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悖論主要包括邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統計悖論和時間悖論。
羅素悖論以其簡單明了震驚了整個數學領域，導致了第三次數學危機。然而，羅素悖論並不是第壹個悖論。不用說，在羅素之前不久，康托爾和布拉裏四十就已經發現了集合論中的矛盾。羅素悖論發表後，出現了壹系列邏輯悖論。這些悖論讓我想起了古代的騙子悖論。即“我在撒謊”“這句話是騙人的”。這些悖論的結合造成了很大的問題，促使大家關心如何解決這些悖論。
第壹個發表的悖論是布拉裏四十悖論，它是指序數按照其自然順序形成壹個有序集合。這個良序集根據定義也有壹個序數ω，根據定義應該屬於這個良序集。但根據序數的定義，序數序列中任意壹段的序數大於該段內任意壹個序數，那麽ω應該大於任意壹個序數，所以不屬於ω。這是布拉裏·福蒂在1997年3月28日巴洛莫數學會議上宣讀的壹篇文章中提出的。這是第壹個發表的現代悖論，引起了數學界的興趣，並導致了此後多年的熱烈討論。討論悖論的文章有幾十篇，極大地促進了對集合論基礎的重新審視。
Blary Foday本人認為這個矛盾證明了這個序數的自然序只是壹個偏序，與康托爾幾個月前證明的結果序數集相矛盾。後來Blary Foday也沒有做這方面的工作。
羅素在他的《數學原理》中認為，雖然序數集合是全序的，但它不是良序的，但這種說法是不可靠的，因為任何給定序數的首段都是良序的。法國邏輯學家Jourdain找到了出路。他區分了相容集和不相容集。這種區分實際上已經被康托爾私下使用了很多年。不久之後，羅素在1905的壹篇文章中質疑了序數集合的存在性，澤梅洛也有同樣的想法，後來在這個領域也有很多人持同樣的想法。
經典數學的悖論
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古今中外有許多著名的悖論，它們沖擊了邏輯和數學的基礎，激發了人們的求知和精確思維，引起了古往今來許多思想家和愛好者的關註。解決悖論問題需要創造性思維，而悖論的解決往往能給人帶來新的思路。
本文將悖論大致分為六種類型，分為上、中、下三個部分。這是第壹部分:自我指涉概念引起的悖論和引入無窮帶來的悖論
(壹)自我參照引起的悖論
下面的例子中有壹個概念自指或自相關的問題:如果我們從壹個正命題出發，就會得到它的負命題；如果我們從否定命題開始，我們將得到它的肯定命題。
1-1騙子悖論
公元前6世紀，哲學家埃庇米尼得斯，壹個克裏提人，說:“所有的克裏提人都在撒謊，其中壹個詩人也這麽說。”這就是這個著名悖論的由來。
《聖經》中曾提到:“樸容洙族人中的壹位當地先知說，‘凱爾特人經常說謊，但他們是邪惡的野獸，貪婪而懶惰’”(提多書1)。可見這個悖論是有名的，但保羅對它的邏輯解並不感興趣。
人們會問:Epiminides在說謊嗎？這個悖論最簡單的形式是:
1-2“我在撒謊”
如果他在說謊，那麽“我在說謊”就是謊言，所以他說的是實話；但如果這是真的，他又在撒謊了。矛盾在所難免。它的副本:
1-3“這句話不對”
這種悖論的壹個標準形式是:如果事件A發生，則推導出非A，如果非A發生，則推導出A，這是壹個自相矛盾的無限邏輯循環。拓撲學中的片面體是形象的表達。
哲學家羅素曾經認真思考過這個悖論，並試圖找到解決辦法。他在《我的哲學的發展》第七章“數學原理”中說:“自亞裏士多德以來，任何學派的邏輯學家似乎都能從他們公認的前提中推導出壹些矛盾。這說明有問題，但不能指出改正的方法。1903年春天，壹個矛盾的發現打斷了我正在享受的邏輯蜜月。”
他說:騙子悖論簡單地概括了他發現的矛盾:“騙子說，‘我說的都是假的’。其實這是他說的，但這句話指的是他說的全部。只有把這句話包含在那個人群裏，才會產生壹個悖論。”(同上)
羅素試圖通過分層命題來解決:“壹級命題可以說是那些不涉及整體命題的命題；二級命題是那些涉及壹級命題整體的命題；其余如是，甚至無窮。”但是這種方法並沒有取得效果。“在整個1903年和1904年期間，我幾乎完全致力於這件事，但我完全沒有成功。”(同上)
數學原理試圖在純邏輯的前提下推導出整個純數學，用邏輯術語解釋概念，避免自然語言的歧義。但在這本書的序言中，他稱之為“出版壹本包含如此多未解決爭議的書。”可見，要從數學基礎的邏輯上徹底解決這個悖論並不容易。
接著他指出，在所有的邏輯悖論中，都有壹種“反身的自我指涉”，即“它包含著關於那個整體的東西，而這種東西是整體的壹部分。”這個觀點很好理解。如果這個悖論是樸正洙認為的人說的，那就自動消除了。但在集合論中，問題就沒這麽簡單了。
1-4巴伯悖論
在薩維爾村，理發師掛了壹塊牌子:“我只給村裏那些不自己理發的人理發。”有人問他:“妳給自己理發嗎？”理發師頓時啞口無言。
這是壹個悖論:理發師不理發，就屬於招牌上的那種人。按照承諾，他應該給自己理發。另壹方面，如果理發師自己剪頭發，按照牌子，他只剪村裏不自己剪頭發的人的頭發，他自己剪不了。
所以無論理發師怎麽回答，都不能排除內在矛盾。這個悖論是羅素在1902年提出的，所以也被稱為“羅素悖論”。這是集合論悖論的壹個通俗而有故事的表達。顯然，還有壹個無法回避的“自我參照”問題。
集合論的1-5悖論
" R是所有不包含自身的集合的集合."
人們還會問:“R包含R本身嗎？”如果不是，根據R的定義，R應該屬於R，如果R包含自身，則R不屬於R。
在羅素的集合論悖論發現數學基礎有問題後，庫爾特·哥德爾(捷克人，1906-1978)於1931年提出了壹個“不完全定理”，打破了19世紀末數學家“所有數學系統都可以從邏輯推導出來”的理想。這個定理指出，任何壹個公設系統都是不完整的，必然存在既不能肯定又不能否定的命題。比如對歐幾裏得幾何中“平行線公理”的否定，產生了幾個非歐幾裏得幾何；羅素悖論也說明集合論的公理體系是不完整的。
1-6書目悖論
壹個圖書館編了壹本書名詞典，裏面列出了圖書館裏所有沒有列出自己書名的書。那麽它會列出自己的標題嗎？
這個悖論與巴伯悖論基本壹致。
1-7蘇格拉底悖論
蘇格拉底(公元前470-399)，雅典人，有“西方孔子”之稱，是古希臘偉大的哲學家，曾與著名的詭辯家普魯特·戈拉斯、戈吉斯等人對立。他建立了壹個“定義”來對付詭辯家令人困惑的修辭，從而找出了數百種雜七雜八的理論。但他的道德觀念並沒有被希臘人接受，在他七十歲的時候被視為詭辯派的代表。在驅逐普魯特·戈拉斯和焚燒書籍十二年後，蘇格拉底也被判死刑，但他的理論被柏拉圖和亞裏士多德繼承。
蘇格拉底有壹句名言:“我只知道壹件事，那就是壹無所知。”
這是壹個悖論，我們不能從這句話推斷蘇格拉底是否不知道這件事本身。中國古代也有類似的例子:
1-7“言語充滿矛盾”
這是莊子在《莊子·萬物論》裏說的。後期墨家反唇相譏:如果“萬物反真理”，莊子的說法豈不是反真理？我們常說:
1-7“世界上沒有絕對的真理”
我們不知道這句話本身是不是“絕對真理”。
1-8“荒謬的真相”
有些字典把悖論定義為“荒謬的真理”，這種矛盾修飾本身也是壹種“壓縮的悖論”。Paradox來源於希臘語“para+dokein”，意思是“多思考”。
這些例子都說明，邏輯上，他們無法擺脫自我指涉概念帶來的惡性循環。有沒有更進壹步的解決方法？我們將在下壹節的最後壹部分繼續討論。