2011哈爾濱工業大學數學系碩士研究生入學考試
[612]數學分析考試大綱
考試科目名稱:數學分析考試科目編碼:[612]
壹、考試要求:
1)要求考生掌握數學分析的基本概念、理論和方法。
2)要求考生具有嚴密的數學論證能力、反例能力和基本計算能力。
3)要求考生了解數學分析中基本概念、理論和方法的實際來源和歷史背景，知道它們的幾何意義和物理意義，初步具備應用數學分析解決實際問題的能力。
二、考試內容:
1)，極限和連續性
a掌握數列極限和函數極限的概念，包括數列的上下極限和函數的左右極限。
掌握極限和四則運算的性質，特別是能熟練運用雙面夾緊原理和兩個特殊極限。
C.掌握實數系的基本定理:區間套定理、上確界存在定理、單調有界原理、Bolzano-Weierstrass定理、Heine-Borel有限覆蓋定理、柯西收斂準則；並理解其中的關系。
D.掌握函數連續性的概念和相關的不連續點類型。能夠運用函數的四則連續運算和復合運算的性質以及無窮小量的相應性質；並了解它們之間的關系。
E.掌握閉區間上連續函數的性質:有界性定理、極大值定理、介值定理和控制定理。
2)壹元函數微分學
A.了解導數和微分的概念及其關系，了解導數的幾何意義和物理意義，了解函數可導性和連續性的關系。
B.熟悉函數導數和微分的算法，包括高階中間導數的算法，求分段函數的導數。
c掌握羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式。
D.函數的單調性、極值、極大值和凸性可以用導數來研究。
E.掌握用洛必達法則求不定式極限的方法。
3)壹元函數的積分
A.理解不定積分的概念。掌握不定積分、代換積分法、分部積分的基本公式，可以求有理函數、三角有理函數、簡單元函數的積分。
b掌握定積分的概念，包括達布和、上下積分、可積條件、可積函數類。
C.掌握定積分的性質，掌握微積分的基本定理，定積分的換元法和分部積分法。
d .用定積分掌握壹些幾何物理量的表示和計算(平面圖形的面積、平面直線的弧長、旋轉體的體積和側面積、已知平行截面積的立體體積、變力功和物體的質量、質心)。
E.理解廣義積分的概念。熟練掌握比較判別法、阿貝爾判別法、狄利克雷判別法判斷廣義積分的收斂性；包括積分第二中值定理。
4)、無窮級數
A.理解多項式級數斂散性的概念，掌握多項式級數的基本性質。
b掌握正項級數斂散性的必要條件，比較判別法、柯西判別法、達朗貝爾判別法、積分判別法。
c掌握任意級數的絕對收斂和條件收斂的概念及其關系。熟悉交錯級數的萊布尼茨判別法。掌握絕對收斂級數的性質。
d掌握函數項級數壹致收斂的概念和判別壹致收斂的Weierstrass判別法。阿貝爾判別式和狄利克雷判別式。掌握壹致收斂級數的性質。
E.掌握冪級數及其收斂半徑的概念，包括柯西-哈達瑪定理和阿貝爾第壹定理。
F.掌握冪級數的性質。函數可以展開成冪級數。理解維爾斯特拉斯逼近定理。
G.了解傅裏葉級數的概念和性質以及斂散性的判別方法。
5)多元函數的微積分
A.了解多元函數的極限與連續、偏導數與全微分的概念，求多元函數的偏導數與全微分。
B.掌握隱函數的存在定理。
C.知道多元函數的極值和無條件極值，了解偏導數的幾何應用。
掌握多重積分、曲線積分和曲面積分的概念和計算。
E.掌握高斯公式、格林公式和斯托克公式及其應用。
6)，包括參數變量積分
A.理解含參變量的常數積分的概念和性質。
B.掌握含參變量廣義積分壹致收斂的概念及其判別方法。掌握含參變量的壹致收斂廣義積分的性質。
三、試卷結構:
1)考試時間:180分鐘，滿分:150分。
2)問題結構
答:論證與反例(105-135)
b:基礎計算(15-45分)
四、參考書目:
1.《數學分析》(上冊、下冊)，復旦大學數學系主編，高等教育出版社，2007年，第2版。
2.數學分析習題集，北京大學數學系編著，高等教育出版社。
2011哈爾濱工業大學數學系碩士研究生入學考試
[831]高等代數考試大綱
考試科目名稱:高等代數考試科目代碼:[831]
壹、考試要求
多項式
1.理解數域、多項式、整除、最大公因數、互質、不可約、k因子和多因子的概念。了解多項式環、微信業務、本原多項式、字典排序法、對稱多項式、初等對稱多項式、齊次多項式、多項式函數等概念。
2.掌握整除的性質、帶余數的除法定理、最大公因式定理、互質多項式的判別及性質、不可約多項式的判別及性質、多項式的唯壹因式分解定理、余數定理、因式分解定理、代數基本定理、維耶塔定理、高斯引理、愛森斯坦判別定理、對稱多項式基本定理。
3.掌握無重復階乘的充要條件，判別式條件，拉格朗日插值公式，復數域，實數域，有理數域的多項式因式分解理論，有理多項式的有理根值域。
4.輪流掌握除法和綜合除法。掌握對稱多項式化為初等對稱多項式的多項式的方法。
(2)行列式
1.了解行列式的概念，了解行列式的子式、余式、代數余式的概念。
2.掌握行列式的性質，按行列展開定理，克萊姆法則，拉普拉斯定理，行列式乘法公式。
3.會利用行列式的性質和展開定理計算行列式，掌握計算行列式的基本方法。
(3)線性方程
1.理解向量線性相關、向量組等價、極大獨立組、向量組秩、矩陣秩、基本解系、解空間等概念。
2.掌握線性方程組的判別定理和線性方程組解的結構。
3.掌握用行初等變換解線性方程組的方法。
(4)矩陣
1.了解矩陣的概念，了解單位矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣、反對稱矩陣的概念和性質。
2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算規則。
3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質和矩陣可逆的充要條件。理解伴隨矩陣的概念和性質。
4.掌握矩陣的初等變換，掌握初等矩陣的性質，理解矩陣等價的概念，利用初等變換方法求矩陣的秩和逆矩陣。
5.了解分塊矩陣，掌握分塊矩陣的運算和初等變換。
(5)二次型
1.二次型的概念和矩陣表示，理解二次型秩的概念，掌握二次型的標準型和標準形的概念以及慣性定律。
2.掌握用合同變換和正交變換化二次型為標準型的方法。
3.掌握二次型及相應矩陣的正定、半正定、負定、半負定及其判別方法。
(6)線性空間
1.了解線性空間、子空間、生成子空間、基、維數、坐標、轉移矩陣、子空間的和與直和等概念。理解線性空間同構的概念。
2.掌握基本的延拓定理和維數公式，掌握直和的充要條件。
3.能求基，維，坐標，轉換矩陣。
(7)線性變換
1.了解線性變換、特征值、特征向量、特征多項式、特征子空間、不變子空間、線性變換的矩陣、相似變換、相似矩陣、線性變換的值域和核、Jardan標準型、極小多項式等概念。
2.掌握線性變換、相似矩陣、特征值和特征向量、核空間和值域、不變子空間的性質。掌握Hamilton-Cayley定理和線性空間V分解為A-不變子空間的條件和方法，了解最小多項式理論。
3.掌握線性變換的矩陣表示方法，求線性變換的特征值和特征向量的方法，矩陣相似對角化的條件和方法。掌握線性變換與矩陣“互變”的思維方法，會解決各種特殊子空間的相關問題。
(8)矩陣
1.了解矩陣、可逆矩陣、矩陣的行列式因子、不變因子、初等因子的概念，了解矩陣的標準型。
2.掌握矩陣可逆、矩陣等價、數字矩陣相似的充要條件，了解若當標準形的理論推導。
3.求矩陣的標準形和不變因子。會求數矩陣的Jordan標準型。
(9)歐幾裏得空間
1.掌握內積、歐氏空間、向量長度、夾角、距離、度量矩陣、標準正交基、正交補、正交變換、正交矩陣、對稱變換、同構等概念。
2.大師施密特正交化法。掌握標準正交基、正交變換、正交矩陣、對稱變換和標準形的性質。
3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質。正交相似變換將用於對角化實對稱矩陣的相似(約)。
二、考試內容
註:本文中的“章”、“節”是指《高等代數》(北京大學數學系幾何與代數系，高等教育出版社，2003年第3版)中的“章”、“節”。
1)多項式(第1部分:1-11)
2)行列式(第二章第1-8節)
3)線性方程(第三章第1-6節)
4)矩陣(第4章第1-7節)
5)二次型(第五章第1-4節)
6)線性空間(第六章，第65，438+0-8節)
7)線性變換(第7章65，438+0-9節)
8)矩陣(第八章第1-6節)
9)歐幾裏得空間(第九章，第65，438+0-6節)
三、試卷結構
1)考試時間:180分鐘，滿分:150分。
2)問題結構
答:填空，選擇20%左右
b:80%左右的答案(包括計算題和證明題)。
四。文獻學
《高等代數》，北京大學數學系幾何與代數系，高等教育出版社，2003年，第三版。