4位，則是2位和1位，然後當然是半位、1/4位和1/8位等等。
例如:
整數小數位0.5 = 1/2 = 0000000000000.10000000000000005438+0.25 = 1 1/4 = 0000000000000000000000000 7
有點棘手的是，如果要表示1/5（十進制0.2），則無法得到準確的數值表達式。最好的辦法只能是:
13107/65536 = 0000000000000.00111101111110065438.
13108/65536 = 0000000000000.00111101111101065438 = 0.
然而，不，妳不能只是做它，因為妳有更多的數字來表達它。問題是有些小數不能用二進制精確表示。除非妳用特殊的方法。這種特殊的方法是用兩個數字來表示小數:壹個是分子，另壹個是分母。然後妳可以用學校裏學過的加減乘除來得到它們。但是，這些方法無法表示更高級別的數字（如平方根），或者如果這兩個分母的最小公倍數很大，則很難使用。這就是用定點小數表示小數的好處。
浮點十進制
當我們使用有符號和無符號數值表達式時。如果我們遇到壹個範圍很大的數字，甚至32位都不足以表達它們，或者我們可能能夠表達它們，但我們不得不為此放棄小數位數，我們可以選擇的獲得更大範圍的數字表達式的方法是使用“浮點小數”格式而不是“固定小數”格式。
在十進制系統中，我們熟悉以下表達式:
1.1030402 × 10 5 = 1.1030402 × 100000 = 110304.02
或縮寫為:
1.1030402E5
這意味著“1.103402乘以壹個數字1後跟五個零”。我們可以得到壹個確定的數值（1.1030402）稱為尾數，並將其乘以10（E5，代表10 5或100 000）的某個冪級數，即冪級數。如果我們使用負冪級數，它意味著乘以正級數的倒數。例如:
2.3434 e-6 = 2.3434×10-6 = 2.3434×0.00001 = 0.0000023434
使用這個定義的好處是我們可以得到更大範圍的值，盡管尾數部分的準確性會受到影響。類似的原理也適用於計算機使用的二進制系統。已經設計了許多方法，但通常使用美國電氣和電子工程師協會定義的壹種方法。它將64位浮點格式定義為:
11二進制表示索引，使用“超級1023”的格式。這種格式允許將指數表示為從0到2047的無符號數，但在獲得真實值之前，必須將其從1023中減去；
52位尾數，用無符號數字表示；
符號位；
讓我們用壹個例子來理解計算機如何使用8位內存來存儲這些數字:
0號:sx 10x 9 x7 xxx5 x 4 1號:x3x2x 1x0m 51m 50m 49m 48 2號:m47m 46m 45m 44m 43m 41m 40 3號:M39m38m38。35 m34 m33 m32第四名:m31 m30 m29 m28 m27 m26 m25 m24第五名:m23m 22m 21m 20m 19m 17m 16第六名:M15m6556。13m 12m 1m 10m 9 M8第七名:m7 m6 m5 m4 m3 m2 m1 m0。
其中“s”代表符號位，“x”代表指數位（秩碼？），“m”表示尾數。壹旦這些數字被讀取，它將被轉換為:
& ltsymbol》×（1+& lt；分數尾數》；）×2 & lt；訂單代碼》- 1023
此方法提供的數字範圍是:
最大值和最小值
正數是1.7991346231e+308484+0246534
負數-4.94065645412465 e-324-1.791331e+308。
該方法還定義了壹些不是數字的值，例如“NaNs”（“不是數字”）。這通常用於返回指示數字溢出的信息。通常妳不會碰它，所以我們不會進壹步討論它。壹些程序使用32位浮點小數。最常見的是使用32位尾數、1位符號位、8位代碼和“超級127”格式。它提供7個十進制數字。
第0名:S x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1No1號:x0m22m 21m20m 19m 17m 16號2號:M15m65438+。第三名:m7 m6 m5 m4 m3 m2 m1 m0。
用於數字轉換:
& ltsymbol》×（1+& lt；分數尾數》；）×2 & lt；訂單代碼》- 127
其範圍是:
最大值和最小值
正數3.402823E+38 2.802597E-45
負數-2.802597e-45-3.423e+38
通常，我們可以將32位二進制浮點數稱為“單精度”，將64位二進制浮點數稱為“雙精度”。如果我們使用real，它通常表示壹個雙精度浮點數；使用float時，我們通常指單精度浮點數。
但請記住，位是位，它們在計算機中的存儲是連續的。當計算機內存中有壹個64位數據時，它可能是壹個雙精度浮點數、兩個單精度浮點數、四個有符號或無符號整數或其他8位數據，這取決於計算機如何讀取它們。如果計算機將四個無符號整數讀取為雙精度浮點小數，則可以得到壹個雙精度浮點小數，但此數據可能是垃圾數據。
因此，盡管我們現在已經解決了正數和負數的存儲模式，但浮點數仍然存在壹些類似整數的缺陷，例如:
和整數壹樣，浮點數也有範圍。雖然我們得到的範圍比整數大得多，但它仍然是有限的。如果您試圖將兩個非常大的數字相乘，可能會出現“數據溢出”錯誤。而且如果用壹個小數字除以壹個大數字，可能會使索引的值出錯，從而導致“數據下溢”的錯誤。最大值通常被稱為“機器無窮大”，因為這是計算機可以處理的最大數。
另壹個問題是準確性。盡管您有15個數字來表示壹個非常大的數字，但在對其執行四則運算時，它們可能會丟棄壹些數字而不給妳任何提示。這意味著，如果您將壹個非常小的數字加到壹個非常大的數字上，計算機會將其丟棄，因為該數字太小，無法以15或16的精度顯示。如果妳在計算時得到壹個非常奇怪的數字，妳可能需要檢查妳的數據範圍是否合適。
這意味著如果進行浮點計算，較小的數字很可能會被丟棄。雖然這在平時並不明顯，但如果您正在進行要求苛刻的數學分析，這些錯誤可能會積累起來，以至於最終的結果非常不準確。
這個誤差對於從事數學研究的人來說非常重要。他們必須非常了解誤差並研究壹些減少誤差的方法，他們應該能夠估計誤差的大小。
順便說壹下，“精度”的問題不同於“範圍”的問題。前者指尾數的表達範圍，後者指指數的表達範圍。
另壹個不太明顯的錯誤是浮點數的二進制和十進制並不完全相等。如果您運算的數字是2的冪級數的倒數，例如0.75，則可以在二進制中準確地標記為0.11，因為它正好是1/2+1/4的值。然而，不幸的是，妳通常可能得不到這樣壹個合適的數字，也就是說，計算機會丟棄壹些數字，例如，要表示0.1，妳只能使用無窮無盡的二進制十進制0.00011001...
如果妳不理解這壹部分，不要擔心。這裏的重點是計算機不是萬能的，它只是壹臺機器，它必須符合壹定的規則並受到限制。盡管許多人對計算機抱有孩子般的信任，但在計算機的良好解決方案下，仍有壹些不可避免的不準確性。
編程語言中的數字
對於低級語言的程序員來說，他們不得不擔心有符號和無符號、定點和浮點運算。他們必須使用非常不同的代碼來實現操作。
但是，對於程序員來說，高級語言，如LISP和Python提供了壹些抽象數據類型，如“有理數”和“復數”。他們可以斷言他們的系統可以使用數學運算來進行正確的運算。由於運算符的重載，數學運算可以應用於任何數字——無論是有符號數、無符號數、有理數、定點小數、浮點小數還是復數。
文本編碼:ASCII和字符串
既然我們有了不同的存儲數據的方法，那麽文本呢？我們如何存儲給朋友的姓名、地址或信件？
當然，如果妳記得壹位就是壹位，我們沒有理由不能用壹位來表示字母“a”或“？”得到壹個“z”或其他東西因為許多計算機壹次處理壹個字節，所以使用單字節數據來表示單個字母很方便。我們可以用這個:
0100 0110（十六進制46）
為了表示字母“f”，計算機使用這種“字符編碼”將所需的文本傳送給顯示程序。
以下是存儲西文字母的標準二進制代碼，通常稱為“美國信息交換標準代碼”（縮寫為“ASCII”）。以下代碼是ASCII代碼，其中“D”表示十進制代碼，“H”表示十六進制代碼，“O”表示八進制代碼:
ASCII代碼表_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _代碼表
ch CTL d h o ch d h o h o ch d h o h o h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h c h o c h o c h o c h c h o c h c h o c h o c h c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h o c h c h o c h o c
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上面列表的最左邊有壹個奇怪的字符，例如“FF”和“BS”，它們不是文本字符。相反，它們是控制字符，這意味著當這些字符被發送到特定設備時，它們將產生壹些動作。例如，“FF”表示頁面更改或彈出；“BS”的意思是退格，而“BEL”的意思是壹個音。在文本編輯器中，它們將顯示為白色或黑色的正方形、笑臉、註釋或其他奇怪的符號。要鍵入這些字符，您可以使用CTRL鍵和合適的代碼。例如，同時按住“CTRL”和“G”，或者縮寫為“CTRL-G”或“G”可以鍵入壹個BEL字符。
上述ASCII碼意味著定義了128個字符，這意味著ASCII碼只需要7位數字。然而，許多計算機以字節存儲信息。這個額外的位可以定義128的第二個詞集，即“擴展”詞集。
在實踐中，有許多不同的“擴展”單詞集，它們提供了許多符號，如數學符號或非英語字符。這種擴展的詞集是不規範的，經常會造成混亂。
這張表強調了本文的主題:位就是位。在這種情況下，您可以使用位來表示字符。您可以將特殊代碼描述為特殊的十進制、八進制和十六進制，但它們仍然是相同的代碼。這些值的表達式，無論是十進制、八進制還是十六進制，都只是同壹位的表達式。
當然，妳可以在壹個段落中表達許多字符，例如:
虎虎灼灼亮！
這只是由ASCII碼代替，ASCII碼表示為:
54 69 67 65 72 2c 20 74 69 67 65 72 20 62 75...
計算機將這個ASCII“字符串”存儲為連續空間的“數組”。壹些應用程序可以包含壹個二進制值來指示字符串的長度，但更常見的是使用字符null（ASCII表中的0字符）來指示字符串的結尾。
請參考: