實驗時間
通過實驗估計π的值，這是計算π的第壹步。這種對π值的估計基本上是基於觀察或實驗，並且是基於對圓的周長和直徑的實際測量。在古代世界中，π = 3這個值實際上被使用了很長時間。最早的文字記錄是基督教《聖經》中的壹章，其中圓周率被認為是3。這段描述的事件發生在公元前950年左右。其他國家，如巴比倫尼亞、印度、中國等。，早就使用了3的粗糙、簡單和實用價值。在我國劉徽之前，“圓直徑是壹和星期三”曾廣為流傳。中國第壹本書《周髀算經》記載了圓“周三直徑為壹”的結論。在我國，木匠有兩個傳世公式:它們被稱為:“直徑三周為壹，正方形為五和斜七”，這意味著直徑為1的圓是周長約為三、邊長約為五的正方形，對角線長度約為七。這反映了早期人們對圓周率和√2這兩個無理數的粗略估計。東漢時期，政府還明確規定圓周率應為3作為計算面積的標準。後人稱之為“古率”。
早期的人們還使用其他粗糙的方法。例如，在古埃及和古希臘，谷物被放置在壹個圓上，通過比較谷物的數量和正方形的數量來獲得數值。或者用平衡秤盤把它鋸成圓形和方形，通過稱重來比較數值...因此，可以獲得稍好的pi值。例如，古埃及人使用4（8/9）2 = 3.1605大約四千年。在印度，公元前6世紀，π= √10 = 3.162。在中國東西漢之交，新朝的王莽命令劉歆制造壹個裝有數量的容器——呂佳量壺。劉鑫在制造標準容器的過程中需要使用圓周率的值。為此，他還通過做實驗得到了壹些關於圓周率的非均勻近似。現在，根據銘文，計算值分別為3.1547、3.1992、3.1498和3.438+0，與古代的壹周率和三周率相比有所提高。人類探索的結果，在主要估計圓形田野面積時，對生產的影響不大，但不適合制作器皿或其他計算。
幾何方法周期
通過直觀推測或物理測量計算π值的實驗方法相當粗糙。
首先，阿基米德應該被認為是基於科學計算圓周率的人。他是第壹個科學研究這個常數的人，他首先提出了壹種方法，可以通過數學過程而不是測量的方式使π的值精確到任何精度。於是，pi計算的第二階段開始了。
圓的周長大於內接正四邊形，小於外切正四邊形，所以2√2《π《4。
當然，這是壹個可怕的例子。據說阿基米德用壹個正96邊的多邊形來計算他的射程。
阿基米德尋找圓周率更精確近似值的方法體現在他的壹篇論文《圓的確定》中。在這本書中，阿基米德第壹次利用上下界確定了π的近似值。他從幾何學上證明了“圓的周長與圓的直徑之比小於3+（1/7）且大於3+（10/71）”，他還提供了誤差的估計。重要的是，這種方法理論上可以得到更準確的圓周率值。到公元150年左右，希臘天文學家托勒密得出π = 3.1416，這是自阿基米德以來的巨大進步。
割包皮。不斷用勾股定理計算正N邊形的邊長。
在中國，數學家劉徽首先得到了更精確的圓周率。公元263年前後，劉徽提出了著名的割線術，得到π = 3.14，即通常所說的“徽率”。他指出這是壹個近似值。雖然他提出割圓法比阿基米德晚，但其方法確實比阿基米德的方法更漂亮。環切法僅使用內接正多邊形來確定圓周率的上界和下界，這比阿基米德同時使用內接正多邊形和外切正多邊形要簡單得多。此外，也有人認為劉輝在割圓術中提供了壹個絕妙的整理方法，使他通過簡單的加權平均得到了圓周率= 3927/1250 = 3.1416四位有效數字。而這個結果，正如劉輝自己指出的，如果這個結果是通過圓切割的計算得到的，需要切割成3072個多邊形。這種整理方法的效果非常好。這種神奇的修整技術是圓切割最精彩的部分，但不幸的是，由於人們對它缺乏了解，它被埋沒了很長時間。
祖沖之的貢獻恐怕妳更熟悉。對此，《隋書律令誌》記載如下:“宋末，南徐州從事祖沖之更秘律。以壹億的圓直徑為高，周向豐數為三尺、壹尺、四寸、壹分、五毫米、九秒、七秒，三尺、壹尺、四寸、五毫米、九毫米、兩秒、六秒，正數在盈與兩限之間。密度:圓直徑113，周長355。約率，圓徑七，周二十二。”
這段記載指出祖沖之對圓周率有兩大貢獻。壹是求圓周率。
3.1415926 < π < 3.1415927
其次，得到π的兩個近似分數:近似率為22/7；加密率為355/113。
他計算出的π的8位可靠數字不僅是當時最精確的圓周率，而且保持了900多年的世界紀錄。以至於壹些數學史學家提議將這壹結果命名為“祖傳率”。
這壹結果是如何產生的？追根溯源，正是基於對劉徽割線技法的繼承和發展，祖沖之才能獲得這壹非凡成就。因此，當我們贊揚祖沖之的成就時，我們不應該忘記他的成就是因為他站在劉徽這位偉大的數學人的肩膀上取得的。經後人估算，如果簡單地通過計算圓內接多邊形的邊長來獲得這壹結果，則需要計算圓內接多邊形才能獲得如此精確的值。祖沖之是否使用了其他巧妙的方法來簡化計算？這個不得而知，因為記載其研究成果的《傳書》早已失傳。這在中國數學發展史上是壹件非常遺憾的事情。
中國發行的祖沖之紀念郵票
祖沖之的研究成果享譽世界:巴黎“發現宮”科學博物館的墻上介紹了祖沖之獲得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌著祖沖之的大理石雕像，月球上有以祖沖之命名的環形山...
人們通常不太註意祖沖之關於圓周率的第二個貢獻，即他用兩個簡單的分數，尤其是密度來近似π。然而，事實上，後者在數學中更重要。
密度接近π，但形式簡潔美觀，只用了1、3、5這幾個數字。數學史家梁宗舉教授驗證了在所有分母小於16604的分數中，沒有比密度更接近π的分數。在國外，西方人是在祖沖之去世壹千多年後才得到這個結果的。
可見，提出保密率並不容易。人們自然想知道他是如何得到這個結果的。他是如何將圓周率從十進制表示的近似值轉換為近似分數的？這個問題壹直為數學史家所關註。由於文獻的丟失，祖沖之的解決方法不得而知。後人對此進行了各種猜測。
我們先看看外國歷史上的作品，希望能提供壹些信息。
在1573中，德國人奧托達到了這壹結果。他使用阿基米德的結果22/7和托勒密的結果377/120來“合成”類似於加法過程的結果:（377-22）/（120-7）= 355/113。
在1585中，荷蘭人Antuoni用阿基米德法得到:333/106《π《377/120，並將它們作為π的母近似，將分子和分母分別平均，通過加法過程得到結果:3（（15+65438）。
雖然都獲得了祖沖之秘息，但使用方法都是耦合的，沒有什麽道理可言。
在日本，17世紀，和的重要著作《包容算法》第四卷創立了化零技術，其實質是利用加法過程尋找近似分數。他以3和4為母近似值，連續相加六次得到祖沖之的近似率，再相加壹百壹十二次得到秘密率。學生們改進了這種愚蠢的逐步方法，提出了從相鄰的不足和剩余的近似值相加的方法（實際上就是我們前面提到的加法過程）。從3和4開始，第六次加法是近似速率，第七次加法是25/8，最接近的22/7加法是47/15，以此類推，只要加法是23次。
在《中國算術史》（1931）中，錢宗炎先生提出祖沖之采用“日本調整法”或加權加法過程，由何承天首創。他構思了祖沖之秘率的過程:以會徽率157/50和近似率22/7為母近似，計算加法權重x=9，所以（157+22×9）/（50+7×9）= 355/1658。錢先生說:“繼承天道後，用它的技能創造秘率也很有趣。”
另壹種猜測是使用連分數方法。
因為自《九章算術》出版以來，尋找兩個自然數的最大公約數的more phase subtraction技術壹直很受歡迎，因此使用此工具來尋找近似分數應該是很自然的。因此有人建議祖沖之在找到剩余二進制數後使用這個工具，並將3.14159265表示為壹個連分數，並得到其漸近分數:3，22/7，333/106，355/113，655。
最後取精度高但分子分母小的355/113作為圓周率的近似值。至於上面圓周率的漸近分數的具體解，這裏就省略了。妳不妨用我們前面介紹的方法自己去問。英國的李約瑟博士持這種觀點。他在《中國科學技術史》第19章幾何編中談到祖沖之的秘率時說:“秘率的分數是壹個連分式漸近數，所以是壹個非凡的成就。”
讓我們回顧壹下國外取得的成就。
1150年，印度數學家巴什加洛第二次計算出π= 3927/1250 = 3.1416。1424年，中亞的天文學家和數學家卡西撰寫了《圓論》，計算了3× 228 = 805，306，368條內接和外切邊的正多邊形的周長，並找到了π值。他的結果是:
π=3.14159265358979325
有十七個準確的數字。這是外國首次打破祖沖之的紀錄。
16世紀法國數學家韋達用阿基米德法計算π近似值，用6×216正多邊形計算π值，精確到小數點後9位。他仍然采用阿基米德的方法，但大衛有壹個比阿基米德更先進的工具:十進制位置系統。在17世紀初，德國人魯道夫花了幾乎壹生的時間研究這個問題。他還將新的十進制系統與早期的阿基米德方法結合起來，但他不是從正六邊形開始並將其邊數增加壹倍。他從壹個正方形開始，壹直推導出壹個有262條邊的正多邊形，約為461000000000000000000000000000000000000！這樣，計算了35位小數。為了紀念他的非凡成就，圓周率在德國被稱為“魯道夫號”。但是用幾何方法求其值需要大量的計算。如果這種計算繼續下去，窮數學家的生活不會有太大改善。到了魯道夫，可以說他已經登峰造極了，經典方法指引數學家走了很遠。要前進，必須在方法上有所突破。
數學分析出現在17世紀，這個鋒利的工具解決了許多初等數學中的無奈問題。π的計算歷史也進入了壹個新的階段。
分析周期
這壹時期，人們開始擺脫多邊形周長的復雜計算，轉而使用無窮級數或無窮連積來計算π。
1593大衛給了
這個不尋常的公式是π的最早解析表達式。即使在今天，我們仍然對這個公式的美麗感到驚訝。它表明π值可以僅用數字2通過壹系列加、乘、除和平方根來計算。
然後各種表情出現了。如沃利斯1650所述:
1706年，麥金建立了壹個重要的公式，現在以他的名字命名:
在分析中使用級數展開，他計算到小數點後100位數。
這種方法比可憐的魯道夫花了大半輩子挖掘的35位十進制方法簡單得多。顯然，級數法宣告了經典方法的過時。此後，圓周率的計算就像壹場馬拉松比賽，記錄了壹個又壹個:
在1844中，閆蕓蕓使用了公式:
數到200。
19世紀以後，類似的公式不斷出現，π位數也迅速增加。在1873中，謝可利用麥金的壹系列方法和系列公式計算π到小數點後707位。他花了20年時間才獲得這項前所未有的記錄。他死後，人們把這種凝聚了他畢生心血的價值刻在他的墓碑上，以慶祝他頑強的意誌和毅力。於是，他在墓碑上留下了畢生心血的結晶:π小數點後707位。這個驚人的結果成為了接下來74年的標準。在接下來的半個世紀裏，人們對他的計算深信不疑，或者即使他們懷疑它也沒有辦法檢查它是否正確。以至於在1937年巴黎世博會發現廳的庭院裏，他算出的π值還醒目地鐫刻著。
幾年後，數學家弗格森對他的計算結果產生了懷疑。他的懷疑基於以下猜想:在π的值中，盡管沒有規律可循，但每個數字出現的幾率應該是相同的。當他統計棚戶的結果時，他發現這些數字顯得過於不均衡。所以這種懷疑是錯誤的。他用當時能找到的最先進的計算工具，從5月1944壹直算到5月1945，整整算了壹年。在1946中，弗格森發現第528位是錯誤的（應該是4位，但錯誤地應該是5位）。謝思克的價值100多萬已經全部註銷，這徹底註銷了可憐的謝思克和他浪費的十五年時間。
對此，有人曾嘲笑他說:數學史除了記載阿基米德、費馬等人的著作外，還會擠出壹兩行來描述謝可在1873年前計算π到小數點後707位的事實。這樣，他可能會覺得自己的人生沒有虛度。如果是這樣的話，他的目的已經達到了。
人們對這些在地球各個角落不懈努力的人感到不可理解可能是正常的。然而，人們對此的嘲笑太殘酷了。人的能力是不同的，我們不能要求每個人都像費馬和高斯壹樣。但不能成為偉大的數學家並不意味著我們不能為這個社會做出自己有限的貢獻。每個人都有自己的長處。作為壹名精力充沛的計算器，謝思克願意將自己的大半生都奉獻給這項沒有報酬的工作，最終為世界的知識寶庫增添了壹塊小小的磚。難道我們不應該被他的不懈努力所感染，並從中獲得壹些啟發和教育嗎？
1948 65438+10月Ferguson和Ronchi發表了有808個正確小數的π。這是人工計算π的最高記錄。
計算機時代
1946年，世界上第壹臺計算機ENIAC制造成功，標誌著人類歷史上計算機時代的開始。計算機的出現導致了計算領域的壹場根本性革命。在1949中，ENIAC根據Machin公式計算到小數點後2035（2037）位，包括準備和排序時間在內僅用了70個小時。隨著計算機的快速發展，它們的記錄經常被打破。
埃尼阿克:壹個時代的開始
1973年，有人將圓周率計算到小數點後100萬位，並將結果打印成壹本200頁厚的書，這是世界上最無聊的書。1989突破1億大關，6月1995突破64億。9月30日，1999，Abstracts報道，東京大學教授金田康正得到了十進制數值20665438+5843百萬。如果將這些數字打印在A4大小的復印紙上，並且每頁打印20，000個數字，那麽這些紙張將堆疊長達500-600米。來自最新報道:金田康正使用超級計算機計算了圓周率小數點後12411億位的位數，改寫了他自己兩年前創下的記錄。據報道，金田教授與日立公司的員工合作，使用了目前計算能力排名世界第26位的超級計算機，並使用了新的計算方法。計算這些新數字花了400多個小時，比他在1999年9月計算的2611位小數位高出6倍。圓周率小數點後第壹萬億位是兩位，第壹萬億位是五位。如果妳每秒讀壹位數，大約需要4萬年才能讀完。
然而，現在打破記錄不會特別令人驚訝，無論它前進了多少位。實際上，過於精確地計算π的值沒有什麽實際意義。現代科技用的十幾個π值就夠了。如果用魯道夫小數點後35位的π值來計算太陽系的周長，誤差不到質子直徑的百萬分之壹。我們還可以引用美國天文學家西蒙·紐康的話來說明這種計算的實際價值:
“小數點後十位足以使地球的周長精確到壹英寸以內，小數點後三十位可以使整個可見宇宙的周長精確到即使最強大的顯微鏡也無法分辨的數量。”
那麽，為什麽數學家像登山運動員壹樣努力向上攀登並不斷尋求而不是停止對π的探索呢？為什麽它的十進制值如此吸引人？
大概有人類的好奇心和超前的心態，但還有很多其他原因。
奔騰與圓周率的奇妙關系...
1，現在可以用來測試或檢查超級計算機的性能，特別是運算速度和計算過程的穩定性。這對計算機本身的改進至關重要。就在幾年前，當英特爾推出奔騰時，人們發現它有壹個小問題，這是通過運行π計算發現的。這也是超高精度π計算在今天仍然具有重要意義的原因之壹。
2.計算的方法和思想可以產生新的概念和想法。盡管計算機的計算速度超出了任何人的想象，但數學家仍然有必要編寫程序來指導計算機正確操作。事實上，確切地說，當我們將π的計算歷史劃分為電子計算機時期時，這並不意味著計算方法的改進，而只是計算工具的壹大飛躍。因此，如何改進計算技術，研究更好的計算公式，使公式更快地收斂並非常快地達到更高的精度仍然是數學家面臨的重要課題。在這方面，本世紀印度的天才數學家拉馬努揚獲得了壹些良好的結果。他發現了許多可以快速準確地計算π近似的公式。他的見解開辟了更有效地計算π近似的思路。現在計算機計算π值的公式就是他得出的。至於這位傳奇數學家的故事，我們不想在這本小書裏介紹。但是，我希望每個人都能明白，π的故事是關於人類的勝利，而不是機器的勝利。
3.關於π的計算的另壹個問題是:我們可以無限地繼續計算嗎？答案是:不會！根據Judarovsky的估計，我們最多能數出1077。雖然我們離這個極限還很遠，但它畢竟是壹個邊界。為了不受這壹限制的束縛，有必要在計算理論上取得新的突破。上面提到的計算，無論使用什麽公式，都必須從頭開始計算。壹旦前面的某個數字出錯，後面的值就完全沒有意義了。還記得令人遺憾的沙克斯嗎？他是歷史上最慘痛的教訓。
4.所以，有些人想知道是否有可能從頭開始，而是從中間開始？這個基本思想是找到並行算法公式。在1996中，終於找到了圓周率的並行算法公式，但它是16的公式，因此很容易得到100億位的值，但它只有16。是否存在10的並行計算公式仍然是未來數學的壹大難題。
5.作為壹個無窮序列，數學家們對將π擴展到數億位很感興趣，這可以提供足夠的數據來驗證人們提出的壹些理論問題，並發現許多令人著迷的性質。比如π的十年有10個數，哪些是稀疏的，哪些是密集的？在π的數字擴展中，某些數字會比其他數字出現得更頻繁嗎？也許他們不是完全隨機的？這個想法並不無聊。只有頭腦敏銳的人才會問這種看似簡單的問題，很多人習慣了卻不屑於問。
6.數學家弗格森最早有這樣壹個猜想:在π的數值公式中，每個數字出現的概率是相同的。正是他的猜想為發現和糾正考克斯計算π值的錯誤做出了巨大貢獻。然而，猜想不等於現實。弗格森想測試壹下，但他無能為力。後人也想驗證它，但他們也苦於已知π值的位數太少。即使當位數太少時，人們也有理由懷疑猜測的正確性。例如，數字0很少出現在開頭。前50位只有1個零，最早出現在32位。然而，這種現象隨著數據的增加而迅速改變:100位內有8個零；200位以內有19個零；.....10萬位數內有999440個零；.....60億位數內有599，963，005個零，差不多占65，438+0/65，438+00。
其他數字呢？結果顯示每壹個差不多都是1/10，有的多有的少。雖然有壹些偏差，但都在1/10000以內。
7.人們仍然想知道:π的數字化擴張真的沒有壹定的模式嗎？我們希望通過研究十進制展開中數字的統計分布來找到任何可能的模型——如果存在這樣的模型，那麽到目前為止還沒有找到。同時，我們也想知道:π的展開是否包含了無限的風格變化？或者說，會出現任何形式的數字排列嗎？著名數學家希爾伯特曾在他未出版的筆記本中提出這樣壹個問題:π的十個級數中有10個9相連嗎？從現在計算的60億數字來看，已經出現了:六個連續的9連在壹起。希爾伯特問題的答案似乎是肯定的。似乎任何數字的排列都應該出現，只是時間問題。但它需要更多的π數字來提供切實的證據。
8.在這方面，有以下統計結果:60億數字中出現了8個8；九個七；10 6;從小數位710150和3204765開始，連續有7個3；八個數字14142135從小數點52638開始連續出現，小數點52638正好是前八位；從小數點後第2747956位開始，出現了有趣的序列876543210，但不幸的是前面少了壹個9。還有壹個更有趣的系列123456789。
如果繼續計數，似乎可能會出現各種類型的數字列組合。
變化:π的其他計算方法
在1777出版的《概率算術實驗》壹書中，布豐提出用實驗方法計算π。這種實驗方法的操作非常簡單:找壹根粗細均勻、長度為D的細針，在壹張白紙上畫出壹組間隔為L的平行線（為方便起見，常取l = d/2），然後將小針隨意壹次又壹次地扔在白紙上。這樣重復多次，計算出針與任意平行線相交的次數，就可以得到π的近似值。因為布馮自己證明了壹根針與任意平行線相交的概率為p = 2l/π d .利用這個公式，可以通過概率方法得到圓周率的近似值。在壹次實驗中，他選擇l = d/2，然後將針放置2212次，其中針穿過平行線704次，這樣圓周率的近似值為2212/704 = 3.142。當實驗次數相當多時，可以得到更精確的π值。
在1850中，壹個叫沃爾夫的人在投擲了5000多次後得到了壹個近似值3.1596。目前，聲稱通過這種方法獲得最佳結果的是意大利人拉斯利尼。在1901中，他重復了實驗，進行了3408次註射。π的近似值為3.1415929，如此精確以至於許多人懷疑他實驗的真實性。例如，美國猶他州奧格登國立韋伯大學的L Badger就對此提出了強烈質疑。
然而，布豐實驗的重要性並不在於得到比其他方法更精確的π值。布馮針問題的重要性在於它是第壹個用幾何形式表達概率問題的例子。這種計算π的方法不僅因其新穎和奇妙而令人驚嘆，而且開創了使用隨機數處理確定性數學問題的先河，是用偶然性方法解決確定性計算的先行者。
在用概率方法計算π值時，還應提到R Chatter在1904中發現兩個隨機書寫的數互質的概率為6/π 2。1995今年4月，英國《自然》雜誌發表了壹篇文章，介紹了英國伯明翰阿斯頓大學計算機科學與應用數學系的羅伯特·馬修斯如何利用夜空中明亮恒星的分布來計算圓周率。馬修斯從100顆最亮的恒星中隨機選擇壹對又壹對來分析和計算它們位置之間的角距離。他檢查了654.38+0萬對因子，以此為基礎，π的值約為3.654.38+02772。該值與真實值的相對誤差小於5%。
π是通過幾何、微積分和概率等廣泛的渠道發現的，這充分顯示了數學方法的奇異之美。π竟然會和這種看似不相關的實驗進行交流，實在令人驚訝。