幾何和算術壹樣，來源於實踐。也可以說，幾何學的歷史類似於算術。在古代，人們在實踐中積累了大量的平面、直線、正方形、圓形、長、短、段、窄、厚、薄等概念，並逐漸認識到這些概念之間的關系、位置關系和數量關系，這些概念後來成為幾何學的基本概念。
原來的幾何概念逐漸形成比較淺薄的幾何知識，是生產實踐的需要。雖然這些知識是分散的，而且大多是經驗性的，但幾何學是建立在這些分散的、經驗性的、表面的幾何知識之上的。
幾何是數學最古老的分支之壹，也是該領域最基本的分支之壹。中國古代、古巴比倫、古埃及、古印度、古希臘都是幾何學的重要發源地。
大量出土文物證明，在中國史前時期，人們已經掌握了大量的幾何學基礎知識。壹看古代人們使用的物品上繪制的許多精美對稱的圖案，以及壹些設計簡單但講究體積和體積比例的器皿，就足以說明當時人們掌握了多麽豐富的幾何知識。
希臘學者的工作在使幾何學成為壹門系統的學科中起到了關鍵的作用。兩千多年前，古希臘商業繁榮，生產相對發達。壹群學者渴望追求科學知識，而對幾何的研究是最有趣的內容。這裏要提到的是哲學家柏拉圖和哲學家亞裏士多德對幾何學發展的貢獻。
柏拉圖將邏輯學的思維方法引入幾何，使原有的幾何知識在邏輯學的指導下逐漸向系統、嚴謹的方向發展。柏拉圖在雅典教他的學生幾何，並用邏輯推理論證了幾何中的壹些命題。亞裏士多德被公認為邏輯學的創始人，他的三段論演繹推理方法對幾何學的發展影響很大。直到今天，在初等幾何中，三段論仍然被用於推理。
然而，盡管當時幾何知識豐富，但這些知識仍然是分散的、孤立的、不系統的。真正把幾何歸納為壹門理論嚴密的學科的是傑出的希臘數學家歐幾裏得。
歐幾裏德在公元前300年左右去亞歷山大教書。他是壹位受人尊敬、溫和而誠實的教育家。他熱愛數學，知道柏拉圖的壹些幾何原理。他非常詳細地收集了當時所能知道的所有幾何事實，並按照柏拉圖和亞裏士多德提出的邏輯推理的方法，編成了壹套體系嚴密的理論，寫出了數學史上早期的巨著——《幾何原本》。
《幾何原本》的重大歷史意義在於，它是最早用公理化方法建立演繹數學體系的模型。在這本書裏，所有的幾何知識都是從最初的除法假設和邏輯推理發展和描述的。也就是說，幾何自《幾何原本》出版以來，才真正成為壹門具有相對嚴密的理論體系和科學方法的學科。
歐幾裏得的《幾何原本》
歐幾裏得的《幾何原本》有十三卷，其中第壹卷講三角形全等的條件，三角形的邊和角的關系，平行線的理論，三角形和多邊形的等積(等面積)的條件；第二冊講的是如何把三角形變成乘積相等的正方形；第三卷講圈子；第四卷討論內接和外切多邊形；第六冊講相似多邊形理論；第五、七、八、九、十卷描述比例和算術增益的理論；最後描述了立體幾何的內容。
從這些內容可以看出，中學課程中初等幾何的主要內容已經完全包含在幾何元素中了。因此，長期以來，人們認為《幾何原本》是兩千多年來傳播幾何知識的標準教材。屬於幾何學要素的幾何稱為歐幾裏德幾何，或簡稱歐幾裏德幾何。
《幾何原本》最重要的特點是建立了嚴格的幾何體系，其中主要有定義、公理、公設和命題(包括畫法和定理)四個內容。《幾何原本》第壹冊有23個定義，5個公理，5個公設。(最後壹個公設就是著名的平行公設，或者說第五公設。引發了兩千多年來幾何史上最著名的平行線理論大討論，最終誕生了非歐幾何。)
這些定義、公理和公設是整本書《幾何原本》的基礎。基於這些定義，公理和假設，整本書邏輯地發展其各個部分。比如後面出現的每壹個定理，都說明了什麽是已知，什麽是驗證。我們要根據前面的定義、公理、定理進行邏輯推理，並給出仔細的證明。
關於幾何論證的方法，歐幾裏得提出了分析、綜合和歸謬法。所謂分析方法，就是假設所要求的已經得到，分析此時成立的條件，從而實現證明的步驟；綜合法是從以前已經證明的事實出發，逐步推導出要證明的事項；反證法是在保留命題的假設下否定結論，從結論的反面出發，從中推導出與已證明的事實或已知條件相矛盾的結果，從而證實原命題的結論是正確的，也稱反證法。
歐幾裏得《幾何原本》的誕生在幾何學發展史上具有重要意義。標誌著幾何學已經成為壹門具有相對嚴密的理論體系和科學方法的學科。
自歐幾裏得發表《幾何原本》以來，已經有兩千多年了。盡管科學技術飛速發展，歐幾裏得幾何仍然是中學生學習數學基礎知識的好教材。
由於歐幾裏得幾何具有直觀鮮明、邏輯演繹方法嚴密的特點，成為青少年在長期實踐中培養和提高邏輯思維能力的良好教材。不知道歷史上有多少科學家受益於研究幾何，做出了巨大貢獻。
十幾歲時，牛頓在劍橋大學附近的壹家夜總會買了壹本《幾何》。起初，他認為書的內容並沒有超出常識的範圍，所以並沒有認真讀，而是對笛卡爾的《坐標幾何》很感興趣，專心致誌地讀了起來。後來牛頓在4月參加獎學金考試時落選，1664。當時的考官巴羅博士對他說:“因為妳的幾何基礎知識太差了，再怎麽努力也不行。”這次談話給了牛頓很大的震動。然後，牛頓從頭到尾學習了《幾何原本》，為以後的科學工作打下了堅實的數學基礎。
愛因斯坦這位現代物理學的科學巨星，也是壹位精通幾何並運用幾何思維方法創造自己研究工作的科學家。愛因斯坦在回憶自己走過的路時，特別提到十二歲時，“幾何的清晰和可靠給我留下了難以形容的印象。”後來，幾何學的思維方法真正啟發了他的研究工作。他多次提出，在物理研究中，也要從所謂公理的幾個基本假設出發，進行邏輯上的論證。在狹義相對論中，愛因斯坦用這種思維方式將整個理論建立在兩個公理上:相對性原理和光速不變原理。
在幾何學發展史上，歐幾裏得的《幾何原本》發揮了重要的歷史作用。這個作用歸結到壹點，就是提出了幾何學的“基礎”及其邏輯結構。在他的《幾何原本》中，他用邏輯的鏈來展開所有的幾何，這是前所未有的。
但是，在人類認識的長河中，再高明的前輩和名家，也不可能解決所有的問題。由於歷史條件的限制，歐幾裏得在《幾何原本》中提出的幾何學的“基礎”問題並沒有得到徹底解決，他的理論體系並不完善。比如直線的定義，其實就是壹個未知的定義去解釋另壹個未知的定義，這樣的定義在邏輯推理中起不到任何作用。再比如，歐幾裏得在邏輯推理中使用了“連續性”的概念，但在《幾何原本》中從未提及。
現代幾何的公理系統
《幾何原本》中邏輯結果的壹些漏洞和瑕疵的發現，是推動幾何學不斷發展的契機。最後，德國數學家希爾伯特在1899年出版的《幾何基礎》壹書中，在總結前人工作的基礎上，提出了壹個比較完善的幾何公理體系。這個公理系統叫做希爾伯特公理。
希爾伯特不僅提出了完善的幾何體系，而且提出了建立公理體系的原則。即在壹個幾何公理系統中，應該采用哪些公理，包含多少公理，要從以下三個方面考慮:
壹、* * *(和諧)的存在是指在壹個公理系統中，所有的公理應該是不矛盾的，它們是和諧的，存在於同壹個系統中。
第二，獨立性，公理系統中的每壹個公理都應該是獨立的，相互獨立的，沒有壹個公理可以從其他公理推導出來。
第三，完備性，公理系統中包含的公理應該足以證明本學科的任何新命題。
這種用公理系統來定義幾何中基本對象及其關系的研究方法，就成了數學中所謂的“公理化方法”，歐幾裏得在《幾何原本》中提出的系統就叫經典公理化方法。
公理化方法給幾何研究帶來了新的視角。在公理化理論中，因為沒有定義基本對象，所以不需要探究對象的直觀形象是什麽，只需要研究抽象對象之間的關系和性質。從公理化規律的角度來看，我們可以任意用點、線、面來表示具體的事物，只要這些具體的事物滿足公理中的組合關系、序列關系、契約關系，使這些關系滿足公理系統中規定的要求，就構成了幾何。
所以，壹切符合公理體系的元素都可以形成幾何，每種幾何的直觀形象不只有壹個，可能有無窮多個。我們把每壹個直觀的圖像稱為幾何的解釋，或者幾何模型。熟悉的幾何圖形在學習幾何時並不是必須的，它只是壹個直觀的形象。
在這方面，幾何學研究的對象更加廣泛，幾何學的意義也比歐幾裏德的時代更加抽象。這些都給現代幾何學的發展帶來了深遠的影響。