從凱撒大帝時代到70年代，密碼學的發展非常緩慢，因為設計者基本都是靠經驗。沒有應用數學原理。今天的密碼學是以數學為基礎的。
20世紀70年代產生的壹種加密算法。它的加密方法比較特殊，需要兩個密鑰:publickey和privatekey。公鑰加密，私鑰解密；私鑰加密，公鑰解密。這個加密算法就是偉大的RSA。
要實現加密和解密，要用壹種易加密難破解的數學運算。此時使用Mod操作(時鐘算法)。
如果以質數為模數(17)，找壹個比這個模數小3的數，那麽有如下算法:
3的x次方範數是17，結果總是在1和16之間，其中3是17的原根。很難推導出原始值，因為它需要壹個實驗，並且不唯壹知道結果。當這裏的模量變大時，很難逆轉裂縫。這就是離散對數問題。
任何給定的正整數n，in
計算這個值的方式叫做歐拉函數，用φ(n)表示。
根據以上兩點，如果n是兩個素數P1和P2的乘積，那麽:
φ(N)=φ(p 1)*φ(P2)=(p 1-1)*(P2-1)
如果兩個正整數m和n互質，那麽m的φ(n)次方減1可以被n整除..
歐拉定理的特例:如果兩個正整數M和N互質，N是質數！那麽φ(n)的結果就是n-1。
歐拉定律m φ(n)% n ≡ 1 (m和n互質)
由於1 k% n ≡ 1，我們可以得到:
因為1*m ≡ m，我們可以得到:
驗證:
註意:在轉換過程中，m必須小於n才有效。大於這個數相當於多跑了壹圈。
如果兩個正整數e和x互質，那麽必須找到整數d，這樣ed-1才能被x整除。
那麽:d是e到x的模逆元。
可以得到下面的公式:
假設商是k，可以得到下面的公式:
當φ(n)為x時，則:
驗證:m: 4，n: 15，φ(n): 8。
假設e: 3，d？
3d -1 = 8k表示d = (8k+1)/3 k = 4表示D = 11，k=7表示d = 19。
整個推導過程如下:
解決密鑰傳輸的保密性問題
原則:
M e*d% n ≡ m被Diffie Herman密鑰交換拆分。
Total * * *生成6個數:p1，p2，n，φ(n)，e，d。
確認
M :3、12，N: 3 * 5 = 15，φ(n):8，
假設E: 3，D: 11，通過模逆元的計算可以得到19。
除了公鑰用n和e，其他四個數都不是公開的。
目前破解RSA得到D的途徑如下:
1，求私鑰d .因為e*d = φ(n)*k+1。知道e和φ(n)；
2，e已知，但要得到φ(n)，必須知道p1和p2。
3.因為n = p1*p2。只有分解n因子才能算出來。
這時候就很難破解了。
因為RSA的m小於n，所以每次加密的數據都很小，需要分段加密，效率很低。用於加密大數據對稱加密的密鑰。
由於Mac系統內置了OpenSSL(開源加密庫)，我們可以直接在終端上使用命令進行RSA操作。OpenSSL中RSA算法常用的主要指令有三條:
生成密鑰長度為1024bit的RSA私鑰。
e:65337(公共指數)
用公鑰加密數據，用私鑰解密數據。
加密:
解密:
完整命令:
Enc.txt文件128字節，dec.txt文件20字節。
用公鑰加密數據，用私鑰解密數據。
這時候就變成了簽名和驗證。
簽名:
驗證:
整個文件目錄如下: