3.3.3.1地震子波
地震子波是壹種起始時間確定、能量有限、持續時間有限的信號，是地震記錄中地震波的基本單位。壹般認為，震源激發時產生的地震波只是壹個持續時間非常短的尖脈沖。當尖脈沖在粘彈性介質中傳播時，尖脈沖的高頻分量迅速衰減，波形相應增大，成為有限頻帶寬度和壹定持續時間的地震子波。地震波以地震子波的形式在地下傳播。
3.3.3.1.1地震子波數學模型
在實際中，地震子波是壹個非常復雜的問題，因為地震子波與地層巖性有關，地層巖性本身就是壹個復合體。但是，為了研究的方便，仍然有必要對地震子波進行模擬。目前普遍認為由Lake提出的地震子波數學模型具有廣泛的代表性，稱為Lake子波。最小相位地震子波的數學模型是
b(t)=e-αt2sin2π？t (3.3-25)
哪裏:？是小波的主頻；α=2?2ln(M)是小波衰減系數；M = | m1/m2 |是最大波峰m1與最大波谷m2的比值。由公式(3.3-25)計算出的子波形態如圖3-16所示。
圖3-16湖子波示意圖
3.3.3.2小波的相位問題
如果通過傅立葉變換發現地震子波b(t)的頻譜為B(ω),則有
B(ω)=| B(ω)| ejφ(ω) (3.3-26)
其中| b (ω) |是小波的振幅譜，φ (ω)是小波的相位譜。和任何波函數壹樣，這個波函數的特征可以用它的振幅譜和相位譜來描述。對於復雜多變的小波，變化最頻繁的是波形的衰減形式和持續時間。因此，壹般來說，地震子波具有相對穩定的振幅譜，但具有相對較大的相位譜。如果妳帶著
ψ(ω)=-φ(ω) (3.3-27)
ψ (ω)稱為相位延遲譜。具有相同振幅譜的小波可以根據它們不同的相位延遲譜進行分類。
地震子波的相位延遲也是壹個相對的概念。比如有兩項(只有兩個值):小波B1 (n) = {1，0.5}，小波B2 (n) = {0.5，1}，可以寫成通式b(n)={a0，a1}。
B(z)=a0+a1z (3.3-28)
利用z = e-j ω δ可以得到振幅譜和相位譜。
地震勘探的原理、方法和解釋
代入a0=1，a1=0.5和a0=0.5，a1=1，結果為
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和相位延遲譜
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其中，δ是采樣速率。可以看出，兩個小波b1(n)和b2(n)的振幅譜相同，但相位延遲譜不同。因為φ1(ω)的相位延遲小於φ2(ω)，所以稱為最小延遲相位，簡稱最小相位。而φ2(ω)的相位延遲大於φ1(ω)，稱為最大延遲相位。
在z域(z平面)，最小和最大相位小波可以描述為求小波z變換方程(a0+a1z)=0的零點α，即有
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當| α| > 1時，小波b(n)稱為最小相位小波。
當| α| < 1時，小波b(n)稱為最大相位小波。
當| α| = 1時，小波b(n)稱為混合相位小波。
二項式小波的相位分類可以推廣到N項小波分類，即設b(n)={b0，b1，…，bn}，其z變換為
b(z)= B0+b 1z+b2z 2+…+bnzn(3.3-33)
求B(z)多項式αi，i=1，2，…，n的所有零點(即根)，若所有零點都在單位圓外(| α i | > 1，i=1，2，…，n)，則b(n)為。如果所有的零點都在單位圓內(| α I | < 1，i=1，2，…，n)，那麽b(n)是最大相位小波。如果在單位圓內外都存在零點，那麽b(n)就是混合相位小波。可以看出，完全可以根據小波z變換多項式的零點在Z平面上的位置來判斷小波的相位。所以Z平面可以分為兩個區域，以單位圓為外最小相面積，內最大相面積，如圖3-17所示。另外三種相位子波的波形和能量特征是:最小相位子波的能量主要集中在前面，最大相位子波的能量主要集中在後面，混合相位子波的能量主要集中在中間。三種相位子波如圖3-18所示。實際中，地震子波主要是最小相位子波和混合相位子波。
圖3-Z平面17中零點位置指示小波的相位延遲特性
3.3.3.3逆濾波的原理和方法
由上述可知，地震記錄是地層反射系數序列r(t)和地震子波b(t)的卷積，即
x(t)=r(t)？b(t)(3.3-34)
由於子波的問題，高分辨率的反射系數脈沖序列變成了低分辨率的地震記錄，b(t)相當於地層濾波因子。為了提高分辨率，可以設計壹個逆濾波器，逆濾波器因子為a(t)，要求a(t)和b(t)滿足以下關系。
a(t)？b(t)=δ(t)(3.3-35)
圖3-項目18m+1的信號分類和反信號特征
用a(t)反濾波地震記錄x(t)
x(t)？a(t)=r(t)？b(t)？a(t)=r(t)？δ(t)=r(t)(3.3-36)
結果是反射系數序列。以上是逆濾波的基本原理。
實現逆濾波時，核心是確定逆濾波因子a(t)。由於地震子波的不確定性和地震記錄中噪聲幹擾的存在，在實際中很難甚至不可能確定精確的a(t)。因此，在不同的近似假設下，研究了許多確定反濾波因子a(t)的方法，基本上可以分為兩類:壹類是先求出地震子波b(t)，然後根據b(t)求出A(t)；另壹類是直接從地震記錄中找a(t)。每壹類都有很多不同的方法(僅從反濾波方法的數量就可以看出反濾波處理的難度)。下面討論幾種典型的逆濾波方法。
3.3.3.3.1地層逆濾波
地層逆濾波屬於先找小波b(t)，再找a(t)的方法。這種方法需要測井資料和良好的井旁地震記錄。首先，從聲波測井數據轉換出與井附近地震道x(t)匹配的地層反射系數序列r(t ),得到r(t)和x(t)的頻域方程如下
X(ω)=R(ω) B(ω) (3.3-37)
立刻擁有它
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其中B(ω)是小波b(t)的頻譜，則小波與逆濾波器因子的關系為
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通過逆傅立葉變換獲得A(t)。其中A(ω)是反濾波器系數的頻譜。寫成Z變換，A(z)=，可見A(z)是有理分式。要使A (z)穩定，分母多項式B(z)的根必須在單位圓外，即要求小波b(t)是最小相位。
利用井附近的測井和地震道可以得到子波和反濾波因子，反濾波因子可以用來濾波測線的其它道。
最小二乘逆濾波
最小二乘逆濾波是最小二乘濾波(或維納濾波和最優濾波)在逆濾波領域的應用。
最小二乘逆濾波的基本思想是設計壹個濾波算子，用來將已知的輸入信號轉換成在最小平方誤差意義下最接近給定期望輸出信號的輸出。
設輸入信號為x(t)，與濾波因子h(t)卷積得到實際輸出y(t)，即y(t)=x(t)？漢密爾頓.由於種種原因，實際產量y(t)不可能與事先給定的期望產量(t)完全相同，只能要求兩者最優接近。判斷是否是最佳逼近的標準有很多，最小二乘誤差準則就是其中之壹，即當它們的誤差平方和最小時，就意味著它們是最佳逼近。在這個意義上，通過尋找濾波器因子h(t)的濾波是最小平方濾波。
如果要獲得的濾波因子是逆濾波因子a(t)，則輸入小波b(t)逆濾波後的期望輸出是d(t)，實際輸出是y(t)。根據最小二乘原理，將它們的誤差平方和最小化得到的反濾波因子稱為最小二乘反濾波因子，用它對地震記錄x(t)進行反濾波就是最小二乘反濾波。
3.3.3.3.2.1最小二乘逆濾波基本方程
設輸入的離散信號是地震子波b(n)={b(0)，b(1)，...，b(m)}，要求解的逆濾波因子為a(n)={a(m0)，a(m0+1)，a(m0+2)。
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實際輸出和預期輸出之間的誤差平方和為
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最小化q，數學上就是求q的極值的問題，也就是求滿足。
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的過濾因子a(t)。
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是地震子波的自相關函數，以及
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是地震子波和期望輸出之間的互相關函數，因此等式(3.3-41)可以寫成
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這是壹個線性方程組，以矩陣形式寫成如下
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公式中利用了自相關函數的對稱性。在這個方程中，系數矩陣是壹個特殊的正定矩陣，稱為廣義托布裏茲矩陣。這個矩陣方程可以用levinson遞歸算法快速求解。
方程(3.3-45)是最小二乘反濾波的基本方程。該方程將小波b(n)適用於最小相位、最大相位和混合相位。公式中，逆濾波因子a(n)的起始時刻m0與小波的相位有關，其取值規律由小波的z變換和逆濾波因子決定。
因為m+1地震子波b(n)={b(0)，b(1)，...，b(m)}是物理上可實現的信號，它們的z變換是B(z)，小波b(n)的逆信號是a(n)，a(n)的z。
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若求A(z)的逆z變換，則為逆濾波因子a(n)，a(n)的存在位置由小波z變換B(z)的根ai在z平面的位置決定。
1)當b(n)為最小相位時，所有的根αi滿足| α i | > 1，公式(3.3-46)中的每壹項都展開成z的冪級數，z在每個因子中的最低冪為0，z的最低冪在m個因子相乘後仍為0，所以這個公式可以寫成(取m+6544)
a(z)= a0z 0+a 1z 1+…+anzn+…+amzm(3.3-47)
這說明反濾波因子a(n)的起始時間是m0=0，當n < m0時，a(n)=0。
2)當b(n)為最大相位時，所有αi滿足| α i | < 1，A(z)展開成z的冪級數為
a(z)=…+a-m-3z-m-3+a-m-2z-m-2+a-m-1z-m-1+a-mz-m
如果也取m+1項，則對應的逆濾波因子a(n)={a(-m-m)，a(-m-m+1)，...，a(-m-3)，a(-m-2)，a(-m)。
3)當b(n)為混合相時，根| α i |在單位圓內外都存在，且| α i | ≠ 1。如果把單位圓內的根作為最大相位，把單位圓外的根作為最小相位，則混合相位小波的逆濾波因子在時間坐標兩邊都有值，兩邊值的個數取決於單位圓內外根的分布個數| α i |。
可以看出，不同相位的地震子波的逆濾波因子差別很大。不同相位小波與反濾波因子的對應關系如圖3-18所示。
另外，在解方程(3.4-16)時，需要選擇想要輸出d(t)的函數形式。壹般來說，妳可以選擇d(t)作為
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當公式中d(t)=δ(t)時，輸出為脈沖，a(n)稱為脈沖反濾波因子。如果選擇公式中的第二項，則輸出是主頻率為？0，可以起到小波整形或者相位轉換的作用，那麽a(n)稱為小波整形的逆濾波因子。以上過程都是基於小波已知的假設，所以統稱為小波處理或小波逆濾波。如果在實際應用中寫出公式(3.3-44)，
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求解的逆濾波因子是雙邊逆濾波因子。
3.3.3.3.2.2未知小波的最小二乘逆濾波
通常，地震子波是未知的。
為了在不知道子波的情況下找到逆濾波因子，需要對地震子波和反射系數序列增加某些限制或假設，包括
1)假設反射系數序列r(t)是隨機白噪聲序列，即其自相關為
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2)假設地震子波是最小相位。
根據第壹個假設，地震子波的自相關rbb(τ)可以用記錄x(t)的自相關代替，因為
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根據第二個假設，我們可以知道地震子波b(t)的z變換B(z)的零點都在單位圓外，即逆波因子a(t)的z變換A(z)=1/B(z)的極點都在單位圓外，所以a(t)是穩定的，在物理上是可以實現的。因此，當t < 0時，m0=0，自由項變成b(0)，b(-1)，…，b (-m) t .因為b(t)必須是物理上可實現的，所以b(-1)=0，b(-2)=0，…，b(-m)=0。設a'(t)=a(t)/b(0)，則基本方程變為
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這是在小波未知的情況下獲得逆濾波因子的基本方程，系數矩陣中的元素可以直接從地震記錄中獲得。得到的反濾波因子A′(t)與a(t)相差只有幾倍，不影響壓縮小波和提高分辨率的反濾波效果。它通常也被稱為尖脈沖逆濾波。
3.3.3.3.2.3波浪計算的統計法
雖然子波壹般是未知的，但地震記錄中含有子波，所以可以從地震記錄中得到子波。目前，尋找地震子波的方法很多。下面是多道統計找小波的方法。
如果把小波當作壹般信號，也可以用s(t)來表示。上壹節已經證明，如果反射系數是隨機白噪聲序列，地震記錄的自相關x(t)和子波的自相關s(t)相等，那麽記錄的振幅譜| x (ω) |和子波振幅譜| s (ω) |相等。
| S(ω)|=| X(ω)| (3.3-53)
和譜的對數也相等。
ln| S(ω)|=ln| X(ω)|
理論證明，當小波是最小相位時，它的對數譜序列(或重匹配譜)S (n)是壹個因果序列。
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因為ln | s (ω) |是實偶函數，(n)是實因果序列。
任何實數序列都可以寫成奇數和偶數序列之和，所以s (n)可以寫成:
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也就是說，小波對數譜序列(n)的奇數部分(n)和偶數部分(n)具有以下兩個性質:
首先，由於(n)的因果律，(n)的奇數部分和偶數部分有如下關系。
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在公式中，
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其次，S (n)的奇偶部分的傅裏葉變換是其傅裏葉變換的實部和虛部。設(n)的傅立葉變換為(？), (?)= (?)，S^i(？)= (?), (?)是小波的對數譜，那麽
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通過傅裏葉變換得到的性質是
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所以有
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也就是
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所以尋找子波的方法可以歸納如下:
1)通過多通道統計方法獲得可靠的小波對數譜的實部。遊子譜
S(ω)=| S(ω)| ejφ(ω) (3.3-62)
然後是
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小波振幅譜的對數ln | s (ω) |由幾個振幅譜的幾何平均值(或多道記錄的相關函數平均值)決定。
2)從小波振幅譜的對數求小波相位譜φ (ω)。計算公式為
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3)計算小波S(t)。通過| s (ω) |和φ (ω)
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由於幹擾的影響和反射系數序列的不完全相關，需要對子波的振幅譜和相位譜進行整形。另外，這種方法理論上只適用於最小相位。為了適應混合相位記錄，可以先用指數衰減法最小化地震記錄剖面的相位，然後對得到的子波進行反指數加權。
預測逆濾波
預測問題是估計壹個物理量的未來值，利用已知的該物理量的過去值和現在值，得到它在未來某壹時刻的估計值(預測值)。這是壹個非常重要的科學技術問題。天氣預報、地震預報、反導自動跟蹤都屬於這類問題。預測本質上是壹種濾波，稱為預測濾波。
3.3.3.3.1預測逆濾波原理
根據預測理論，如果將地震記錄x(t)視為平穩時間序列，則地震子波b(t)為物理上可實現的最小相位信號，反射系數r(t)為不相關白噪聲，在(t+α)的地震記錄X (t+α)為
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設j=s-α
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解析式的第壹項(3.3-66)
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可以看出，這壹項是由反射系數r(t)的未來值決定的。如果第二項是
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(t+α)由t和t前壹時刻r(t)的值決定，也就是說可以從現在和過去的數據中預測出(t+α)，(t+α)稱為預測值。找出x(t+α)和(t+α)之間的差別如下
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ε(t+α)稱為預測誤差或新記錄。對比式(3.3-66)和式(3.3-67)，在預測值已知的情況下，原始記錄x(t+α)減去預測值形成的新記錄ε (t+α)比原始記錄反射系數小，小波卷積後對波形的幹擾輕，所以波形容易分辨，即分辨率提高。上式中，α稱為預測距離或預測步長。當α=1時，
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此時(t+1)，預測誤差和反射系數之間只有常數b(0)差。因此預測距離α=1，預測誤差為反射系數，達到逆濾波的目的，此時稱為預測逆濾波。當α > 1時，預測誤差是預測濾波的結果。預測濾波主要用於消除多次波，尤其是消除海上振鈴。
3.3.3.3.3.2預測值(t+α)的計算方法
預測濾波和預測逆濾波中，關鍵是計算預測值(t+α)，方法如下。
逆濾波方程
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替代預測值(t+α)的表達式
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其中:設τ=s-j，c(s)= b(j+α)a(s-j)稱為預測器；A(t)是反濾波因子；預測值(t+α)是預測因子c(s)和地震記錄的卷積。
現在需要設計壹個最優的預測因子c(s)，使得預測值(t+α)最接近x(t+α)，即使預測誤差的平方和(誤差能量)。
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最低限度。根據最小二乘法原理，即求
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可用的線性方程
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j=0，1，2，…，m
其中:Rxx(τ)是地震記錄的自相關函數。
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t是相關窗口長度，m+1是預測值長度。用矩陣形式寫出(3.3-73)如下
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通過求解這組方程組，可以得到預測濾波因子c(t)，通過對地震記錄x(t)進行卷積，可以得到未來時間(t+α)的最佳預測值(t+α)。
3.3.3.3.3對逆濾波問題的思考
提高垂直分辨率是地震勘探中的壹項重要任務。理想的結果是地震子波被壓縮成尖脈沖，地震記錄成為反射系數序列。如果能得到這個結果，就相當於完成了反演工作。然而，雖然目前已經開發了很多濾波方法，但實際應用效果不壹，通用性差。
壹個重要原因是各種逆濾波方法都必須有壹些假設。地震記錄x(t)是地震子波b(t)和反射系數序列r(t)的褶積結果。通常在地震勘探濾波工作中，只知道地震記錄x(t)，而不知道子波b(t)。這時候就不可能從x(t)中找到唯壹的r(t)。所以需要對b(t)或r(t)做壹些限制，也就是假設條件，在這些假設下尋找唯壹的最優解。逆濾波的效果與實際情況是否符合這些假設有很大關系。比如最小二乘逆濾波和預測逆濾波都要求小波是最小相位，反射系數序列是白噪聲。在實際工作中，地震子波往往是混相的，反射系數序列也不完全是白噪聲，當然不可能得到理想的反濾波結果。因此，研究逆濾波的努力是開發和應用其假設盡可能接近現實的逆濾波方法。
第二個原因是反射地震記錄的褶積模型問題。褶積模型中的地震子波是大地濾波器的脈沖響應。但是大地濾波非常復雜，所以地震子波也隨之變化。壹般假設逆濾波存在穩定的小波，這種假設與現實有壹定差距。
第三個原因是噪音幹擾的影響。壹般的反濾波方程不含幹擾因素，理論上對於無噪地震記錄來說問題不大。然而，實際地震記錄中存在噪聲幹擾。由於噪聲幹擾是隨機幹擾，其頻譜特征類似於反射系數，壹般濾波後會降低地震記錄的信噪比。所以逆濾波過程中要考慮分辨率和信噪比，在提高分辨率的同時盡量不降低信噪比。
第四個原因是原始地震數據的質量。通過處理手段提高分辨率的能力是有限的。使用相同的逆濾波方法，並不是各種資料都能得到相同的結果，但處理效果直接關系到地震記錄的原始質量。現場收集的信息越豐富，處理效果越好。從野外采集可以看出，真正的高分辨率記錄應該按照高分辨率的要求進行采集和處理。
最後，應該指出，每個地區的地震數據都有壹個最佳分辨率。在提高分辨率處理的時候，不要盲目追求分辨率有多高，要找到分辨率的最佳點，效果最好。處理不好，會有錯覺。