數學史是學習和理解數學的工具。人們要想了解數學概念、思想和方法的發展過程，樹立數學的整體意識，就必須以數學史為指導。概率論和數理統計也有自己不斷發展完善的歷史。目前，我國正在推進基礎教育改革，非常重視數學史和數學文化的教育。在中學概率統計教學中應用數學史，有助於學生理解數學知識與不確定數學特有的思維方法之間的關系，從而提高能力。
1解讀史實，促進學生對概率定義的理解。
概率的經典定義是拉普拉斯在1812中給出的，其討論對象只限於隨機實驗中所有可能結果都是有限且相等的情況。在教學中，可以結合“賭博分配”問題，體驗古典概率的模型特征，加深對定義的理解。舉壹個這個問題的簡單案例:A和B賭博，各押30元和60元。都是12。大家壹致認為，誰先贏三局，誰就贏所有的賭註。現在，60元已經賭了三局，A 2贏了1，但他不知什麽原因不賭了。這60塊錢的賭註應該怎麽分給兩個人才公平。他壹看就覺得應該按照2: 1分配，即A得40元，B得20元。有些人提出了壹些其他的解決方案。正確的劃分要考慮到A和B在這個基礎上繼續賭下去最後贏的幾率。其實最多再打兩局就能決定勝負，而這兩局有A、B、B、B四種可能的結果，前三種情況是最後A贏，只有最後壹種是B贏，比例為3∶1，所以投註的公平分配應該是3。
概率的經典定義具有可計算性的優勢，但也有明顯的局限性。它需要有限的樣本點。如果樣本空間中有無限個樣本點，則概率的經典定義不適用。當有限樣本點擴展到無限樣本點時，引入了幾何概率。這樣就形成了確定概率的幾何方法。學習概率的幾何定義最典型的例子是“相遇問題”和歷史上著名的“布豐扔針實驗”:在平面上畫壹些平行線，它們之間的距離等於A，將壹根長度為L(L小於A)的針任意扔進這個平面。試求這根針與任何平行線相交的概率。這個幾何概率問題可以通過積分運算解決。因為“布豐拋針實驗”的理論概率中含有常數π，所以我們可以在教學中設計L和A，通過統計實驗估計概率P，然後用上面給出的概率模型公式求圓周率。這樣就把概率的幾何定義和概率的統計定義的學習有機地聯系起來，同時讓學生體驗到求π的方法的多樣性和數學知識之間的關系。
概率的經典定義和幾何定義都要求隨機實驗中基本事件的概率相等，但發現在相同條件下壹個事件的次數n與實驗總數的比值在實驗次數n較大時會穩定在壹個常數附近。n越大，這個比值“遠離”這個常數的可能性就越小。這個常數叫做這個事件的概率。這個定義與統計學密切相關，是建立在頻率的穩定性基礎上的，所以叫做概率的頻率定義。這種概率討論的對象不再局限於所有可能結果相等的隨機實驗，因此更具有壹般性。在學生手擲硬幣統計實驗的基礎上，參考歷史上著名科學家多次投擲硬幣的結果，可以進壹步感受到頻率概率大規模實驗的要求，以及概率統計的隨機性和統計規律性。
從下表很容易看出，投擲次數少的時候頻率波動很大，投擲次數多了就穩定了，也就是正面臉的頻率在0.5左右擺動，逐漸穩定在0.5。概率的這三個定義屬於描述性定義，敘述中使用了“可能性”壹詞，概率也只是關於“可能性”的概念，所以這些定義在理論上並不嚴格。由於缺乏嚴格的理論基礎，人們往往會找到壹些漏洞來鉆，最典型的就是法國數學家伯特倫在1889中提出的概率悖論:圓內任意壹根弦的長度超過圓內接的等邊三角形的邊長A的概率是多少？作者給出了三種不同的答案:
第壹種解法是當弦中點H均勻分布在直徑PQ上時，P=12(圖1)；
圖1圖2和圖3的第二種解法是，當弦中點H均勻分布在小圓周上時，P=13(圖2)；
第三種解法假設弦的中點H均勻分布在壹個小圓內，P=14(圖3)。造成這種悖論的根本原因是三種解的等電位假設不同，對應的樣本空間也不同。它們是三個不同的隨機實驗。因此，在樣本點無限的情況下，樣本空間和樣本點必須具體定義，概率的公理化定義應運而生。教學
近年來，隨著數學的發展，人們越來越重視主觀概率。概率的主觀定義也叫直覺定義。“它是指認知主體根據自己所掌握的知識、信息和證據，對某種情境的可能性所作出的定量判斷”(陳喜儒，2000，6)。英國學者貝葉斯提出的“貝葉斯公式”被認為是第壹個使用主觀概率的公式。問題是，在實踐中，因為考慮中的過程沒有進行，所以往往無法得到很多事情的概率。但事實上，如果人們根據以往的經驗數據甚至主觀或客觀的要求，對獲得的數據進行分析，估計出壹個最優值作為研究人群的假設概率，最後在獲得新信息的基礎上對假設概率進行修正，這是無可非議的。在現代日益復雜的經濟活動中，當壹些決策無法用理論概率或經驗概率來判斷時，將主觀概率應用於投資等經濟決策問題是可行的。在教學中適當引入主觀概率，可以豐富學生對概率的理解。
2 .分析歷史情境，培養學生正確的概率直覺
英國學者威爾斯說:“統計思維方法和讀寫能力壹樣，總有壹天會成為高效公民的必備能力。”但概率統計不同於研究幾何、代數等確定性現象的數學分支，在理論和方法上有自己獨特的風格。在概率統計的學習中，學生會遇到很多隨機的數學理論。因為各種隨機現象不能用“因果關系”來嚴格控制和準確預測，也不能用壹些簡單的規律來概括，而是要從大量的觀察中綜合分析，找出規律性，所以要培養學生正確的概率統計思維方法。
在教學中，我們經常發現很多學生往往局限於確定性數學的思維方式，無法建立正確的概率直覺，在概率學習和解題中存在大量的誤區。事實上，對於教師來說，保持概率統計課程的邏輯嚴密性，註重學生概率直覺能力的培養，是必須處理好的重要問題。讓學生盡快體驗概率與實際事物的緊密聯系。對現實事物中隨機性的敏銳感覺是建立正確概率直覺的必要條件。比如在學習“生日問題”時，老師可以先介紹以下歷史信息:美國歷史上迄今為止共有42位總統，其中11的波爾克，29號的哈丁，生日都是11，亞當斯和亞當斯。
“生日問題”可能非常令人困惑:50個人中有兩個人生日相同，妳可能認為這只是巧合。事實上，幾乎可以肯定至少有兩個人在同壹天過生日。我們可以用概率的方法來計算。為簡單起見，我們不記閏年，壹年算365天。所以這個問題的理論概率是1-A50-A50？365?36550?≈ 0.97.這種情況發生的概率並不像大多數人直覺認為的那麽小，而是相當大。這個例子告訴我們，通常的“直覺”並不十分可靠，有力地說明了研究隨機現象統計規律的重要性。這個例子中的錯誤直覺源於人們潛意識中的直覺，認為50個人中有兩個人生日相同，50個人中有壹部分人生日相同，而後壹種情況的理論概率只有65438。≈ 0.13.所以“50個人中有兩個生日相同”的概率並不是很大的錯覺。在教學中，學生可以通過統計調查或隨機模擬實驗，經歷對隨機事件概率的估計和驗證過程，逐步建立正確的概率直覺。
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3 .挖掘史料，讓學生體驗概率統計的思維方法
概率統計是中學數學新課程的重要組成部分。它研究隨機現象的統計規律性，有獨特的概念、方法和理論。在教學中，要更加註重實驗和統計的過程，結合歷史實例，盡早培養學生的隨機思維和統計概念。
3.1雜念
隨機思想的核心是認識隱藏在隨機現象背後的統計規律性，強調隨機現象個體觀察的隨機性與大量觀察的統計規律性之間的關系。偶然性背後總是隱藏著必然性，大量的隨機現象反映了事物發展中的必然性。正是通過對這種偶然性的研究，隨機思想找到了其背後的必然性，即統計規律性，並通過這種必然性認識和把握隨機現象。
隨機實驗是隨機思維中的壹種重要方法。為了研究隨機現象的統計規律，歷史上進行過著名的隨機實驗，如布豐和皮爾遜的擲硬幣實驗，高爾頓設計的高爾頓板測試模型等。比如我們投很多硬幣，面朝上的頻率非常接近壹半，也就是理論上面朝上的概率是12。我們稱這種現象為個別結果不確定，但重復多次後，結果有規律。“隨機”不是“偶然”的同義詞，而是描述壹種不同於確定性的順序，而概率統計是描述隨機性和統計規律性的數學。
理解隨機思想的關鍵是要明白壹個事件的檢驗頻率與理論概率有偏差，偏差的存在是正常的。雖然重復測試的頻率逐漸穩定到其理論概率，但不排除無論做多少次測試，測試概率仍然是理論概率的壹個近似值，不能等於理論概率。比如，理論上“隨機扔硬幣，正面朝上落地”事件的概率是12。但是，100次測試，並不能保證50次對上，50次對下。只要學生真的做了測試，就壹定會意識到這壹點。其實100拋硬幣測試50次都是對上，50次都是對下的概率只有C50？100?(12)100?≈ ?8%，遠低於投幣硬幣面朝上壹次的概率50%。在教學中要防止學生把概率直觀地理解為“比”，從而對壹個事件的概率有更深刻的理解。
隨機思想還包括統計實驗過程中抽樣的隨機性和模擬實驗或隨機抽樣結果的隨機性。學生只有認識到這壹點，才能真正理解現實世界中廣泛存在的隨機性，並積極應用到生活中。抽樣方法有很多種，但無論采用哪種方法進行抽樣，都要堅持隨機抽樣的原則。這是避免人為影響，保證樣本客觀真實的基本要求。
3.2統計推斷思想
統計學課程的核心目標是引導學生理解統計思維的特點和作用，以及統計思維與確定性思維的區別。例如，在利用樣本估計總體的研究中，學生要認識到樣本提供的信息在壹定程度上反映了總體的相關特征，但通過對具體數據的分析，與總體存在壹定的偏差。另壹方面，如果抽樣方法合理，比如著名數學家拉普拉斯研究了倫敦、彼得堡、柏林和法國的男孩和女孩的出生規律，得到的統計數據顯示，在10年間，男孩的出生頻率在2243左右波動；我國歷次人口普查的總人口性別構成數據與拉普拉斯得到的數據非常接近。
科學家發現，不僅在人類社會生活中，在自然界中，生命的繁衍和進化都服從概率統計規律。早在1843年，捷克修道士孟德爾就通過研究豌豆的遺傳規律，首次向世人揭示了大自然的奧秘。由於豌豆的兩個基因是相互分離的，在進入下壹代雜交細胞時互不幹擾，最後在生物授粉過程中隨機結合。因此，這壹定律也被稱為“分離現象”。後來，孟德爾經過艱苦的探索，發現兩對不同性狀的植物雜交時，不同對的遺傳基因自由組合，機會均等。這就是孟德爾第二定律，又稱“自由組合定律”。孟德爾發現的分離和自由組合規律，本質上是概率統計規律在遺傳過程中的體現。
統計推理的過程不同於數學中的邏輯推理，它是壹種具有概率性的推理方法，其原理是“小概率事件”。小概率事件原理認為，在壹個實驗中，小概率的事件幾乎不會發生。比如假設檢驗問題的求解就是統計推斷的體現。對於壹個假設，給定壹個小概率水平標準，如果對抽樣數據進行整理計算，如果結果使得壹個小概率事件發生(這與小概率事件不同)否則，則認為原假設是可以接受的。這種統計推斷思想的實施，充分說明了數理統計的實用性。在教學中，可以利用藥物療效試驗等例子，重點介紹統計推斷思想。
4 .利用概率模型的歷史實例激發學生的創新意識
隨機數學很大壹部分可以用概率模型來描述，比如有限等概率模型(經典概率模型)、伯努利概率模型、正態分布等。概率模型法的應用，是根據壹個隨機問題的具體特點，模擬並構建壹個現實的原型或抽象模型，以反映問題的內在規律，然後選擇相應的數學方法，對得到的數學模型進行解答。它展示了從實踐到理論再回到實踐的過程。在概率統計的教學中，要重視概率模型的理解和應用，淡化復雜的計算，讓學生體驗從多個例子中總結出具體概率模型的過程，體驗這些例子的異同，培養學生識別模型的能力。美國普渡大學統計學教授大衛·s·摩爾(David S. Moore)曾說:“學習組合學並不能使我們增強對機會概念的理解。開發使用概率建模的能力並不比其他學科好。在大多數情況下，我們應該避免組合問題，除非是最簡單的計數問題。”利用概率模型解決問題是典型的歸納思維方式，離不開人們的觀察、實驗和合理推理。它是數學意識和思維方法的體現，有助於培養學生應用數學理論解決實際問題的能力和創新意識。
數學史在展示隨機數學知識發展過程的同時，數學家在解決實際問題中數學方法的應用和創新思維也常常給後人帶來啟發。比如用概率模型求π就是典型的歷史例子，壹部計算圓周率的歷史被譽為人類的“文明象征”。1872年，英國學者威廉·桑克斯已經把π的值計算到小數點後707位。時隔半個多世紀，數學家法格森對x的計算結果產生了懷疑，法格森的懷疑是基於以下奇特的想法:在π的取值上，沒有對壹兩個數的偏好，也就是說，每個數的概率應該等於110。隨著電子計算機的出現和應用，π的計算取得了迅速的進展。1973年，法國學者讓·蓋。本文對π的第壹個百萬位的每壹位的出現頻率做了壹個有趣的統計，得出結論:雖然每壹位的出現有壹些起伏，但基本上是平分秋色的。看來弗格森的想法應該是正確的，而且在π的數值展開式中，有:p (0) = p (1) = p (2) = … = p (9) =？0.1?但有時，由於概率模型包含不確定的隨機因素，比確定性模型更難分析。在這種情況下，可以考慮蒙特卡羅方法。蒙特卡洛法是計算機模擬的基礎，它的名字來源於世界著名的賭場——摩納哥的蒙特卡洛。它的歷史起源於法國科學家布豐在1777年提出的壹種計算圓周率的方法，即著名的布豐針問題蒙特卡羅方法，屬於實驗數學的壹個分支。其基本思想是先建立壹個概率模型，使問題的解恰好是模型的參數或其他相關的特征量。然後通過模擬統計實驗，即多次隨機抽樣實驗，統計出壹個事件的百分比。只要實驗次數多，百分比就和壹個事件的概率差不多。最後，利用建立的概率模型得到待估計的參數，即問題的解。
參考
1李文林。數學史導論[M]。北京:高等教育出版社，2002。
2張丹。統計與概率[M]。北京:高等教育出版社，2006
3張遠南。概率與方程的故事[M]。北京:中國少年兒童出版社，2005。
註:“本文涉及的圖表、註釋、公式請閱讀PDF格式的原文。”
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