根據集合論的定義，集合的最大值和最小值分別是集合中最大和最小的元素。無限無限集合，實數集合，沒有最小值或最大值。
極值是函數的最大值或最小值。如果壹個函數在壹個點的鄰域中處處都有某個值，並且該點的值是最大值（最小值），則該函數在該點的值是最大值（最小值）。如果它比鄰域中其他點的函數值大（小），則它是嚴格的最大值（小）。這個點相應地被稱為極值點或嚴格極值點。
基本介紹中文名:extreme mbth: extreme別名:穩定值應用學科:數學應用範圍:數學與物理應用範圍:數學與物理分類:最大值與最小值性質:在極值點的導數為零或非導數，數學字典中的表達式，分類，定義，求解函數的極值，以多元函數為例，引入極值是變分法的壹個基本概念。泛函在壹定的允許函數範圍內得到的最大值或最小值分別稱為最大值或最小值，統稱為極值。使泛函達到極值的自變量函數稱為極值函數，如果是壹元函數，通常稱為極值曲線。極值也叫相對極值或局部極值。“最大值”和“最小值”的統稱。如果某壹點上的函數值大於或等於該點附近任何其他點上的函數值，則該點上的函數值稱為該函數的“最大值”。如果壹個函數在某壹點的值小於或等於該函數在該點附近任何其他點的值，則該函數在該點的值稱為該函數的“最小值”。數學詞典中表達式函數在其定義域的某些局部區域內的相對最大值或相對最小值。當函數在其定義域內某壹點的值大於該點周圍任壹點的值時，稱該函數在該點有最大值；當函數在其定義域中某壹點的值小於該點周圍任意壹點的值時，稱該函數在該點有最小值。這裏的極小極大和極小極大只具有局部意義。因為壹個函數的極值只是它在某壹點附近的小範圍內的最大值或最小值。壹個函數在其整個定義域中可能有許多最大值或最小值，並且最大值可能不大於最小值。函數的極值由其壹階和二階導數決定。對於壹元可微函數f（x），它在某壹點x0處有極值的充要條件是f（x）在x0的某壹鄰域內壹階可導，在x0處二階可導，且f‘（X0）= 0，f”≠0，則:1）如果f”（X0）0，則f在X0處取最大值；2）如果f“（x0）》0；0，則f取x0處的最小值。分類函數的穩定值，即最大值或最小值。極值點只能在函數不可微或導數為零的點上獲得。如圖所示，B點、C點、D點和E點是在給定時期內，或在該時期的某個月份或季節內，極端點觀測到的氣候要素的最高值或最低值。如果這個周期是有觀測數據的整個周期，這個極值就是絕對極值。極值的定義如下:如果函數f（x）定義在x ^ 0的壹個鄰域d中，並且d中除x ^ 0以外的所有點都有f（x）；f（x ^ 0），那麽f（x ^ 0）就是函數f（x）的最小值。極值的概念來源於數學應用中的最大值和最小值問題。根據極值定律，定義在有界閉區域中的每個連續函數都必須達到其最大值和最小值。問題是確定它在哪個點達到最大值或最小值。如果極值點不是邊界點，它壹定是內點。因此，這裏的首要任務是找到壹個內點成為極值點的必要條件。求解函數的極值，並在函數的整個域中找到最大值和最小值是數學優化的目標。如果函數在閉區間內連續，通過極值定理可知在整個區域內存在最大值和最小值。此外，整個域上的最大值（或最小值）必須是域內的局部最大值（或最小值），或者它必須位於域的邊界上。因此，尋找全域上的最大值（或最小值）的方法是查看內部的所有局部最大值（或最小值），同時查看邊界上的點的最大值（或最小值），並取最大值或最小值。費馬定理可以找到局部極值的微分函數，這表明它們壹定發生在關鍵點。我們可以利用壹階導數檢驗、二階導數檢驗或高階導數檢驗來區分臨界點是局部最大值還是局部最小值，並給出充分的可區分性。對於任何由段定義的函數，分別找出每個部分的最大值（或最小值），然後看哪個是最大值（或最小值）以找到最大值（或最小值）。多元函數對於多元函數，也有極值點的概念。此外，還有鞍點的概念。計算步驟是找到最大值和最小值；步驟（1）是求導數f’（x）；（2）求方程f’（x）= 0的根；（3）檢查等式左側和右側f‘（x）值的符號。如果左正向右為負，那麽f（x）在這個根處得到最大值；如果左為負，右為正，那麽f（x）在這個根處取最小值。特別註意f‘（x）的無意義點，也進行討論。可以先找到f’（x）= 0的根和f’（x）的無意義點，然後根據定義判斷。求極值點（1）的步驟是求f’（x）= 0且f”（x）≠0的x值；（2）利用極值的定義（無窮小半徑鄰域內f（x）的值小於或大於該點的點為極值點），討論了f（x）的間斷點。（3）上述所有點的集合是極值點的集合。例如，函數f（x，y）= x ^ 3+y ^ 3-2x ^ 2-2y ^ 2+6x的極值應為fx=0，fy=0以獲得四個點，然後代入這些值以比較大小。fx=3x^2-4x+6>；0認為FY = 3Y 2-4y=0引出y=0或y=4/3 1定理（必要條件）:設函數z = f（x，Y）在點（x0，y0）處有偏導數，在點（x0，y0）處有極值，則它在該點處。定理2（充分條件）:設函數z = f（x，y）在點（x0，y0）的某個定義域內連續且有壹階和二階連續偏導數，FX（x0，y0）= 0，fy（x0，y0）= 0，使得fxx（x0，y0）= A，。0有壹個極值，當