圓周率是壹個非常著名的數字。自從有文字記載以來，這個數字引起了外行人和學者的興趣。圓周率作為壹個非常重要的常數，最初是用來解決圓的計算問題的。基於此，盡可能準確地得到其近似值是壹個極其迫切的問題。事實也是如此。千百年來，作為數學家的目標，古今中外壹代又壹代的數學家為此傾註了智慧和勞動。回顧歷史，人類認識π的過程反映了數學和計算技術發展的壹個側面。對π的研究在壹定程度上反映了這個地區或時代的數學水平。德國數學史家康托爾說:“歷史上壹個國家計算圓周率的精度，可以作為衡量這個國家當時數學發展水平的指標。”直到19世紀初，求圓周率的值應該說是數學的頭號難題。為了得到圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路，其歷史有趣。我們可以把這個計算過程分為幾個階段。
實驗時間
通過實驗估算π的值，這是計算π的第壹步。這種對π值的估計基本上是基於觀察或實驗，是基於對壹個圓的周長和直徑的實際測量。在古代世界中，π = 3這個值實際上使用了很長時間。最早的文字記錄是基督教《聖經》中的壹章，在這壹章中圓周率被認為是3。這段描述的事件發生在公元前950年左右。其他國家，如巴比倫尼亞、印度、中國等。，早就用上了3的粗糙，簡單，實用的價值。在我國劉徽之前，“圓直徑壹和星期三”廣為流傳。中國第壹部著作《周髀算經》記載了圓“周三直徑為壹”的結論。在我國，木匠有兩個傳世的公式:叫做:“三周直徑為壹，正方形為五，斜七”，意思是直徑為1的圓是周長約為3，邊長為5的正方形，對角線長約為7。這反映了早期人們對π和√2這兩個無理數的粗略估計。東漢時期，政府還明確規定圓周率應以3為計算面積的標準。後來人們稱之為“古率”。
早期的人們也使用其他粗糙的方法。比如在古埃及和古希臘，把谷粒放在壹個圓上，通過比較谷粒的數量和正方形的數量得出數值。或者用平衡重量板把它鋸成壹個圓和壹個正方形，通過稱重來比較數值...因此，可以獲得稍微好壹點的pi值。比如古埃及人用4 (8/9)2 = 3.1605，用了大約四千年。在印度，公元前6世紀，π= √10 = 3.162。中國東西漢之交，新朝王莽命劉欣做壹個量器——呂佳兩湖。劉鑫在制造標準容器的過程中需要用到圓周率的值。為此，他還通過做實驗得到了壹些關於圓周率的非均勻近似。現在根據銘文計算出來的數值分別是3.1547，3.1992，3.1498，3.438+0，比古代的壹周三周率有所提高。人類勘探的結果，在主要估算圓田面積時，對生產影響不大，但不適合制作器皿或其他計算。
幾何方法周期
通過直觀推測或物理測量計算π值的實驗方法相當粗糙。
首先，阿基米德使圓周率的計算有了科學依據。他是第壹個對這個常數進行科學研究的人，他首先提出了壹種方法，可以通過數學過程而不是測量的方式，使π的值精確到任意精度。於是，pi計算的第二階段開始了。
圓的周長大於內接正四邊形，小於外切正四邊形，所以2 √ 2 < π < 4。
當然，這是壹個很糟糕的例子。據說阿基米德用壹個正96邊形來計算他的射程。
阿基米德尋找圓周率更精確近似值的方法體現在他的壹篇論文《圓的確定》中。在這本書中，阿基米德第壹次用上下界來確定π的近似值。他用幾何證明了“圓的周長與圓的直徑之比小於3+(1/7)大於3+(10/71)”，他還提供了誤差的估計。重要的是，這種方法理論上可以得到更準確的圓周率值。到公元150年左右，希臘天文學家托勒密已經得出π = 3.1416，這是自阿基米德以來的巨大進步。
包皮環切。不斷用勾股定理計算正N邊形的邊長。
在中國，數學家劉徽首先得到了更精確的圓周率。公元263年左右，劉徽提出了著名的割線術，得到π = 3.14，通常稱為“徽率”。他指出這是壹個近似值。雖然他提出割圓比阿基米德晚，但它的方法確實比阿基米德的方法更美。環切只是利用內接正多邊形來確定圓周率的上下界，比阿基米德同時利用內接正多邊形和外切正多邊形要簡單得多。另外，也有人認為劉輝在割圓術中提供了精彩的整理方法，以至於他通過簡單加權平均得到了pi = 3927/1250 = 3.1416有四位有效數字。而這個結果，正如劉輝自己指出的，如果這個結果是通過圓切割的計算得到的，需要切割成3072個多邊形。這種整理方法的效果非常好。這種神奇的精加工技術是圈切最精彩的部分，可惜因為人們對它缺乏了解，它被埋沒了很久。
祖沖之的貢獻恐怕妳更熟悉。對此，《隋書法紀》的記載是這樣記載的:“宋末，南徐州搞祖沖之更秘法。以圓直徑壹億為高，周向豐數為三尺、壹尺、四寸、壹分、五毫米、九秒、七秒，以及三尺、壹尺、四寸、五毫米、九毫米、兩秒、六秒，正數介於余數和兩個極限之間。密度:圓直徑113，周長355。關於率，圓直徑七，星期二十二。”
該記載指出，祖沖之對《圓周率》有兩大貢獻。壹是求圓周率。
3.1415926 < π < 3.1415927
其次，得到π的兩個近似分數:近似率為22/7；加密率為355/113。
他計算出的π的8位可靠數字，不僅是當時最精確的圓周率，而且保持了900多年的世界紀錄。以至於有數學史家提議把這個結果命名為“祖先率”。
這個結果是怎麽來的？追根溯源，祖沖之能取得這壹非凡的成就，正是基於對劉徽割線技法的繼承和發展。所以，我們在贊美祖沖之成就的時候，不要忘記，他的成就是因為站在了劉徽這位偉大的數學人的肩膀上而取得的。後人估算過，如果簡單的通過計算內接於圓的多邊形的邊長得到這個結果，那麽就需要計算內接於圓的多邊形才能得到這麽精確的值。祖沖之有沒有用其他巧妙的方法來簡化計算？這個不得而知，因為記錄其研究成果的《篆書》早已失傳。這是中國數學發展史上非常令人遺憾的事情。
中國發行的祖沖之紀念郵票
祖沖之的研究成果享譽世界:“發現宮”科學博物館的墻上介紹著祖沖之獲得的圓周率，莫斯科大學禮堂的走廊上鑲嵌著祖沖之的大理石雕像，月球上有以祖沖之命名的環形山...
人們通常不太註意祖沖之關於π的第二個貢獻，即他用兩個簡單的分數，尤其是密度來近似π。然而，其實後者在數學上更重要。
密度和π之間的近似度不錯，但形式簡潔美觀，只用了1，3，5這幾個數字。數學史家梁宗舉教授考證，在所有分母小於16604的分數中，沒有比密度更接近π的分數。在國外，西方人得到這個結果是在祖沖之死後壹千多年。
可見，提出保密率並不容易。人們自然想知道他是怎麽得到這個結果的。他是怎麽把圓周率從壹個用小數表示的近似值變成壹個近似分數的？這個問題壹直為數學史家所關註。因文獻失傳，祖沖之解不詳。後人對此進行了各種各樣的推測。
我們先來看看國外歷史上的作品，希望能提供壹些資料。
1573年，德國人奧托得出了這個結果。他用了阿基米德的結果22/7和托勒密的結果377/120，類似於加法過程的“合成”:(377-22)/(120-7)= 355/113。
1585年，荷蘭人安圖奧尼用阿基米德的方法得到:333/106 < π < 377/120，並把它們作為π的母逼近，分子和分母分別平均，用加法過程得到結果:3 ((15+65438)。
雖然兩人都得到了祖沖之秘息，但使用方法都是耦合，沒什麽道理可言。
在日本國內，17世紀-何的重要著作《圍合的算法》第四卷，創立了化零術，其實質是用加法過程求近似分數。他以3和4為母近似值，連續加六次得到祖沖之的近似率，加壹百壹十二次得到秘密率。學生們改進了這種愚蠢的分步方法，提出了從相鄰的虧和盈的近似值相加的方法(其實就是我們前面說的加法過程)。從3和4開始，第六次加法到近似率，第七次加法是25/8，最接近的22/7加法是47/15，以此類推，只要加23次。
在《中國算術史》(1931)中，錢宗炎先生提出祖沖之采用“日本調整法”或加權加法過程，由何承天首創。他構思了祖沖之秘率的過程:以157/50的徽率和22/7的近似率為母近似，計算出加法權重x=9，所以(157+22×9)/(50+7×9)= 355/1658。錢先生道:“承天之後，用其技造秘率，也有趣。”