初中數學所有定理的證明

三角形三邊關系定理:三角形兩邊之和大於第三邊。推論:三角形兩邊之差小於第三邊。三角形和定理三角形的內角之和等於180。推論1。直角三角形的兩個銳角是互補的。推論二。三角形的壹個外角等於兩個不相鄰的內角。推論3。壹個三角形外角的大雨，並不與之相加。相鄰內角平分線的性質定理壹個角的平分線上的點到該角兩邊的距離相等。幾何語言:∵OC是∠AOB(或∠ AOC = ∠ BOC) PE ⊥ OA的平分線，PF⊥OB點p在OC上∴ PE = PF。在這個角的平分線上，幾何語言:∵PE⊥OA，PF⊥OB PE=PF ∴點p在∠AOB的平分線上(角的平分線的判定定理)；等腰三角形的性質定理；等腰三角形的兩個底角相等；幾何語言:∵ AB = AC ∴∠ B = ∠ C(等邊等角)。BD = DC ∴∠ 1 = ∠ 2，AD⊥BC(等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊)(2) ∵ AB = AC，∠ 1 = ∠ 2 ∴.BD = DC(等腰三角形的頂角平分線垂直平分底邊)推論2等邊三角形的所有角相等，每個角等於60°幾何語言:∵ab = AC = BC∴∠a =∠b =∠c = 60°(等邊三角形的所有角相等，。那麽這兩個角的對邊也是相等的。幾何語言:∵∠ B = ∠ C ∴ AB = AC(等邊)推論1三個角相等的三角形是等邊的。幾何語言:∵∠A =∠B =∞。∠ A = 60 (∠ B = 60或∠ C = 60) ∴ AB = AC = BC(角等於60°的等腰三角形是等邊三角形)推論3在直角三角形中，如果壹個銳角等於30°，那麽它對著的右邊等於斜邊的壹半。如果壹個銳角等於30°，那麽它對著的直角邊等於斜邊的壹半。)線段的中垂線定理中垂線上的點與該線段的兩個端點之間的距離相等。幾何語言:c中的∵MN⊥AB，AB = BC，(MN垂直平分AB)點p是MN中的任意壹點∴ Pa = Pb(線段的垂直平分線性質)逆定理和線段的兩個端點。這條線段的中垂線上的幾何語言:∵ Pa = Pb ∴點p在線段AB的中垂線上(由線段的中垂線判斷)軸對稱與軸對稱圖形定理1兩個在某條直線之間對稱的圖形是共形定理2如果兩個圖形關於某條直線對稱，那麽對稱軸就是對應點連線的中垂線定理3兩個圖形關於某條直線對稱。如果它們對應的線段或延長線相交，那麽交點就在對稱軸上。如果兩個圖的對應點的連線被同壹條直線垂直平分，則這兩個圖關於這條直線對稱。勾股定理勾股定理直角三角形的兩條直角邊A和B的平方和等於斜邊c的平方即勾股定理逆定理A2+B2 = C2如果三角形A、B和c的三條邊的長度相關，那麽這個三角形就是直角三角形四邊形定理。任何四邊形的內角之和等於360度。定理多邊形和定理N邊多邊形的內角之和等於(n-2)。180.推斷任意多邊形的外角之和等於360。平行四邊形及其性質定理1。平行四邊形的對邊相等。相等推論定理3平行四邊形的對角線互相平分幾何語言:∵四邊形AO=CO是平行四邊形∴AD‖BC，AB‖CD(平行四邊形的對角線相等)∠ A = ∠A=∠C，∠ B = ∠ D(平行四邊形Bo = do(平行四邊形的對角線相等)平行四邊形的判定定理1兩組邊相對的平行四邊形是平行四邊形幾何語言:∵AD‖BC，ab‖幾何語言:∵∠ A = ∠ C，∠ B =∠ D ∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對角線相等的四邊形是平行四邊形)判斷定理3兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形幾何語言:∵ AD = BC，AB = CD ∴四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形)判定定理4對角線被二等分的四邊形是平行四邊形幾何語言:∵ ao = Co Bo = do ∴四邊形ABCD是平行四邊形(對角線相互平分的四邊形是平行四邊形)判定定理5壹組平行且對邊相等的平行四邊形是平行四邊形幾何語言:∵AD‖BC Ad = BC ∴四邊形ABCD是平行四邊形(壹組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形)矩形性質定理1矩形的四個角都是直角性質定理2矩形的對角線相等幾何語言:四邊形ABCD是矩形∴ AC = BD(矩形的對角線相等)∠a =∠b =∞。 角三角形斜邊上的中線等於斜邊的壹半。幾何語言:∵△ABC是直角三角形，Ao = oc ∴ Bo = AC(直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的壹半)判斷定理1有三個直角的四邊形是矩形幾何語言:∵∠a =∠b =∠c = 90°∴壹個四邊形ABCD是矩形(有三個直角)它是矩形(對角線相等的平行四邊形是矩形)。性質定理1菱形的四條邊都相等。性質定理2菱形的對角線互相垂直，每條對角線平分壹組對角幾何語言:∵四邊形ABCD是菱形∴ AB = BC = CD = AD(菱形的四條邊都相等)AC⊥BD，AC平分∞。BD平分∠ABC和∠ADC(壹個菱形的對角線互相垂直，每條對角線平分壹組對角線)判定定理1有四條等邊的四邊形是菱形幾何語言:∵ AB = BC = CD = AD ∴四邊形ABCD是菱形(有四條等邊的四邊形是菱形)判定定理2有兩條垂直對角線的平行四邊形是菱形。AO = CO，BO = DO ∴四邊形ABCD是菱形(對角線垂直的平行四邊形是菱形)正方形性質定理1正方形的四個角都是直角，四條邊都相等。性質定理2正方形的兩條對角線相等且平分。每條對角線平分壹組對角線中心對稱和中心對稱的圖形定理1關於中心對稱的兩個圖形全等定理2關於中心對稱的兩個圖形，對稱點的連線通過對稱中心並被對稱中心平分。逆定理如果兩個圖的對應點的連線通過壹個點，並被這個點壹分為二，那麽這兩個圖就是關於這個點的。對稱梯形等腰梯形性質定理。同壹個底上的等腰梯形的兩個角相等。幾何語言:∵四邊形ABCD是等腰梯形∴∠ A = ∠ B，∠ C = ∠C=∠D(等腰梯形的兩個角在同壹底邊上相等)。兩個等腰梯形判定定理是在同壹基礎上的。∠ C = ∠C=∠D ∴四邊形ABCD是等腰梯形(兩個角在同壹個底邊上相等的梯形是等腰梯形)，梯形三角形中的中線定理平行於第三邊且等於其壹半幾何語言:∵EF是三角形的中線∴ EF = AB(三角形中線定理)。它等於兩個基數之和的壹半。幾何語言:∫ef是梯形∴的中線ef = (AB+CD)(梯形中線定理)比例線段1，比例的基本性質。若A: B = C: D，則AD = BC 2，比性質3，等比性質平行線段比例定理平行線段比例定理三條平行線。得到的對應線段的比例幾何語言:∵l‖p‖a(三條平行線切兩條直線，得到的對應線段成比例)推斷平行於三角形壹邊的直線切另兩邊(或兩邊的延長線)，得到的對應線段的比例定理如果壹條直線切三角形的兩邊(或兩邊的延長線)成比例，那麽這條直線平行於三角形的第三邊，垂直於弦的直徑。豎徑定理平分垂直於弦直徑的弦，平分弦的兩種圓弧幾何語言:∵OC⊥AB，OC過圓心(豎徑定理)。推斷1 (1)平分垂直於弦的弦的直徑(不是直徑)，平分弦的兩個圓弧幾何。AB不是直徑(平分弦(不是直徑)是垂直於弦，平分它所面對的兩個圓弧)(2)弦的中垂線通過圓心，平分它所面對的兩個圓弧:∵ AC = BC， OC過圓心(弦的垂直平分線過圓心並平分它所面對的兩條弧)(3)平分它所面對的壹條弧的直徑並垂直平分弦，另壹條弧平分弦的幾何語言:(平分弦對向的壹條弧的直徑，垂直平分弦， 並將弦所對的另壹條弧二等分)推斷圓的兩條二等分弦所夾的弧相等幾何語言:∵AB‖CD圓心角、弧、弦與弦中心距的關系定理在同壹圓或等圓內，等圓心角所對的弧相等，且。 相對弦的弦中心距離也相等。推導出在同壹個圓或等圓內，如果兩個圓心角、兩個圓弧、兩個弦或兩個弦的弦中心距離中的壹組量相等，則與之對應的另壹組量分別相等。圓角定理是與壹條弧相對的圓角等於與之相對的圓心角的壹半。推斷同弧或等弧相對的圓角相等。在同壹圓或同壹圓內，相等的圓周角所對的弧也相等。據推斷，半圓(或直徑)對著的圓周角是直角；90°圓周角對著的弦是直角推論。3如果三角形壹邊的中線等於這條邊的壹半，那麽這個三角形就是直角三角形圓的內接四邊形的對角補，任何外角等於它的內接對角線幾何語言:∫四邊形ABCD是∫O∠A+∠C = 650的內接四邊形。∠ B+∠ ADB = 180，∠ B = ∠B=∠ADE切線的判定和性質切線的判定定理通過半徑的外端和垂直於此半徑的直線就是圓的切線幾何語言:∵l ⊥OA，a點在∵ O ∴.上壹條直線l在a點相切⊙o ∴l ⊥oa(切線性質定理)推論1過圓心且垂直於切線的直徑必過切點推論2過切點且垂直於切線的直線必過圓心切長定理從圓外壹點畫出的兩條切線，它們的切長相等。圓心和這個點之間的連線平分兩條切線的夾角。幾何語言:∵弦PB，PD正切⊙O在a點和c點∴PA=PC，∠APO=∠CPO(切長定理)弦正切角等於它所夾圓弧對的圓周角。幾何語言:∵那麽這兩個弦切角也相等。幾何語言:∵∠BCN是夾心的，∠ACM是對的，=∴∠BCN =∞∠ACM與圓相關的比例線段相交弦定理:圓內兩條相交弦的長度除以焦點的乘積相等。幾何語言:∵和弦AB。那麽弦的壹半就是直徑被它除的兩條線段的比例中項幾何語言:∵AB是直徑，CD⊥AB在p點∴ PC2 = Pa Pb(相交弦定理的推導)。切線定理從圓外的壹點引出圓的切線和割線，切線長度是從這個點到割線和圓的焦點的兩條線段的比例中項幾何語言:∵PT切線。PBA是⊙O ∴ PT2 = PA Pb的正割(正割定理)。推斷從圓外的壹點出發，圓的兩條割線的乘積等於每條割線的長度和圓的焦點。幾何語言:∵PBA和PDC是⊙O ∴ PT2 = PA Pb(。