問題描述:
什麽是等級？
分析:
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6.7矩陣的秩齊次線性方程組的解空間
教學目的:
1.掌握矩陣的秩與其行空間和列空間的維數之間的關系。
2.精確確定齊次線性方程組的空間維數。
3.巧求齊次線性方程組的基本解系和非齊次線性方程組的任意解。
教學內容:
1.矩陣秩的幾何意義。
給出數域f上的壹個m*n矩陣。
A=
矩陣A的每壹行都可以看作F的壹個向量，稱為A的行向量. A的每壹列都可以看作F的壹個向量，稱為A的列向量.設A，...這裏A是A的列向量。
a=(a，a，...，a)，I=1，...，m。
由a，a，...(a，a，...，A)稱為矩陣A的行空間.同理，由A的N個列向量生成的F的子空間稱為A的列空間.
當m≠n時，矩陣A的行空間和列空間是不同向量空間的子空間。
引理6.7.1設A為n*m矩陣。
如果b = pa，p是n階可逆矩陣，那麽b和a有相同的行空間。
如果c = aq，q是n階可逆矩陣，那麽c和a有相同的列空間。
證明:我們只證明(I)是因為(ii)完全相似。
A=(a)mn，P=(p)mm，B=(b)mn。
設{a1，a2…am}為A的行向量，{b1，b2，…，bm}為B的行向量，B的第I行等於P的第I行，P的第I行右乘矩陣A:
bi=(bi1，bi2…，bin)=(pi1，pi2，…pim)A=pi1a1+pi2a2，…+pimam，
所以B的每個行向量都是A的行向量的線性組合，但P是可逆的，所以A=P-1B。因此，A的每個行向量是B的行向量的線性組合，使得時間組{a1，a2，…，am}和{B1，B2，…。
我們知道，對於任意m*n矩陣A，總有M階可逆矩陣P和N階可逆矩陣Q，這使得
(1) PAQ=
其中r等於a的秩，乘以兩邊的q。
PA=Q
右邊積最後壹個m-r行的元素都是零，而第壹個R行是Q-1的第壹個R行。因為Q-1是可逆的，它的行向量是線性無關的，所以它的第壹個R行是線性無關的。所以PA的行空間的維數等於R，由引理6.7.1可知，A的行間維數等於R，另壹個。
AQ= P
可以看出，AQ的列空間的維數等於R，所以A的列空間的維數也等於R，證明了。
定理6.7.2矩陣的行空間的維數等於列空間的維數和矩陣的秩。
因為這個事實，我們也把矩陣的秩定義為它的行向量組的最大不相關組所包含的向量的個數；它也被定義為包含在其列向量組中的方向數。
數域f中的線性方程組有解的充要條件是其系數矩陣和增廣矩陣具有相同的秩。
線性方程組解的結構:設
a 11x 1+a 12 x2+…a 1 nxn = 0
a 21x 1+a22x 2+…a2nxn = 0
(3)
am 1x 1+am2x 2+amnxn = 0
是數域f中的齊次線性方程組，設A是這個方程組的系數矩陣。那麽(3)可以寫成
(3) A=
(3)的每壹個解都可以看作Fn的壹個向量，稱為方程組(3)的壹個解向量。
=, = .
是(3)的兩個解向量，a和b是f中的任意數，那麽，由(3’)，
A(ax+bh)=aA +bA =，
所以aξ+bη也是(20)的解向量。另壹方面，齊次線性方程組總是有解的，數域F中壹個n元齊次線性方程組的所有解向量都做成Fn的壹個子空間，這個子空間叫做給定的齊次線性方程組的解空間。
現在設(3)的系數矩陣的秩等於r，那麽，通過行的初等變換和必要時交換列，系數矩陣A可以變換成如下形式的矩陣；
。
等價於這個矩陣的齊次線性方程是
y1 +c1，r+1yr+1+…+c 1 nyn = 0，
y2 +c2，r+1yr+1+…+c2nyn=0，
………………………………,
yr+cr，r+1yr+1+…+cr，nyn=0，
Yk=xik，k=1，…n，也就是未知數yr+1，…yn。讓它們依次取值(1，0，…，0)，(0，1，0，…，0)。
=, =,……., =
這些n-r解向量顯然是線性無關的。另壹方面，設(K1，K2，...，KN)是(4)的任意解，代入(4)。
k1=-c1，r+1kr+1-…-c1，nkn，
k2=-c2，r+1kr+1-…-c2，nkn，
……………………………
kr=-cr，r+1kr+1-…- cr，nkn，
kr+1=1kr+1，
………………………………
kn= 1kn。
因此
=kr+1，ηr+1+kr+2ηr+2+…+knηn
所以(4)的每壹個解向量都可以用這n-r個解向量η r+1，η r+2，...，η n，這樣{η r+1，η r+2，...，η n}構成(4)的解空間的壹個基，它是重復的。
定理6.7.3把數域上n個未知數的齊次線性系統的壹個破壞性解做成f n的壹個子空間，叫做這個齊次線性系統的解空間。如果給定系統的系數矩陣的秩為r，則解空間的維數為n-r .
齊次線性方程組的解空間的基稱為該方程組的基本解系。
例1求齊次線性方程組
x1-x2+5x3-x4=0
x1+x2-2x3+3x4=0
3x1-x2+8x3+x4=0
x1+3x2-9x3+7x4=0
的基本解決方案系統。
通過行的初等變換簡化系數矩陣，得到
等價於這個矩陣的齊次方程是
取其為自由未知數，依次求和，得到方程的兩個解。
它們構成了給定方程的基本解系。這些方程的任何解都有壹種形式。
這裏是數中的任意數，方程組的解空間由所有解向量組成。讓
(5)答
是數域F中的任意線性方程組，A是m8n矩陣。如果(5)中的所有常數都變為零，就可以得到齊次線性方程組。
A=
齊次方程組(6)被稱為方程組(5)的導出齊次方程組，
定理6.7.4如果線性方程組(5)有解，那麽(5)的壹個解和齊次方程組的壹個解的任意解都可以寫成(5)和(6)的壹個固定解之和。
證明了ν = (C1，C2，...)是方程組(5)的解，δ = (D1，D2，...DN)是齊次方程組(6)的解。然後
A=A
所以(5)的解是(5)的任何解。然後
A
因此，μ = λ-ν是導出方程(6)的解，λ = ν+μ。