動蕩的中小學時代
1929年4月1日，嚴士健出生在湖北省麻城縣黃士崗嚴家畈村．祖父是壹位滿清時期的讀書人，喜歡數學，對“八線備旨”（三角學）等初等數學古籍頗有體會，並搜集了壹本“算術題集”．
1930年，嚴士健隨母親和兩個姐姐遷居武漢，和在做中學教員的父親生活在壹起．他4歲上學，7歲喪母．1937年抗日戰爭爆發，全家返回故裏，讀了兩年私塾．1940年他才進了黃土崗小學念高小．有壹位不願做亡國奴而返鄉的高中學生做了他的老師，在既沒有資料又沒有印刷設備等很艱難的條件下，搜集了各種各樣的算術應用題（包括嚴家祖父留下的“算術題集”）給學生們做，引起學生很大興趣．有些他至今還能朗朗背誦．如：“今有人攜酒遊春，遇霧添酒壹倍，逢花財飲酒三鬥四升．今遇霧逢花各四次，酒盡壺空，問原攜酒幾何？”又如“壹百鏝頭壹百僧”等題．那時他就對數學產生了興趣．
1942年春，嚴士健到遠離家鄉的黃岡縣立初中就讀．該校設在黃岡縣李婆墩鎮附近的壹組祠堂（即某個家族的家廟）裏．四周崇山峻嶺．經費很少，環境艱苦，卻有壹批不願在淪陷區教書而具有相當水平的教師．同學們多數也努力，學習是生動活潑的．
有壹件事使他印象特別深刻．他們當時先學壹學期的實驗幾何（即用壹些直觀解釋、簡單的模型或實驗使學生理解和記憶幾何圖形的壹些性質），然後學習平面幾何．在學習幾何定理的邏輯證明時，學生總是用直觀想象代替邏輯證明．幾何老師汪紹伊先生在期中考試時出了壹道題：“已知等腰三角形兩底角相等，求證等邊三角形三內角相等．”然後離開了教室．學生趁機七嘴八舌討論起來，開始都說不清楚，經過討論基本上弄明白了，最後老師回來又講了壹遍，終於知道了什麽是幾何證明．
高中換了三個地方．1945年秋在黃岡三解元（三裏畈附近）入湖北省立二高，1946年學校遷往湖北浠水縣下巴河，1947年春又轉學到湖北省立武昌高中，直到畢業．課程不銜接，三角學就學了三遍，老師換的也很勤．武昌高中抗戰前是全省最好的學校之壹，抗戰後重新組建．當時教嚴士健三角與代數的陳化貞老師，非常註意數學證明，特別是在代數課中規規矩矩講方程論中定理的證明，糾正了“代數全是演算題，只有幾何才有證明”的錯誤概念．陳老師的熏陶為他終生從事數學專業工作打下了紮實的基礎．
1947年冬至1948年夏高中階段的最後半年裏他患了肺病，耽誤了壹些課程．但武高老師們認為他的學習實際上是最好的之壹，尤其是理科．學校的教務主任將湖北省僅有的兩名保送北平師院（現北京師大的前身）的名額之壹（分給武高壹名）給了他． 1948年秋，嚴士健進入北平師院．不久，解放軍就圍城了．常常聽到槍炮聲．有的人勸當時教他微積分的趙慈庚不要上課了，趙不為所動，在課堂上壹絲不茍地講，學生們認認真真地聽．不僅沒有荒廢學業，而且學會了如何珍惜學習機會．在大學的第壹年，他還結合初等數學復習課，學習Loney的《Coordinate Geometry》，Dredson的《Solid Analytic Geometry》和 A．A．Albert用近代觀點寫的《College Algebra》，初步鍛煉了自學英語專業書籍的能力．
二年級，他們班由石駙馬大街的分部搬到了和平門外的校本部．在那裏，有更廣闊的學術天地．當時系主任傅種孫受教育部的委托，舉辦了壹期中學骨幹教師訓練班，為期壹年．傅對提高學術水平十分重視，幾乎遍請北大、清華、以及來京出差的數學家講演，前後二十多次．嚴士健每次講演都聽．他從張禾瑞題為“幾何作圖不能問題”的講演中悟到了代數可以解決幾何問題；從程民德的講演中知道了實數還需要構造；陳藎民的講演使他了解到還有非歐幾何學；蘇步青講微分幾何，壹開始就用到張量，他雖然沒聽懂，但是知道了向量以外還有張量，而且對微分幾何有用……各種各樣的講演使他開闊了眼界，知道了數學知識像浩瀚的海洋，有無窮無盡的東西要學，激發了他的學習熱情．當華羅庚回國不久，在北大理學院（現高教出版社）作環的半同態演講時，他和幾位青年教師從和平門外步行到沙灘去聽講．
傅種孫解放前不久從英國考察回來，帶回不少新書．當時因為學生少，系資料室向學生開放．嚴士健就常在資料室翻閱．該讀些什麽書，開始不知道，就請教青年教師和高年級同學，袁兆鼎和劉紹學是他的好學長．為了學德文，袁兆鼎介紹他讀朗道（E．Landau）的《分析基礎》．二年級壹個寒假讀完，還做了翻譯．為了打好數學分析的基礎，劉紹學建議他讀哈代（G．H．Hardy）的《Pure Mathematics》．袁兆鼎還告訴他：“王世強說S．Mcshane的‘Integration’不錯”，他也借來讀．還讀了李特伍德（J．E．Little－wood）的《Lectures on Functions of Real Variables》，克諾普（K．Knopp）的《Functions of Complex Variables》，馬克杜菲（C．C．MacDuffee）的《Vector and Matrices》等等．這些書大都沒有讀完，但是鍛煉了他的自學能力，摸索到壹些自學方法．在取得“泛讀收獲不大”的認識以後，他認真讀了蒂奇馬什（E．C．Titchmarsh）的《The Theory of Funtions》中復變函數部分，範德瓦爾登（vander Waerden）的《Modern Alsebra》的大部分，做了筆記和習題．讀不懂的地方就問，遇見誰問誰．像段學復、王湘浩和閔嗣鶴他都問過多次．段學復應聘來講高年級的近世代數，王湘浩給他們講近世代數，閔嗣鶴、徐利治講實變函數論，湯璪真講向量分析，傅種孫講幾何基礎，他都認真地聽．他認為聽各位老師風格各異的講課，從中既可學到新內容，又可學到不同的思維方式．即令聽同壹內容的不同老師講解，也可從不同角度加深對內容的理解．
二年級下學期，嚴士健參加了張遠達組織的環論討論班，讀阿廷（E．Artin）的《Rings with Minimum Conditions》．張讓他報告壹條並不好懂的重要定理．開始他看不懂，反復地咀嚼，終於搞懂了．在討論班上他沒拿稿子，從頭到尾講得很清楚，深得老師和同學們的稱贊．
解放初，政治活動較多，嚴士健都積極參加．他給解放軍戰士講過算術，當過學生會夥食委員，負責給廚工讀報．有時去早了，廚工還沒收拾完，他抓緊時間，拿出專業書來讀．在遊行停下來時，他也拿出書來讀．有人議論他這是落後的表現．黨支部書記表態說：“咱們建設新中國，各方面人才都需要，嚴士健喜歡讀書，將來也有用．”這些話對他抓緊時間學習是很大的鼓勵和支持．
那時，嚴士健除助學金外沒有別的經濟來源，更沒錢買書．系主任傅種孫知道後，幫他找代課、校對書稿的工作，後來即便沒什麽工作了，還從教師們所得稿費中給他壹些零花錢．他把這些錢全部用來購買數學書．他從不添置新衣服，穿的襪子是日本的無跟襪，壹面穿破了再穿另壹面，有人就問他：“妳腳脖子上怎麽有朵花？”1948年間，他曾從基督教青年會領了壹件棉大衣，夏天當雨衣冬天當棉衣，壹直穿到畢業．
回顧大學生活，嚴士健認為，雖然專業知識學得比較雜，缺乏比較系統的指導，但是能夠接觸到眾多的著名學者和較多的專業書，開闊了眼界，提高了興趣；堅持自學，經歷了泛讀到精讀的自學鍛煉，加強了自學的信心和毅力，取得了自學的經驗，提高了自學的能力．他覺得遺憾的是，大學期間學的專業知識太少，部分內容在當時也顯得陳舊．另外，幾乎沒有科學研究的訓練，這不能不說是壹些缺陷．因此他總希望在大學階段，加強對學生的專業培養，這對優秀人才的成長是很重要的．現在他雖年過花甲，仍然擔負專業的基礎課． 1952年嚴士健畢業留校，隨即通過參加俄語突擊學習初步掌握了閱讀俄語專業書籍的能力，並參加了傅種孫組織的部分教師翻譯蘇聯數學教材的工作，先後翻譯了《代數與初等函數》及《初等代數專門教程》的部分章節．1952學年度，他還為關肇直輔導了數學分析，與王世強合作講授了初等代數復習與研究，還在北京師大壹附中講授高中的立體幾何．
1953年春，教育部委托張禾瑞辦了壹個“師專師資訓練班”，由孫永生輔導．將近結束時，孫去留蘇，嚴士健毫不猶豫地接過了輔導工作．緊接著在秋天又招收了第壹期“代數研究班”．嚴士健接著給張輔導，先後輔導過近世代數基礎、環上的線性代數、體論．還輔導了閔嗣鶴在這兩個班上講授的初等數論．張備課非常認真，承上啟下的地方交待得特別清楚，概念講述得十分準確，這些都使他獲益匪淺．第壹期代數研究班的學員中很多人畢業較早，學的內容比較陳舊，要他們壹下子接受近世代數的抽象概念和嚴格訓練並非易事．為了使學員正確理解概念，嚴按照張的要求在習作課上選講題目，嚴格按照定義出發，壹步壹步扣．張還把學員壹個壹個找來試講．在這壹段時間裏，張的言傳身教潛移默化地影響了嚴士健，他並在自己的教學工作中磨煉了自己．
1952年，國家派壹批青年留蘇，傅種孫高瞻遠矚主張能送出去的都去．1952—1955年先後派出六位赴蘇聯留學，這是北京師大數學系發展的第壹個裏程碑，後來事實證明這些人回來在系的發展上起了重要的作用．嚴士健因為家庭出身問題未能留蘇．傅把他介紹給在師大兼數論課的閔嗣鶴，並囑咐道：“妳首先要規規矩矩地向老先生學習，學好後再創造．壹旦閔先生不來兼數論課，妳就接過來．”他不負重望，在給閔當助教的過程中，從治學方法到教學藝術都潛心學習，壹面輔導學生，壹面整理講稿．在此基礎上寫出了數論講義．1954年，閔宣布“嚴士健可以教數論課了”．他不僅接過了閔的課，而且在講義的基礎上，又和閔合作完成了《初等數論》書稿，1957年由人民教育出版社出版，1982年再版．
1953年華羅庚在數學所舉辦“數論導引”討論班，親自講授．系裏同意嚴士健參加，傅還向華打了招呼，希望他多加照顧．參加討論班有不少困難，他有不少教學工作，其他成員都是脫產專門學習的．況且那時交通很不方便，兩小時的討論班路上往返就要6小時．有幾次到了數學所，因科學院的人去參加大會，討論班暫停．華不忍讓他白跑壹趟，就單獨和他談話．教導他：“念書不能貪多，不要和數學所的人比念書的數量，要真正讀懂．”華早已是著名的數學家，但對青年人提出的問題很尊重．華在壹次講課中，嚴士健發現有壹步推導過不去，當場提了出來．華經過思考，認為他說得對，重新準備後講了有關部分．自此對他更加關心．這進壹步促成他勇於提問題的習慣．從老壹輩科學家身上學到了“在科學面前人人平等”的治學態度．在討論班讀《數論導引》中關於整數矩陣的內容時，嚴又提出：用生成元表示壹般正模方陣，除了書中的方式外還有另壹種方式．華很重視這個問題，進壹步提出：既然有兩種方法表示同壹正模方陣，那就產生壹系列的生成元恒等式，這些恒等式是否可約？能否把生成元的不可約恒等式全部找出來，成為模群的定義關系？對於這個問題，嚴士健做了六七個月．除上課外，每天從早8點到晚11點，壹直堅持計算．華在每星期見面時都要問：“進展如何？”有壹次他自認為做出來了，當時華正在開科學規劃會，知道這個消息立即打電話叫他去開會地點．嚴去了以後，非常懊喪地說“發現錯了”．辛辛苦苦六七個月完全白費了，心裏想打退堂鼓．但華卻用鼓勵而熱切的話語安慰他：“不要緊，咱們再想辦法，失敗是成功之母．”嚴士健繼續從矩陣著手想辦法，又壹次認為做出來了．下午就準備在討論班上報告了，中午又發現了錯．這個問題不得不暫時擱置壹下（後來在1959年用矩陣方法證明了模群定義關系的完備性．在1961年龍王廟會上他報告了這個結果，閔先生稱贊“妳這個問題做得幹凈徹底”．可惜在80年代才發現，這壹問題40年代已用不同方法解決）．
但是七八個月的功夫沒有白費，嚴士健已經把矩陣的性質了解得很透徹，運算搞得很熟．當時萬哲先告訴他已解決了主左理想子環上線性群的自同構問題．在這壹信息的啟發下，他進壹步考慮壹般可換環上線性群的自同構問題．壹是用嵌入的辦法把可換環上線性群擴充到商體上的線性群；二是充分運用前壹段熟悉了的生成元的恒等式定出生成元在自同構之下的像的形式，用這兩種辦法，解決了平延生成的特殊線性群的自同構問題．這是壹般環上典型群自同構理論在世界上的第壹個研究成果．它比O’Meara學派的有關結果的發表要早九年，其摘要1957年首先以“可換整環上的線性群”為題發表在《科學記錄》上，1965年《數學學報》以“環上的線性群”為題全文刊登．這個方法後來被美國的J·Pomfert及B．R．McDonald等充分運用並給予高度評價．在他們的論文“Automorphisms of GL(n，R），R a local ring”（TAMSVol．173（1972），379—388）
中說：“整環上壹般線性群的自同構由O’Meara及嚴士健分別進行了研究”，“我們按照嚴的方法確定自同構”．B．R．McDonald在論文“Automorphisms of GL(n，R）”及專著《Geometrlca Algebra over Local Rings》中評論：“從歷史上說，已經發展起來的刻畫典型群自同構的主要途徑或技巧有三：（a）對合法，（b)O’Meara學派或剩余空間方法，（c）矩陣方法或中國學派（即嚴文）……方法（c）是矩陣論的，並不用投影幾何基本定理（乍壹看，似乎對每壹情形都在證明基本定理，然而很難看出證明中實際出現基本定理）．這壹高度計算性論證的有效之處在於直接處理矩陣及其元素，它較易容納標量環的更大機動性，即容許零因子．”此外，蘇聯70年代出版了壹本環上的典型群的論文集，將該文作為中國學派的代表作收錄．
接著，嚴士健用同樣的方法解決了由平延生成的辛群的自同態問題，完成了論文“可換環上的辛群”．“文革”以後，他將這個結果寄給O’Meara．O’Meara看了以後說：“看來環上辛群的自同構還是嚴士健最早做的．”
對於嚴士健以及壹批年輕數學工作者這壹階段的研究工作，1956年8月下旬，《人民日報》、《光明日報》、《中國青年報》在顯著位置作了報道．同時由於教學成績顯著，在這壹年他被評為北京市青年社會主義建設積極分子．
“環上的線性群”這壹工作完成之時，嚴士健已成為華羅庚的研究生，對於學生的這項成果他十分贊賞地說：“這真是平地拔蔥！妳繼續努力，如果沒有更好的工作，這壹篇就夠研究生論文水平．”
1956年華羅庚在制訂第壹次全國科學規劃前後，曾經向嚴說過：在數的幾何、二次型以及多復變模函數三者之間可能有深刻的聯系，是值得認真研究的壹個方向．嚴投考華的研究生，原想跟隨他在這個領域進行工作．後來北師大讓嚴回校而終止了研究生的學習，這對嚴自然是失去了壹次十分寶貴的學習機會．
在1958年全國“大躍進”的形勢下，數學所對數學研究方向問題進行了廣泛的討論．當時，有的提出要以研究國家建設的重大任務中的數學問題來帶動數學學科的發展；有的提出要通過研究尖端技術中的數學問題來發展數學；也有的認為數學的發展主要是創造和積累有效的方法和工具，因此應該對數學的對象不斷地從新的角度提出問題研究或對壹些本質問題進行深入的研究，而且要有壹批人在壹些方向上集中工作，做出系統的成果才有成效．像兩次世界大戰之間波蘭的數學便有這樣的特點等等．當然這些觀點只是嚴士健的理解．總之，討論氣氛十分活躍．這些議論以及中科院數學所的各種學術活動對他也產生了影響，形成了壹些看法．他認為，青年數學工作者必須盡早做壹定科學研究，這樣可以獲得科研能力．但是開始做的壹些結果大多是練習性的．必須有誌於去做那些對數學發展真正有作用的問題，提出壹些新觀念和方法．另外，他感到要使中國數學在世界上有影響，必須要形成壹些有世界水平的學術集體，並且要有系統的研究成果．為了達到這些目的，學習國內先進數學集體的經驗，堅持不斷地舉辦討論班是壹個適合國情的重要措施．這些看法深刻影響了他以後的學術活動．