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2。詞典意義
史書
(1)數學術語。沒有虛部的復數，有理數，無理數。
(2)真實數字。公司有多少錢？請告訴我真實的數字！
基本概念
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實數包括有理數和無理數。其中，無理數是無限循環小數和開尾數，有理數包括無限循環小數、有限小數和整數。
數學上，實數被直觀地定義為數軸上對應於點的數。本來實數只叫數，後來引入了虛數的概念。最初的數字被稱為“實數”——意思是“實數”。
實數可分為有理數和無理數，或代數數和超越數，或正數，負數和零。壹組實數通常用字母r或r n表示，r n表示n維實數空間。實數是不可數的。實數是實分析的核心研究對象。
實數可以用來度量連續的量。理論上，任何實數都可以表示為壹個無限小數，小數點右邊是壹個無窮級數(循環或非循環)。實際中，實數往往近似為壹個有限小數(小數點後n位保留，n為正整數)。在計算機領域，由於計算機只能存儲有限的小數位數，所以實數往往用浮點數來表示。
(1)逆數(只有兩個符號不同的數，我們會說其中壹個是另壹個的逆數)實數A的逆數是-A。
②絕對值(數軸上壹個數對應的點與原點0的距離)實數A的絕對值為:│ A │ = ①當A為正數時，| A | = A。
②當a為0時，|a|=0。
③當a為負時，| a | =-a。
③倒數(兩個實數的乘積是1，那麽這兩個數是倒數)實數A的倒數是:1/a (a≠0)。
歷史來源
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埃及人早在公元前1000年左右就開始使用分數。公元前500年左右，以畢達哥拉斯為首的希臘數學家認識到無理數的必要性。印度人在公元600年左右發明了負數。據說中國也發明了負數，但比印度晚了壹點。
直到17世紀，實數才在歐洲被廣泛接受。18世紀，微積分是在實數的基礎上發展起來的。直到1871，德國數學家康托爾才第壹次提出了實數的嚴格定義。
相關定義
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從有理數構造實數
實數可以通過收斂到壹個唯壹實數的十進制或二進制展開式來構造為有理數的補數，例如{3，3.1，3.14，3.141，3.1415，…}。實數可以用不同的方式從有理數中構造出來。這裏給出了其中的壹個。其他方法請參考實數的構造。
公理方法
設r是所有實數的集合，則:
集合R是壹個域:它可以加、減、乘、除運算，它有壹些共同的性質如交換律、結合律。
域r是有序域，即對於所有實數x、y和z，存在全序關系≥:
若x ≥ y，則x+z≥y+z；；
如果x ≥ 0，y ≥ 0，xy ≥ 0。
集合R滿足戴德金完備性，即任意R的非空集S (S∈R，S ≠ φ)若S在R中有上界，則S在R中有上確界。
最後壹個是區分實數和有理數的關鍵。比如平方小於2的所有有理數的集合，有壹個有理數的上界，比如1.5；但是有理數沒有上確界(因為√2不是有理數)。
實數由上述性質唯壹確定。更準確地說，給定任意兩個戴德金完備序域R1和R2，存在唯壹的從R1到R2的域同構，即它們在代數上可以視為相同。
相關特性
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初等運算
實數可以實現的基本運算有加、減、乘、除、平方等。對於非負數，也可以進行開方運算。實數加、減、乘、除(除數不為零)和平方的結果仍然是實數。任何實數都可以被提升到奇數次冪，結果仍然是壹個實數。只有非負實數才能被提升到偶次冪，結果仍然是實數。
範疇性
作為度量空間或壹致空間，實數集是完備空間，它具有以下性質:
所有實數的柯西序列都有壹個實數極限。
壹組有理數不是壹個完整的空間。例如，(1，1.4，1.41.414，1.4142，1.41438。其實它有壹個實極限√2。實數是有理數的完成——這也是壹種構造實數集的方法。
極限的存在是微積分的基礎。實數的完備性相當於歐幾裏得幾何中的直線沒有“缺口”。
“完整有序域”
實數集通常被描述為“完全有序域”，這可以有幾種解釋。
首先，有序域可以是完整的格。但是，我們很容易發現，沒有壹個有序場會是壹個完整的格。這是因為有序域沒有最大元素(對於任何元素z，z+1都會比較大)。所以，這裏的“完全”並不是指完全晶格。
另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已有定義。上述唯壹性也說明這裏的“完備性”就是戴德金完備性。這種完備性的含義與利用戴德金除法構造實數的方法非常接近，即從(有理數)有序域出發，用標準方法建立戴德金完備性。
這兩個完整性概念忽略了領域的結構。而序群(域是特殊的群)可以定義壹致空間，壹致空間有完備空間的概念。以上完整性描述的只是特例。(這裏采用了壹致空間的完備性概念，而不是眾所周知的度量空間的完備性，因為度量空間的定義依賴於實數的性質。當然，R不是唯壹壹致完備的有序域，但它是唯壹壹致完備的阿基米德域。其實“完全阿基米德域”比“完全有序域”更常見。可以證明，任何壹致完備的阿基米德域必是戴德金完備的(當然反之亦然)。這種完備性的意義與柯西數列構造實數的方法非常接近，即從有理數的阿基米德域出發，用標準方法建立壹致完備性。
“完全阿基米德域”最早是希爾伯特提出的，他也想表達壹些不同於上述的含義。他認為實數構成了最大的阿基米德域，即所有其他阿基米德域都是R的子域，所以說R是“完全的”是指在它上面加任何元素都會使它不再是阿基米德域。這種完備性的意義非常接近於超實數構造實數的方法，即從壹個包含所有(超實數)有序域的純類出發，從其子域中尋找最大的阿基米德域。
先進性
實數集是不可數的，即實數的個數嚴格大於自然數的個數(雖然兩者都是無限的)。這可以用康托對角線法來證明。其實實數集的勢是2ω(見連續統的勢)，也就是自然數集的冪集的勢。因為實數集中只有可數的元素可能是代數數，所以大多數實數都是超越數。在實數集的子集中，不存在其勢嚴格大於自然數集且嚴格小於實數集的集，這就是連續統假說。這個假設不能被證明是正確的，因為它與集合論的公理無關。
所有非負實數的平方根都屬於r，但對於負數來說不成立。這說明R上的階是由其代數結構決定的。而且所有奇數多項式至少有壹個根屬於R，這兩個性質使得R成為實閉域最重要的例子。證明這個是證明代數基本定理的前半部分。
實數集有壹個規範測度，即勒貝格測度。
實數集的上確界公理適用於實數集的子集，是二階邏輯的陳述。僅僅用壹階邏輯是無法描述實數集的:1。l？文海-斯科勒姆定理表明實數集存在壹個可數稠密子集，在壹階邏輯中滿足與實數集本身完全相同的命題；2.超實數集遠大於R，但也滿足與R相同的壹階邏輯命題..滿足與R相同的壹階邏輯命題的有序域稱為R的非標準模型，這是非標準分析的研究內容。用非標準模型(可能比R中簡單)證明壹階邏輯命題，從而保證這些命題在R中也成立..
拓撲性質
實數的集合構成了壹個度量空間:x和y之間的距離被設置為絕對值|x-y|。作為壹個全序集，它也有壹個有序拓撲。這裏，從度量和順序關系獲得的拓撲是相同的。實數集也是可縮空間(所以也是連通空間)，局部緊空間，可分空間，1維的貝利空間。但是實數集不是緊空間。這些可以通過具體的性質來確定，例如，無限連續的可分序拓撲必須與實數集同胚。以下是實數拓撲性質的概述:
設a是壹個實數。的鄰域是實數集的子集，它包含壹個含有a的線段。
r是可分空間。
q在r中處處稠密。
R的開集是開區間的並集。
r的緊子集是有界閉集。特別地，所有帶端點的有限線段都是緊子集。
R中的每個有界序列都有壹個收斂子序列。
r是連通的和單連通的。
R中的連通子集是線段、射線和R本身。由這壹性質，可以很快導出介值定理。
延伸和概括
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實數集可以以幾種不同的方式進行擴展和推廣:
也許最自然的擴展是復數。復數集包含所有多項式的根。然而，復雜集不是有序域。
實數集擴充的有序域是壹組超實數，包括無窮小和無窮小。這不是阿基米德的領域。
有時，形式元素+∞和-∞被加到實數集上，形成壹個擴展的實數軸。它是緊空間，不是定義域，但保留了實數的很多性質。
希爾伯特空間中的自伴算子在許多方面推廣了實數集:它們可以是有序的(雖然不壹定是完全有序的)和完備的；它們所有的特征值都是實數；它們形成了實結合代數。
3。小學的時候做過，老師讓我算出來，然後和大小對比。現在還不清楚。。對不起，我真的解不出這道題。
它們是高於還是低於警戒水位？距離警戒水位有多遠？
(2)與上周末相比，本周末河流水位上漲還是下降？
我覺得這兩個問題是同壹個問題。。
4。分別給10個箱子編號，然後從第壹個箱子取出1袋，第二個箱子取出2袋，第三個箱子取出3袋，以此類推，直到10箱子取出6544。如果重量小於10g，則為第壹箱，20g為第二箱，以此類推。
看在我給妳留了這麽多的份上，為什麽非要給我壹個最好的答案？