比如y = x 2+2x+1，y是x和實數的壹次冪，壹次乘法，二次加法得到的。
再比如Y = (x+3)/(x-2) 0.5，通過四則運算得到:壹則加法，壹則減法，壹則開方，壹則除法。
以上都是在有限次內得到的，所以稱為代數函數。
但所謂“不可表示”的函數，就是不能通過有限的計算得到。這種函數稱為超越函數。
比如後面要學的公式中，有這樣壹個公式:
e^x=1+x+x^2/2+x^3/3！+x^4/4！+……
即e的x次方(指數函數)可以表示為壹些項的和，其中第n項的表達式是x除以n的階乘。
但這個表達式是無限的，也就是有限的加減乘除是做不完的。
同樣，對數函數、三角函數、反三角函數的表達式也不能用有限的加、減、乘、除、乘來表示，也是超越函數。
超越函數有壹個很麻煩的缺點，就是遇到超越函數的方程，很多情況下是無法求解的。比如sinx=x，或者e x = sinx，連壹個簡單的表達式都解不出來。但是，只包含代數函數的表達式可以轉化為多項式方程來求解。
超越函數的名字來源於超越數，比如圓周率，自然對數的底e。雖然可以用代數數來逼近(代數數是整系數代數方程組的解，簡而言之就是用整數在有限次內進行加減乘除開方得到的數)(祖沖之對圓周率的計算就是壹個例子)，但是只有無限逼近才能得到精確的值——這是有限次無法表示的，這就是所謂的超越數。
超越函數的名字簡單套用。