代數幾何在物理學中有什麽應用？

代數幾何在弦理論中有很多應用。這是壹個巨大的話題。這裏只是幾個例子。細節會越來越少，和實際應用完全不成比例。經典教材1有專門章節提供代數幾何的知識，但不代表只有這些被應用過。前沿的弦理論研究與大量的代數幾何研究交織在壹起，如論文最後所討論的。大致來說，出發點可能是Calabi-Yau流形上弦論的緊性。也就是說，我們四維時空的每壹個點都蜷縮著壹個六維的卡拉比-希爾空間(“弦理論住的房子”)。對陳特征類為零的卡拉比猜想的解答，使我們對此類流形有了壹個簡單的代數幾何刻劃。這樣，相關的代數幾何工具就進入了物理學家的視野。先說壹個代數幾何在弦理論中的具體應用(包括實際物理意義):

在混合弦理論中，作為厄米-楊-米爾斯方程解的規範場的存在對應於某些全純向量叢的斜率穩定性，稱為Donaldson-Ullenbeck-Yau定理(在適當條件下)或Kobayashi-Hitchin關聯。這壹步涉及的對象仍然是復幾何，但穩定性的條件可以在代數幾何的範疇內研究。同時，計算對應於這些向量束的同源性的超場的數目。這些計算也可以通過範疇等價(GAGA，代數幾何與解析範疇的對應)轉化為代數幾何問題進行計算。沿著這個思路，參考文獻2試圖從弦論回歸場論的標準模型:從混合弦出發，可以找到這樣壹個弦論模型1，使其在低能下再現極小超對稱標準模型(MSSM)中的場，不多不少。當然，場的耦合強度需要更細致的計算。這部分工作被稱為弦現象學。然後，Karabi-Hill流形說兩個不同的Karabi-Hill流形上的弦理論可以通過鏡像對稱建立對偶性，相關的Kalabi-Yau/Landau-Ginzburg相幹，規範線性適馬模型等等都使用了代數幾何的很多工具。再比如超黎曼曲面和超模空間。玻色子弦只在26維的明確定義的代數幾何/模空間中得到解釋。在F理論中，該模型完全建立在橢圓形纖維calabi-yau四折疊上，特別註意退化纖維。從物理角度看，代數幾何工具並不比其他工具更特殊，與微分幾何、辛幾何等工具交織在壹起。許多“高階”結構，如導出範疇、gerbs和棧，也被物理學家積極使用。從數學物理的角度來看，弦理論提供了許多有價值的數學問題，與代數幾何相關的領域有同調鏡像對稱、計數幾何、幾何語言等。