歐拉公式被證明為:R+ V- E= 2。
在拓撲學中，在任何壹個正則球面圖上，如果用R記錄區域的個數，用V記錄頂點的個數，用E記錄邊界的個數，那麽R+ V- E= 2。這就是歐拉定理，笛卡爾在1640年首次證明，後來歐拉在1752年獨立證明，稱之為歐拉定理，國外也有人這麽叫。
1，當R=2時，從1的描述中，可以把這兩個區域想象成以赤道為邊界的兩個半球，赤道上有兩個“頂點”把赤道分成兩個“邊界”，即R=2，V=2，e = 2；所以R+V-E=2，歐拉定理成立。
2.設R=m(m≥2)對歐拉定理成立。證明了歐拉定理對R=m+1成立。
從註2可知，如果我們在R=m+1的地圖上選擇任意壹個區域X，那麽X壹定有這樣壹個相鄰的區域Y，使得去掉X和Y之間唯壹的邊界後，地圖上只有m個區域。
去掉x和y的邊界後，如果原邊界兩端的頂點仍然是三個或三個以上邊界的頂點。
那麽頂點被保留，而其他邊界的數目保持不變；如果原始邊界的壹端或兩端的頂點現在是兩個邊界的頂點，則刪除該頂點，並且該頂點兩側的兩個邊界成為壹個邊界。因此，當移除x和y之間的唯壹邊界時，只有三種情況:
1，減少壹個面積和壹個邊界。
2.減少壹個面積，壹個頂點和兩個邊界。
3.減少壹個面積，兩個頂點，三個邊界。
連接復指數函數和三角函數的公式，其中E是自然對數的底數，I是虛數單位。它將指數函數的定義擴展到復數，建立了三角函數與指數函數的關系。它不僅出現在數學分析中，而且在復變函數論中占有非常重要的地位，也被稱為“數字中的橋梁”。