余弦變換與傅裏葉變換壹樣，屬於正交變換中的正弦變換，其存在條件與傅裏葉積分收斂條件相同，在某些方面與傅裏葉變換具有相似的性質。但是余弦變換有自己獨特的優勢。對於實連續信號，它可以避免復雜的運算，與K-L變換具有相似的性能，可以去除原始信號的相關性，從而保留原始信號的最大能量。自Ahmed等人(1974)提出離散余弦變換的定義以來，DCT已廣泛應用於語音、圖像編碼、數據壓縮等信號處理中(Rao等人，1990；丁斯坦等人，1990)。然而，在地球物理數據處理中，DCT不僅用於地震數據和圖像壓縮(王等，2000；Averbuch等人，2001)，國內外尚無重力異常數據處理的相關文獻。
近30年來，希爾伯特變換在重磁異常正反演中的應用取得了很大進展。Nabig-hian(1972)首先借助希爾伯特變換由磁場的水平分量(垂直分量)計算出垂直分量(水平分量)；史丹利(1976，1977)提出了基於磁場水平和垂直梯度的解釋方法；莫韓和孫達拉揚(1982，1983)將希爾伯特變換應用於位場的定量解釋；Sundararajan等人(1996)利用改進的希爾伯特變換研究了自然電位解釋理論中的場源定位問題。希爾伯特變換具有利用位場數據全部信息、受背景場影響較小的特點，可以提高地球物理數據處理的精度。用希爾伯特變換計算重力歸壹化總梯度是壹種新的嘗試。
1.異常導數的計算
圖7-1給出了兩種方法理論垂直和水平壹階導數的對比分析圖。從圖中可以清楚地看到，余弦變換計算的異常導數(圖7-1中的C)與理論異常導數A擬合得很好，只是重力異常有限截斷引起的邊界數據的吉布斯效應使誤差較大，數據的計算精度很高，誤差為-。余弦變換計算的異常導數與理論異常導數吻合得很好。
圖7-1不同方法計算的無限長水平圓柱壹階導數對比分析圖
2.密度界面反演
圖7-2顯示了DCT和Parker-Oldenberg (Parker，1973；Oldenberg，1974)二維等密度單界面模型深度對比分析圖反演。圖中高精度的Parker-Olden-berg法反演的界面深度最大誤差和均方差分別為0.148km和0.013km。DCT法的反演為0.041km和0.003km，最大誤差和均方誤差分別減小了0.107km和0.010km。這說明DCT法的反演精度明顯高於Parker-Oldenberg法，其反演精度提高了3倍以上。
圖7-2 2D等密度單界面模型深度反演對比分析圖
3.故障斷點位置的反演
在直角坐標系中，重力異常的觀測平面為z=0，z軸向下方向為正。設重力異常g(x，y，z)為該坐標系中的函數，其在z，x，y方向的水平壹階導數分別表示為gz(x，y，z)，gx(x，y，z)，gy(x，y，z)。根據Thompson1982給出的歐拉齊次方程，重力異常g(x，z)的齊次關系可以寫成:
(x-x0) GX (x，y，z)+(y-y0) gy (x，y，z)+(z-z0) gz (x，y，z) =-ng (x，y，z)(7-1)。(x，y，z)是重力異常計算點的位置；n是結構指數。
從上式可知，如果確定了場源的位置，就應該知道重力異常的水平和垂直壹階導數以及構造指數n的數值解。n可以通過模擬地質體簡單模型的理論異常與理論異常導數之間的關系來獲得。如果確定了反演模式，壹般就確定了模型的結構指數。但不同方法對實測重力異常導數的計算存在壹定差異，需要考慮異常壹階導數的計算精度。只有得到高精度的重力異常導數，超定方程組的最小二乘法才能以更高的精度逼近數值解。
圖7-3給出了分別用DFT和DCT方法計算的垂直臺階重力異常的垂直壹階導數(圖7-3a)和水平壹階導數(圖7-3b)。顯然，相對於理論導數，基於DFT的縱向和橫向導數曲線更加松弛，與理論導數存在較大偏差。DCT法計算的重力異常垂直壹階導數最大誤差為0.460×10-9/s2-9/S2，均方誤差為0.189× 10-9/S2，水平導數最大誤差為0.182× 10-9/S2。可以看出，DCT計算的異常導數具有較高的精度。因此，利用DCT方法可以獲得高精度的反演結果(張鳳旭，2006，2007)。
圖7-3垂直臺階模型重力異常的壹階導數
圖7-4中的和的中心是臺階模型橫截面的中心點，“+”是反演結果。從圖中可以看出，無論是豎臺階還是斜臺階都有規律的噪聲，這是由於導數計算精度的影響造成的，但幹擾點比較分散，70%的有效點正好集中在圓心。如果用點密度的概念來解釋反演結果，點密度最大的點就是反演結果。這壹結果與臺階的中心位置(中心)相吻合，說明雖然反演中存在噪聲，但基於DCT的歐拉方法仍然可以獲得高精度的反演結果。
圖7-4階躍模型的反演特征
綜上所述，利用DCT方法可以獲得高精度的重力異常數據處理結果。因此，對野外重力測量數據的處理可以稱為高精度數據處理。
4.用希爾伯特變換計算重力歸壹化總梯度。
重力歸壹化總梯度法(GH法)是前蘇聯學者別列茲金(вмберезкин)於20世紀60年代末提出的。它是壹種利用高精度測量的重力異常來確定場源和斷裂位置的方法。目前計算GH場主要有傅裏葉級數法和傅裏葉變換法。在前人工作的基礎上，提出用希爾伯特變換計算重力歸壹化總梯度(稱為希爾伯特變換法)，同時在同壹計算環境下研究了三種方法識別的GH場分辨率。
(1)希爾伯特變換的特征
給定壹個實連續信號f(t)，其希爾伯特變換定義為
中國東北地球物理場與地殼演化
其中:*是卷積符號；t是時域(空域)變量；τ與t含義相同；
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(t)可以看作是f(t)通過單位沖激響應h (t) = 1/π t的濾波器的輸出，根據傅裏葉變換的理論，ih(t)=i/πt的傅裏葉變換就是符號函數sgn(ω)(ω是角頻率)，所以希爾伯特變換的頻率響應。
如果h (ω) = h (ω) exp [i φ (ω)]，則
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以上分析表明，希爾伯特變換是壹個全通濾波器，其幅頻特性為1。信號變換後，頻率分量發生90°相移，但頻譜幅度不變。
(2)實連續信號希爾伯特變換的壹般公式。
利用希爾伯特變換公式和性質以及傅立葉變換公式和性質，托馬斯導出了實連續信號的第壹類希爾伯特變換公式。
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Mohan等人為了研究場源的精確定位，定義了改進的希爾伯特變換(本文稱為第二類希爾伯特變換)的壹般公式。
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其中:ReF(ω)和ImF(ω)代表f(x)傅裏葉變換的實部和虛部。
公式(7-5)服從希爾伯特變換的幅頻特性，即變換後信號的頻率分量相移90°，而頻譜的幅度不變。公式(7-6)在公式(7-5)的基礎上，相位繼續偏移，幅度不變。
根據上述公式，可以推導出希爾伯特變換用於計算重力歸壹化總梯度
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(3)模型實驗和分辨率對比分析。
無油氣的背斜可視為均勻密度體，其GH場只有壹個極大值，即只有壹個奇點；頂部有油氣的背斜是壹個非均勻密度體，頂部有壹個密度損失，造成GH場有兩個極大值，即背斜兩側有壹個奇異點，在油氣藏中以中心為界，兩者之間有壹個相對極小值，即“兩高壹低”。如果勘探區是已知的含油氣區，這種低密度體可能是油氣藏的反映。因此，天然氣水合物的“兩高壹低”特征可以作為油氣勘探的解釋性標誌。
為了探索希爾伯特變換研究天然氣水合物場的有效性及其識別異常的能力，采用傅裏葉級數法、傅裏葉變換法和希爾伯特變換法三種方法計算天然氣水合物場值並進行對比分析。其中，傅立葉變換和希爾伯特變換中使用的平滑濾波方法都是上述的組合濾波方法，在用三種方法計算GH場值進行對比分析時，選擇調和數n是反映油氣層解釋標誌的最佳值。
圖7-5計算GH場的三維體球冠截面。
采用非均勻密度的三維體球冠模型來近似三度背斜油氣藏。計算重力異常的三維體球冠模型不變參數見圖7-5(球冠半徑為2.5km)；H1和h2分別為模型的儲層厚度和底部厚度，為可變參數；計算中，通過逐步減小H1模型的儲層厚度(H1與h2之和不變)，研究三種方法計算的GH場等值線變化特征，實現三種方法的分辨率對比分析。
圖7-6中三維人體模型的不變參數都在圖7-5中給出，圖名中顯示了等值線距離，其中等值線上標註了兩側非等距的等值線值。
圖7-6中a為h1=0.2km，h2=0.3km時三種方法計算的GH場等值線圖，a1為調和數N=44時，傅裏葉級數法計算的GH場等值線圖；a2為N=65時，傅裏葉變換法計算的GH場等值線圖；a3為N=56時，希爾伯特變換法計算的GH場等值線圖。
當三維體儲油球冠計算厚度(h1=0.2km，其他地質參數不變)較大時，三種方法計算的GH場明顯表現出a中“兩高壹低”的典型標誌，圖7-6a1中奇異點的特征值分別為:“兩高”最大值5.4，“壹低”相對最小值1.6，兩者之差為3.8；圖7-6a2對應的特征值分別為6.7和1.4，相差5.3；在圖7-6a3中，分別是8.6和1.3，相差7.3。三種方法得到的GH場奇異性中，希爾伯特變換法計算的奇異性最大，傅裏葉變換法次之，傅裏葉級數法最小。希爾伯特變換法比傅裏葉級數法大3.2。雙側極大值中心的相對極小值的特征正好與極大值相反，希爾伯特變換法最小；而且最大值和相對最小值之差仍然是希爾伯特變換法的最大值和傅裏葉級數法的最小值。可以看出，與其他兩種方法相比，希爾伯特變換方法在GH場中雙峰異常(“兩高壹低”)趨勢最為明顯，說明希爾伯特變換方法具有更高的分辨率。
在計算中還發現，當n在圖中給定值處波動較大(甚至超過15)時，三種方法計算的GH場“兩高壹低”的跡象明顯。
在圖7-6中，B表示當h1=0.1km，h2=0.4km，諧波數N=49(傅裏葉級數法)，N=67(傅裏葉變換法)，N=57(希爾伯特變換法)時，三種方法計算的GH場等值線圖。圖中最大值、相對最小值及其差值為:圖b1為5.8，1.3，4.5，圖b2為6.8，1.2，5.6，圖b3為8.7，1.0，7.7，其變化規律如圖7-6a所示。對比分析圖7-6a和圖7-6b，圖7-6b中“兩高壹低”的符號沒有圖7-6a中明顯，這與低密度體厚度減小有關。但通過分析圖7-6a和圖7-6b中GH場的奇異性極大值、相對極小值及其差異，並充分考慮三種方法得到的GH場輪廓特征，更明顯的是傅裏葉變換法的分辨率優於Berezkin法，希爾伯特變換法的分辨率最高，明顯優於前兩種方法。但與A相比，具有明顯“兩高壹低”符號的諧波數n的變化範圍減小。三種方法的變化範圍分別為:傅裏葉級數法44 ~ 52，傅裏葉變換法58 ~ 74，希爾伯特變換法44 ~ 69。
圖7-6三種方法計算的GH場等值線圖
圖7-6中C為h1=0.05km，h2=0.45km，諧波數N=49，N=67，N=57時三種方法計算的GH場等值線對比分析圖。圖中最大奇點的變化規律類似於前面的相關說法。但與圖7-6a和7-6b相比，圖7-6c中c1和c2只有壹個最大值和壹個相對最小值，這說明當油氣儲層厚度減小到壹定值時，傅裏葉級數法和傅裏葉變換法已不能識別“兩高壹低”的標誌。大量模型實驗證實，當三維體中球冠油藏部分(低密度體)的厚度減少到球冠總厚度的十分之壹以下時，如果用傅裏葉級數法和傅裏葉變換法計算，無論n取什麽值，都得不到能充分識別“兩高壹底”標誌的GH場特征圖(圖7-6c1和圖7-6c2為最佳效果圖)，圖7-6C2為最佳這進壹步證明了希爾伯特變換法計算的GH場在識別油氣藏方面明顯優於其他兩種方法。