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什麽是完美的數字?

在古代,自然數6是人們喜歡的數字。有人認為6屬於美神維納斯,它象征著美滿的婚姻;其他人相信宇宙如此完美是因為上帝花了六天時間創造了它...

自然數6為什麽會受到人們的青睞?

原來6是壹個非常“完美”的數字,它和它的因子之間有著奇妙的聯系。6有四個因子* * * 1,2,3,6。除了6本身的因素,其他三個都是它的真因素。數學家發現,把6的所有美好因子加起來,正好等於6本身的自然數!

數學上,具有這種性質的自然數叫做完全數。比如28也是壹個完全數,它的真因數是1,2,4,7,14,而1+2+4+7+14正好等於28。

在自然數中,完全數是非常罕見的,用滄海壹粟來形容也不為過。據統計,在10000到4000000的範圍內,只找到了5個完全數。另外,直到1952,在2000多年的時間裏,已經被發現的完全數只有12。

不是數學家不重視完全數。事實上,在非常遙遠的古代,他們就開始探索尋找完全數的方法。公元前3世紀,古希臘著名數學家歐幾裏德甚至發現了壹個計算完全數的公式:如果2n-1是壹個素數,那麽由公式N=2n-1(2n-1)計算出的數壹定是壹個完全數。比如,當n = 2時,22-1=3是壹個素數,所以N2 = 22-1(22-1)= 2 * 3 = 6是壹個完全數;當n=3時,N3=28是壹個完全數;當n = 5時,N5=496也是壹個完全數。

18世紀,大數學家歐拉從理論上證明了每壹個偶數完全數9都必須用這個公式計算。

盡管如此,尋找完美數字的工作仍然非常艱巨。例如,當n=31時,n 31 = 231-1(231-1)= 23058430081399 52128。

直到20世紀中葉,隨著電子計算機的出現,尋找完全數的工作才取得巨大進展。1952年,數學家借助計算機的高速運算,壹下子找到了五個完全數,分別對應歐幾裏德公式中n = 521,607,1279,2203,2281時的答案。後來,數學家們有了越來越多的發現。當n=3217,4253,4423,9689,9941,11213,19937時,用歐幾裏德公式算出的答案也是完全數。

到了1975,人們從無窮無盡的自然數中找到了24個完全數。

在歐幾裏德公式中,只要2n-1是素數,2n-1(2n-1)就壹定是壹個總數。因此,尋找壹個新的完全數與尋找壹個新的素數密切相關。

1979年,當人們知道244497-1是壹個新的質數時,他們也知道244496(244497-1)是壹個新的完全數。1983年,當人們知道286243-1是壹個更大的質數時,他們也知道286242(286243-1)是壹個更大的完全數。這是迄今為止已知的最大的完全數。

這是壹個非常大的數字,大到很難在書中寫出來。有趣的是,雖然很少有人知道這個數的最後壹個數是什麽,但他們知道它壹定是偶數,因為歐幾裏德公式計算出來的完全數都是偶數!

那麽,奇數中有完全數嗎?

有人驗證過所有36位以下的自然數,從未發現過奇完全數的蹤跡。但是,在大於這個的自然數中,是否存在奇完全數,誰也說不準。說起來,這還是壹個尚未解決的著名數學問題。

參考資料: