(1)有限集是可以與{1，2，3，4，...，n}(n是任意自然數)。簡單來說就是壹個可以壹直數下去的數字集合。例如，(1，2，3，4...，100)是壹個有限集。
(2)有限集合或無限集合。
(3)可數集是可以與自然數集雙射的無限集合，也稱為可數集。可數集合是最小的無限集合。
(4)不可數集合是壹個不能用自然數來表示的無限集合。
首先，有限集和無限集
(1)通俗點(但不夠科學)就是壹個集合中元素的個數。用數字表示，1，2，...例如，集合{1，2，3}有三個元素，基數是3。基數也叫基數。當壹個集合的基數是任意壹個特定的數時，稱為有限集。
(2)當集合的基數超過自然數的範圍時，即大於任意自然數。是壹個無限集合。
比如所有自然數都是第壹個無窮集。它的基數叫做aleph zero，Alef，是希伯來字母表的第壹個字母。
第二，可數和不可數問題
(1)並不是所有的無限集合都能與所有自然數形成壹壹對應，也就是基數(aleph)為零的無限數。比如實數。當然，所有的實數都是無限的，但是它們和自然數之間並沒有壹壹對應的關系。所以，在所有實數的無窮大之上，還有壹個更大的無窮大。
也就是說，(aleph zero)
(2)不能列出所有實數，甚至不能間接列出壹個無限集合。雖然所有的有理數本身都無法枚舉，但是我們可以在所有的自然數和它們之間建立壹壹對應的映射關系。
例如，所有有理數都表示為，...q (0)，q(1)，q(2)，...，所以也可以上市。這個可以嚴格證明，但是所有實數都不能給出這個證明。因此，不在此列。
擴展數據:
有限集是由有限個元素組成的集合，也稱為有限集。比如北京、天津、上海組成的集合，所有小於10000的質數組成的集合就是有限集。只包含壹個元素的集合是壹種特殊的有限集，稱為單元素集，至少包含壹個元素的集合稱為非空集。
沒有任何元素的集合稱為空集，空集只有壹個，壹般用希臘字母φ(或{})表示。舉個例子，如果壹個集合是基於壹個班數學考試不及格的學生，但實際上這個班所有的學生都通過了數學考試，那麽這個集合就是空集φ。
在集合論中，公認空集φ是有限集，空集是所有集合的子集。
定義有限集有兩種方法。
(1)壹個是等價於自然數串的線段的集合，壹個是空集，兩者都稱為有限集；不是有限集合的集合叫做無限集合。
(2)另壹個定義是非空集和不等價於自身真子集的空集稱為有限集，非有限集的集合稱為無限集。
如果壹個集合與壹個正整數集合有壹壹對應關系，那麽這個集合稱為可數集合(或可數集合)；也就是說，從這個集合到正整數集合存在壹個雙射(也叫可逆映射)。
(1)自然數集、有理數集、代數數集都是可數集。
(2)實數集、復數集、直線點集、平面點集都是不可數集(或不可數集)。
可數集是最小的無限集；它的冪集是不可數的——與實數集是壹壹對應的(也稱同勢)。所謂冪集，就是原集中所有子集(包括全集和空集)組成的集合族。
證明有理數集Q是可數集。
證書:因為間隔(？∞，+∞)可以表示為可數區間(n，n+1)的並集(n∈Z)，我們只需要證明區間(0，1)中的有理數是可數集。
因為區間(0，1)中的有理數可以唯壹地表示為約化分數q/p，其中p∈N+，q∈N+，q≤p，p與q互質。我們按以下方式排列這些有理數:
分母p=1只有壹個降分:x 11 = 1；
分母p=2的降分只有壹個:x21？=1/2;
有兩個分母p=3的不可約分數:x31=1/3，x32？=2/3;
分母p=4的降分只有兩個:x41=1/4，x42 = 3/4；
壹般來說，分母p=n的不可約分數最多不超過n-1，可以記為xn1，xn2，...，xnk(n)，其中k (n) ≤ n。
所以區間(0，1)內的所有有理數都可以排列。
x11，x21，x31，x32，x41，x42，...，xn1，xn2，...，xnk(n)，...。
這證明了有理數Q是可數集。
可以證明，可數集具有以下重要性質:
1，有限可數集的並集是可數的。
2.可數集合是可數集合。
3.任何可數集合的無限子集都是可數集合。
4.任何無限集合都包含壹個可數的真子集。
5.壹個無限集合和最後壹個可數集合的並集也與其自身是等勢的。
6.可數集的冪集等於實數集。
參考資料:
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