本文為“第三屆數學文化征文比賽
萊布尼茨、二進制和伏羲卦圖
： 江輝 馬宏雲作品編號：001投稿時間：2022 .5.8
萊布尼茨是壹位式的科學家，生活的年代與清朝的順治三年（1646年）—康熙五十五年（1716年）重疊。他很 中國的歷史和文化，他在壹篇 二進制的論文中提到了伏羲卦圖 ，而且在與其他人的通信中多次提及二進制和伏羲卦圖。胡陽和鐸兩位學者認為，伏羲卦圖 就是二進制，萊布尼茨創立二進制受到了伏羲卦圖的啟發1。這些結論值得商榷。
壹、《》在歐洲的流傳情況
《》是中國古代的壹部蔔筮之書，由《周易》和《易傳》兩部分組成，成書於西周時期， 不詳，詞句古奧。《周易》由卦爻號與卦爻辭組成，後來，儒家學者從義理上對卦爻辭進行闡發，撰寫出《易傳》，經過歷代學者的鉤沈稽考，形成了易學。
法國的金尼閣（Nielas TriBauit）神父於1610年和1620年兩度來華，他在杭州用拉丁文翻譯了《》，但是，這部譯著沒有在歐洲產生影響。
意大利的衛匡國(Martino Martini)神父精通數學、天文學和測量技術，兩度來到中國，為中西科學文化作出過重要貢獻。1658年，他在慕尼黑出版了《中國上古史》，裏面有論述《》的內容，載有壹幅六十四卦圖，註明為伏羲所繪，這是引入歐洲的之壹幅伏羲卦圖。衛匡國介紹，卦圖中的基本號是“陰爻”和“陽爻”,陰爻代表著隱蔽的、不完全的事物。陽爻代表著公開的、完全的事物。由它們組成的“三線形號”，就是八卦，分別代表自然現象中的天、地、水、火、雷、山、澤、風。在此基礎上，由“三線形號”兩兩結合，可以組成六十四個“六線形號”，就是六十四卦。
1660年，學者斯比塞爾(Gottlied Spizel)的《中國文史評析》在荷蘭萊頓出版，有些資料引用自衛匡國的《中國上古史》，介紹《》的內容很詳細，載有伏羲的六十四卦圖，還出現了短語“binarium multiplicatis”，是指伏羲卦圖的生成方式遵循2的乘方原則。斯比塞爾是萊布尼茨的學術朋友，兩人之間有多封書信討論哲學問題。1660年之後，萊布尼茨閱讀過《中國文史評析》壹書是沒有疑問的，他大概在這個時候了解了《》和伏羲卦圖。
比利時的柏應理（Philippe Couplef）神父於1659年來到中國。他致力於傳播中國的文化，同幾父壹起把《大學》、《中庸》、《》和《》翻譯成了拉丁文《西文四書直講》，書中有伏羲八卦次序圖和伏羲八卦方位圖，還有周文王六十四卦圖，卦圖上被用數字1、2、3、4、5、6、7、8直至64標有序號。這部著作於1687年在巴黎出版，書名為《中國哲學家孔子》。萊布尼茨於1687年12月19日給壹位名叫萊茵費爾(Von Hessen Rheinfels)的先生寫過壹封信,敘述他閱讀《中國哲學家孔子》壹書的喜悅心情。萊布尼茨也見到了書中的伏羲卦圖。
易學領域有壹個學派稱作象數派，主要通過伏羲卦圖去探究人們趨吉避兇的心理，祈求掌控自然界的變化規律，其理論不乏神秘色彩。北宋的哲學家邵雍是象數派的集大成者，他獨辟蹊徑，繞開《》卦爻辭的羈絆，用深奧的術語和神秘的圖式重新包裝《》，創造性地繪制了《伏羲六十四卦次序圖》和《伏羲先天六十四卦方位圖》，簡稱次序圖和先。次序圖和先與之前的伏羲卦圖更大的區別就是其按照二進制的序數排列。南宋理學朱熹的《周易本義》中載有這些卦圖。需要指出的是，直到1687年，萊布尼茨所見到的各類伏羲卦圖都是按照哲學意義排列的，沒有凸顯二進制的序數特征。
二、萊布尼茨真正認識伏羲卦圖的過程
讓萊布尼茨更多了解伏羲卦圖的人是白晉。白晉是壹位法國神父，做過康熙的數學老師，他奉康熙之命回歐洲招募科學人才，於1697年到達巴黎，在此作過壹場 易學的演講，批評有人將《》看成之書，稱《》蘊涵了中國君主政體的奠基者伏羲的哲學思想，與柏拉圖和亞裏士多德壹樣合理而完美。不久，白晉讀到萊布尼茨的《中國近事》壹書，兩人開始書信交往。他們留存下來的通信有十五封之多2，時間從1697年10月18日開始，其中有許多討論二進制和伏羲卦圖的內容。
1698年2月28日，白晉寫信之壹次向萊布尼茨介紹了伏羲卦圖：“最初的漢字由虛線或實線構成，據說為伏羲所創。我認為已經找到了學習它的真正秘訣。柏應理神父在《中國哲學家孔子》的序言這些漢字列成了表格。”白晉提到的漢字列成的表格就是柏應理書中的伏羲卦圖，還不是邵雍繪制的先，沒有跟二進制 起來。他認為這只是以簡單自然的創造的漢字。
回到中國以後，白晉對《》有了更為清晰的認識。1700年11月8日，白晉從給萊布尼茨寫去壹封信，稱伏羲是人類最早的法典制定者，伏羲卦圖是中國文化最原始號，具有完備的形而上學體系，這些號兼有算術和語言兩種功能，表達思想的語言可以通過數學的精確性來分析。白晉特別談到，在伏羲卦圖中，如果用0替代虛線，用1替代實線，六十四卦就是完美的數。“《》秘的數與畢達哥拉斯、柏拉圖和埃及猶太哲學中的數是的，都 於造物主的神秘啟示。”白晉精通象數理論，熟知中國用算籌表示數字的方式，與兩爻重疊排列的形象很相近，自然聯想到把卦圖中號轉換為數字。這時，白晉雖然把伏羲卦圖與數字 了起來，只是他還不懂得二進制算術，沒有往二進制數上考慮。
萊布尼茨壹直試圖創立“通用字”的思想，用特殊號表示壹般的概念，讓思維過程像幾何推理壹樣，利用邏輯演算去發現和發明真理。萊布尼茨考慮的是伏羲卦圖與“通用字”的關系，因此，他也沒有發現白晉轉換過來的數字是二進制數，失去了壹次發現伏羲卦圖蘊涵著二進制的機會，使得壹個重大的科學發現往後推遲了壹段時間。
萊布尼茨於1701年2月15日給白晉回信，還在介紹“通用字”的思想，他還提到了他發明的微積分和二進制。 二進制，他向白晉解釋道：“如同十進制使用從0到9這十個數字壹樣，只使用0和1這兩個數字就夠了。”信中提到了二進制的運算法則，列出了從0到31的二進制數表。萊布尼茨還建議白晉將二進制介紹給康熙。
萊布尼茨1701年2月15日致白晉信手稿萊布尼茨之所以向白晉介紹二進制，是因為他剛成蘭西皇家的院士，他打算向提交壹篇 二進制的論文《數字新科學論》，順便把論文的內容就告訴了白晉。2月26日，萊布尼茨把論文投稿給。4月30日，的封丹納爾(De Fontenelle)致信萊布尼茨，提出，由於論文中沒有反映二進制的實用價值，故不能在的刊物上發表。其實，萊布尼茨始終在尋求二進制的實用價值。他曾經有用二進制原理計算器的設想，沒有實現。他還試圖把二進制引入神學領域，用二進制算術證明上帝的存在。在德國圖靈根郭塔王宮圖書館裏保存有壹份萊布尼茨的手稿，標題是：“1與0，壹切數字的神奇淵源。這是造物之神秘而美妙的典範，因為，壹切都 於上帝。”1696年5月，萊布尼茨拜訪漢諾威的奧古斯特（Ruddph August）公爵，在談論神學文化時，他向公爵介紹了二進制算術。公爵認為，從神學的角度闡釋二進制的意義，可以為上帝創世紀說提供科學的解釋。1697年元旦，萊布尼茨給公爵寫了壹封信，詳細闡述了二進制所蘊含的“從無到有”的創世紀思想。萊布尼茨在信中設計了壹枚“創世圖”紀念章，圖案中有從0到16的二進制數表以及加法和乘法運算的例子，並寫有“虛無誕生壹”和“壹創造壹切”的文字。1696年12月20日，萊布尼茨給清朝欽天監監正閔明父寫信，詳細介紹了二進制算術，列出了從0到31的二進制數表，舉例說明了加法和乘法的運算法則。閔明我給康熙講授過數學，萊布尼茨希望閔明我能把二進制教授給康熙,讓康熙了解文化的優越性。
萊布尼茨計的“創世圖”紀念章就在萊布尼茨寫給白晉的這封信件中，也透了濃厚的神學情結。他寫道，二進制的偉大之處在於模擬了上帝的造物過程。世界初始只有兩種狀態，上帝和虛無。上帝代表完美，虛無代表不完美。世界萬物都是由上帝從虛無之中創造的。這個時候，萊布尼茨仍然不知道二進制與伏羲卦圖之間的關系，而所謂二進制在神學上的應用並不適合寫入科學的論文之中。
萊布尼茨二進制論文的手稿白晉從萊布尼茨的這封信件中學習到了二進制的知識，立刻就發現了二進制與先之間的關系，於1701年11月4日給萊布尼茨寫信，隨信寄去了壹幅先，明確指出，只須把實線替換成1，把虛線替換成0，每壹卦就對應壹個二進制數，而且，先是按照二進制的序數排列的。正是白晉獨具慧眼，揭開了蒙在伏羲卦圖上的神秘面紗。信中寫道：“您不應該把二進制視為壹門新科學,因為中國的伏羲早都發明了。”
白晉寄給萊布尼茨的先這封信於1703年 4月2日輾轉到了萊布尼茨手中。他立即對先進行了研究，在每壹卦上標註了對應的數字，確認卦圖的排列與二進制序數是壹致的。他完全贊同白晉的觀點。作為二進制的壹個實用例證，他將白晉的發現吸納進二進制的論文之中，同時把先也收錄其中,題為《論單純使用0與1的二進制算術—兼論二進制用途以及古代中國伏羲號的意義》，於1703年5月5日寄往法蘭西皇家，後來發表在了《1703年皇家年鑒》上。
萊布尼茨1703年5月18日致白晉信手稿萊布尼茨處理完論文以後，才給白晉復信，於5月18日寄出。萊布尼茨寫道：“這張圖乃是世界上最古老的科學文物，數千年來不為人們所理解，卻與二進制算術如此吻合。當您向我解釋這些號時，我恰好向您介紹二進制算術，它們巧合得令人吃驚。如果我未曾發明二進制算術的話，哪怕對伏羲卦圖再深入研究也未必能夠理解。我在二十年前就開始思考二進制的問題，意識到用0和1表示的數更臻於完美，計算也非常簡便。”因為之前的伏羲卦圖都沒有按照二進制序數排列，所以壹直沒有人發現這個秘密，而先是嚴格按照序數排列的，這才被白晉和萊布尼茨發現。所以，萊布尼茨產生質疑，傳統的卦圖為什麽不像先那樣，按照二進制的序數排列，他在信中問白晉，《中國哲學家孔子》中的伏羲卦圖為什麽與先不壹樣？
柏應理書中的六十四卦圖從此，萊布尼茨不再說自己發明了二進制，只是說他重新發現了伏羲的學問。他的《論中國人的自然哲學》中有壹節“論創始者伏羲的文字與二進制算術中所用號”，就是他和白晉通信內容的壹個總結，代表了他們的***同觀點。文中寫道：“我和白晉神父發現了這個帝國的奠基者伏羲所創造卦圖的原本意義，它們由壹些虛線和實線組成，***有六十四個號，算是中國最古老的文字，也是最簡單的文字。伏羲以後的幾個世紀，周文王與其子周公以及再晚五個世紀的孔子，都在卦圖裏探尋過哲理，還有人要從中引申出風水和之類的東西。其實，六十四卦圖就是偉大的家伏羲創立的二進制算術，在幾千年之後，由我重新發現了3。”白晉在研究易學方面雖然頗有心得，但是，對易學領域還是缺乏深入的了解，他向萊布尼茨傳達了很多錯誤 ，把神話當作史料，對伏羲做了不實的贊譽，沒有說明先是邵雍繪制的，讓萊布尼茨誤認為先是遠古的文物。白晉甚至都沒有告知陰爻和陽爻的名稱，導致萊布尼茨在手稿中壹直稱陰爻為虛線，稱陽爻為實線。萊布尼茨不是神，他受白晉的影響，崇拜易學文化，導致他確信伏羲創立了二進制，而且不惜用溢美之詞予以贊譽。不過，這倒反映了萊布尼茨沒有掠人之美的念想，對自己發現二進制壹事看得很淡。三、伏羲卦圖與二進制殷商時期，中國已經有了比較完備的十進制計數法。根據人類文明發展史的常識，《周易》作為壹部文明源頭的著作，其內容和思想都處於文化的萌芽狀態，書中的算術知識極為簡單，根本沒有二進制的內容。通讀《周易》可知，所謂算術知識，無非也只是計數而已，那都是采用十進制表述的。易學裏的伏羲卦圖種類很多，有八卦圖，也有六十四卦圖。八卦圖的排序壹般具有對稱性，六十四卦圖則是根據蔔筮之辭排序的。通行的《周易》和從長沙馬王堆漢墓出土的帛書《周易》的排序不盡相同，但是，都沒有按照二進制的序數排列。易學研究領域有壹種說法，陰爻和陽爻具有數字特征。從殷商出土的壹些陶器、甲骨和竹簡上留存 得知，陰爻是從偶數演變而來，陽爻是從奇數演變而來。這些號形成以後，雖然凸顯了其中的哲學意義，也殘存了數字的模糊影像，因此，數學家們把《》和數學扯上了關系。始作俑者是魏晉時期的劉徽，他在《九章算術註》中寫道：“昔者包犧氏始畫八卦，以明之德，以類萬物之情，作九九之數，以合之變。”包犧氏是伏羲的別名。劉徽的觀點影響了之後的數學家。北宋的秦九韶在《數書九章》中說：數學“爰自河圖洛書，闿發秘奧，八卦九疇，錯綜精微，極而至於大衍皇極之用。”明朝的程大位在《算法統宗》中載有伏羲作卦圖的插畫，書中寫道：“數何肇？其肇自圖書乎！伏羲得之以畫卦，大禹得之以序疇，列得之以開物成務。凡天官、地員、律歷、兵賦以及纖悉杪忽，莫不有數，則莫不本於《易》。”邵雍利用象數推演替代哲學思考，給人的感覺像在進行數學運算。他在《觀物外篇》論述道：“有意必有言，有言必有象，有象必有數。數立則象生，象生則言著彰，言著彰則意顯。象數則筌蹄也。”意思是說，思想可以用語言表達，語言可以用圖象表達，圖象可以用數字表達。反之亦然。所以，象數是表達思想的工具。這與萊布尼茨“通用字”的思想頗為壹致。在邵雍繪制的先中，只要把陰爻當作0，把陽爻當作1，其排列與二進制的序數完全相同，這無疑是壹個二進制的模型。但是，這個二進制的模型只是無心插柳柳成蔭的結果，不能據此認為邵雍創立了二進制，只能說是數學思想把先統壹到了二進制的理論系統之中。數學發展史的常識告訴我們，任何壹項數學成就的取得，無外乎兩個原因，壹是數學內部理論研究的進展，二是數學外部發展進步的要求。首先，邵雍並不是數學家，他在數學上沒有任何建樹，沒有撰寫過數學論著，也未見他與哪壹個數學家有過學術交往。邵雍沒有任何論述二進制的片言只語，他也根本不二進制理論，他既沒有明確界定和命名二進制的數學概念，也沒有科學地表述二進制的重要性質和意義，更沒有完善二進制與其它數學概間的邏輯關系。從邵雍的論著裏，也看不出他具有超出常人的數學素養，邵雍創立二進制就像當今的“民科數學家”要解決哥德猜想壹樣，是絕對做不到的。不要說他，就是與他同時代的數學家們，也沒有人涉獵過二進制的研究領域。卦圖號在《周易》裏早已存在，宋代之前，《周易》和伏羲卦圖中根本沒有二進制 。邵雍在先裏將這些號重新進行排序，並不是主動按照二進制原理做的，只是碰巧了二進制數的順序而已。所以，我們只能謹慎地說，先裏生長著二進制的萌芽。有人提出，邵雍說的“加壹倍法”就是“逢二進壹”法則，這完全是毫無根據的猜測。僅從詞義上理解，它們也不是同壹件事情。“加壹倍法”是增加了壹倍的意思，即乘以2，是指伏羲卦圖的生成過程，上壹層級的每壹卦順次增加壹爻，則卦的個數將增加壹倍。即“壹分為二，二分為四，四分為八，八分為十六，十六分為三十二，三十二分為六十四。故曰分陰分陽，叠用柔剛，易而成章也4。”這完全是十進制的說法，跟二進制的“逢二進壹”沒有任何關系。從概念的原本意義考察，由陽爻和陰爻組成的卦圖號表示的是抽象的哲學事物，即使它們與數字有 ，也是十進制中的1—64，包括邵雍在內的宋元明清的易學家和數學家，沒有壹個人提出，可以用二進制數來表達。邵雍在繪制先的過程中，凡涉及到計數問題，都是用十進制去解決的。如說到八卦的排序，他的表述是：乾壹、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。如果邵雍懂得二進制原理，那麽卦圖號的順序就會很清晰，不需要借助任何，就很容易被人記憶，但是，直到南宋，朱熹還根據八卦號的直觀形象編寫了記憶口訣：乾三連（），坤六斷（），震仰盂（），艮覆碗（），離中虛（），坎中滿（），兌上缺（），巽下短（）。這從壹個側面反映出邵雍和朱熹都沒有意識到先與二進制之間的密切關系。清朝乾嘉年間，有壹位著名的數學家汪萊，他的《參兩算經》是專門論述進位制理論的著作，他也沒有指出先就是二進制。那麽，先怎麽恰巧就與二進制的序數相同的呢？這個問題困惑了許多人，甚至有學者用概率論的解讀認為，64個元素總***有64！種排列，要在這天文數字的排列中找到與二進制數的順序完全相同的壹個，這幾乎就是不可能啊！進而得出，如果邵雍不是熟知二進制原理，他怎麽就能夠找到這壹個排列呢？其實，先和二進制都是由兩個基本號表示的，這其實就是元素可重復排列的組合問題。從2種號中每次取3個,排成壹排，***有23=8種排法，得到《周易》裏的八卦和二進制裏的前八個數。從2種號中每次取6個,排成壹排，***有26=64種排法，得到《周易》裏的六十四卦和二進制裏的前六十四個數。先中的卦序與二進制的序數相同，其實是壹個必然。邵雍並不需要懂得二進制知識，二進制不是繪制先的必要條件。事實是邵雍創造性地運用了另外壹個數學，用“樹圖”自然而然地生成了壹棵二進制的“數學樹”，這就是《伏羲六十四卦次序圖》。
伏羲六十四卦次序圖邵雍按照“樹圖”的畫法，把陰爻畫成黑色，把陽爻畫成白色。先有太極，由下而上，按照“加壹倍法”，先畫陰爻，後畫陽爻，相間畫去。由太極依次生成兩儀、四象、八卦、十六卦、三十二卦和六十四卦，最終成為六十四卦次序圖，這個次序圖可以無限繪制下去。由於次序圖是嚴格按照“樹圖”生成的，由下往上讀取，就形成了六十四個卦圖號。從左邊的坤卦按順序直到右邊的乾卦，自然就滿足了二進制前六十四個數的順序。明白了次序圖的結構，就很容易繪制出先。先看它外部的圓圖，只要把右半圓周拉直，就是次序圖對稱軸左邊的部分。把左半圓周拉直，就是次序圖對稱軸右邊的部分。再看內部的方圖，規律更加明顯，只須將次序圖中每壹卦按照從左到右的順序，每八個為壹段，依次排成八行。需要說明的是，這樣構造出來的先仍然了對稱性，只是把次序圖中的軸對稱變成了中心對稱而已。用數學很容易證明，在圓圖中， 圓心對稱的兩個卦在次序圖中也是對稱的。在方圖中， 圓心對稱的兩個卦在次序圖中也是對稱的。由於先與二進制在代數上是同構的，先的順序和對稱結構也不再是秘密，這就很容易理解，二進制算術裏的數學性質，壹般來說，也都可以拓展到先裏。這並不代表邵雍在那個年代發現了諸多的現代數學知識，而是數學思想統壹了先中所蘊含的樸素的二進制因素。四、萊布尼茨與二進制萊布尼茨1703年5月18日致白晉的信中提到，他在二十多年前就發明了二進制，那正是他在巴黎創立微積分的時期。萊布尼茨在1707年12月15日致布爾蓋(D.Bourguet)的信中提到：“當初我創立二進制算術時，對《》的卦圖並不是很了解。”萊布尼茨有壹份手稿《二進制算術的闡釋》，寫作時間是1679年3月15日，壹直沒有發表，被擱置了二十多年。但凡數學上的創新和發現，都是循著前人開辟的道路進行的，在超越前人的過程中，並不能保證可以眷顧到所有具有啟迪性的思想成果。萊布尼茨在發明二進制之前，只是從衛匡國的《中國上古史》和斯比塞爾的《中國文史評析》上間接地了解《》，這些文獻都不是數學著作，雖然衛匡國稱《》是數學著作，也只是壹種臆測。萊布尼茨所見到的伏羲卦圖不是邵雍繪制的先，卦圖的順序是按照哲學理念排列的，沒有按照二進制的順序排列。萊布尼茨的學術興趣是發展“通用字”的思想，他關心的是卦圖號的語言和邏輯意義，壓根兒沒有從數學角度去考慮問題，所以，萊布尼茨在易學文獻中無從獲悉二進制 。如果萊布尼茨在見到伏羲卦圖時就受到啟發，他的二進制論文早就提前二十多年就發表了。另外，有人說斯比塞爾著作中在介紹伏羲卦圖時提到的短語“binarium multiplicatis”是二進制的意思，萊布尼茨由此受到啟發。這是不顧歷史事實的臆測。斯比塞爾寫作這部著作的時候，二進制的概念還沒有被明確提出。“二進制”壹詞是被萊布尼茨引入學術界的，當時，他還沒有思考二進制的問題。斯比塞爾不是數學家，他無從知道什麽是二進制。這個短語也不是二進制的意思，而是指2的乘方，是說伏羲卦圖產生的方式。其實，萊布尼茨發現二進制的契機很簡單，完全就是水到渠成，壹蹴而就的結果。從數學認知的規律考慮，具備數學基本素養的人只要熟悉了進位制理論，提出任何進位制都是平凡的推論。事實上，任何壹個比1大的自然數都可以作為壹種進位制的基數，理論上可以構造出無窮多種進位制，這在數學上是壹個極為簡單的常識。萊布尼茨1663年暑假去到耶拿大學學習數學，老師是魏格留斯(Erhard Weigel)教授。魏格留斯對古希臘的數學思想研究頗有心得，崇尚畢達哥拉斯和柏拉圖的數學觀，認為物質世界的合數學法則。萊布尼茨深受老師思想的啟迪。1672年，魏格留斯在耶拿大學的學刊《Joham Meyer》上發表了《十結構》壹文，系統地提出了四進制的概念，用0、1、2、3來表示所有的數，“滿三進壹”，象征著“三”是完滿。不久，萊布尼茨寫出《二進制算術的闡釋》手稿。毫無疑問，萊布尼茨無論是從老師的課或者從老師的論文裏，熟知進位制理論是沒有疑義的。從萊布尼茨的《論中國人的自然哲學》中我們知道，萊布尼茨非常熟悉進位制的歷史，他提到，古羅馬人曾經使用混合五進制和十進制的算術，提到歷史上出現過四進制和十二進制，他明確地寫道：正是魏格留斯的四進制，“給了我壹個機會，提出壹切數都可以用二進制的0和1寫出。”由此可知，萊布尼茨發明二進制是受到他老師的啟發，與伏羲卦圖沒有關系。有人詬病萊布尼茨，質疑他有意掩飾受到伏羲卦圖啟發而發現二進制，是沒有事實依據的。萊布尼茨從來沒有把二進制的發明權據為己有。他反而大力吹捧是伏羲早在他四千年前就發明了二進制，他還把這個重大發現歸功於白晉。事實上，各種進位制的計數方式早已存在於人類的活動之中了。在世界文明的發源地，古巴比倫人之壹個發明了位值制，使用過六十進制，人使用過二十進制，中國獨自發明了位值制，是最早使用十進制的。商代甲骨蔔辭中就有了1—9的數碼和位值制的記數法，戰國時期出現了十進制的籌算記數，以空代表0，非常先進。太平洋上的芒阿雷瓦島的部落早在1450年之前就在使用二進制，至今，波利尼西亞和澳大利亞的有些土著居民還在使用二進制5，其實，數學家的所謂發明，也就是把人類世俗生活中的計數進行了數學化的處理，所以，發明二進制談不上是什麽了不起的數學成果。其實與萊布尼茨同時代的數學家洛布克威茲(Y.Lobkowitz)在1670年出版的《雙面數學》中，也有討論十二進制和二進制的內容。萊布尼茨也許不知道，在那個時代，英國有壹位才華橫溢的數學家哈裏奧特6(Thomas Harriot)，他遺存的手稿裏有大量數學和物理 性的成果。因為當時沒有科學類期刊，這些成果無處發表。哈裏奧特1603年的手稿《數學計算與註解》中，就有詳細論述二進制算術的內容，理論結構幾乎與萊布尼茨的相同，用0和1作為基本計數號，命名二進制為Binary numeration，提出了加減法以及乘法運算法則，還討論了用連分數的形式表示二進制的相關問題。註釋1、胡陽、鐸 《萊布尼茨二進制與伏羲八卦圖考》 上海 上海出版社 2006 年2、見R.Widmaier編：《Leibniz korrespondiert mit China: Der Briefwechsel mit den Jesuitenmissionaren (1689—1714)》 Frankfurt am Main:Klostermann. 19903、陳樂編 萊布尼茲讀本 江蘇教育出版社 2005年11月4、邵雍 《皇極經世書》 鄭州 中州古籍出版社 2007年1月5、見巴什瑪柯娃等編 劉紹祖譯 《初等數學（之壹卷）算術（之壹分冊）》 高等教育出版社1959年6月6、哈裏奧特的事跡見Robyn Arianrhod 《Thomas Harriot: A Life In Science》 Cambridge University Press 2022 年
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