4.1.2.1小波包變換的數學定義
小波包分解是基於多分辨率分析的。在多分辨率小波分析中，平方可積空間表明，小波分析是將L2(R)按照不同的尺度因子j分解成所有子空間Wj(j∈Z)的正交和，其中Wj是小波函數ψ(t)的閉包(小波子空間)。小波子空間Wj按二進制進壹步頻率細分可以提高頻率分辨率。壹種自然的方法是將尺度空間Vj和小波子空間Wj與壹個新的子空間統壹起來(楊超等人，2004)。
高光譜遙感圖像信息提取技術
，j∈Z，則正交分解VJ+1 = VJ ⊕ WJ，即統壹分解成高光譜遙感影像信息提取技術。
子空間定義為函數μn(t)的閉bun空間，但函數μ2n(t)的閉bun空間。定義了以下遞推關系，μn(t)滿足遞推關系的雙標度方程(Coifman等，1992；孫宇等，2005；王等，2005):
高光譜遙感圖像信息提取技術
其中:遞歸定義的函數μ n (n = 1，2，…)稱為正交尺度函數μ 0 (t) = ψ (t)確定的小波包。其中，hk、gk和(k∈Z)分別稱為低通濾波系數和高通濾波系數。Gk = (-1) KH 1-k，即兩個系數也有正交關系。而當n = 0時，μ 0 (t) = ψ (t)，μ 1 (t) = ψ (t)，由上述公式得到:
高光譜遙感圖像信息提取技術
其中:μ0(t)和μ1(t)分別是尺度函數和小波函數的雙尺度方程。顯然，μ0(t)和μ1(t)分別退化為尺度函數ψ(t)和小波基函數ψ(t)。序列{μ n (t)} (n ∈ z+)稱為由正交尺度函數μ 0 (t) = ψ (t)確定的小波包，或者序列{μ n (t)}是關於序列{{hk}}的正交小波包。
對於任意非負整數n∈Z+和任意整數j∈Z，設表示由小波包μn的二進制展開和平移的線性組合合成的L2(R)的閉子空間，則:
高光譜遙感圖像信息提取技術
其中:{{Vj}}是尺度函數u0 = ψ生成的L2(R)的多分辨率分析；{{Wj}}是由小波U1 = ψ生成的正交小波子空間序列。
4.1.2.2小波包的空間分解與重構算法
根據尺度函數μ 0 (t) = ψ (t)和小波函數μ 1 (t) = ψ (t)，可以通過使用等式(4.2)和(4.3)獲得以下空間分解:
高光譜遙感圖像信息提取技術
設{μ n (t)} n ∈ z是關於低通濾波器系數hk的小波包族，由下式生成子空間族。設n = 1，2，…；J = 1，2，…，叠代分解上述公式，得到Wj的分解(圖4.2)，包括:
圖4.2小波包空間在小波空間的完全分解示意圖
高光譜遙感圖像信息提取技術
在實際應用中，我們通常關心(R)子空間的小波分解和小波包分解(吳等，1996)。小波包分解的分解關系如圖4.2所示。可以有不同的分解，並且相應VL中的信號f(t)∈VL可以由不同的堿基組合來表示。通常，基於信息成本函數選擇該信號的最佳表示。信息代價函數有不同的定義，但它必須反映在這組基下擴展信號(或函數)所需的計算量和存儲量。
記住信號f(t)在子空間的小波包系數分別是l2 (r)平方可積離散序列空間，那麽從小波包的定義和方程(4.6)可以得到下面的快速小波包分解和重構算法。小波包分解算法；
高光譜遙感圖像信息提取技術
對高光譜圖像進行小波包分解，對圖像分解系數進行處理後，將恢復為處理後的圖像。小波包變換的重構操作是小波包分解的逆操作，即將處理後的頻域系數重新組合成時域圖像。小波包重構算法；
高光譜遙感圖像信息提取技術
其中:香港-2L和GK-2L分別稱為低通濾波系數和高通濾波系數。