對於任意三角形 三邊為a,b,c 三角為A,B,C 滿足性質
(註：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
證明：
∵如圖，有a→+b→=c→
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（註意：這裏用到了三角函數公式）
再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示壹下。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
平面幾何證法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a
則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根據勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
從余弦定理和余弦函數的性質可以看出，如果壹個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麽第三邊所對的角壹定是直角，如果小於第三邊的平方，那麽第三邊所對的角是鈍角，如果大於第三邊，那麽第三邊所對的角是銳角。即，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。同時，還可以用余弦定理求三角形邊長取值範圍。
勾股定理
勾股定理:
在我國，把直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方這壹特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。是壹個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的壹個特例，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，作為壹個證明。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短得直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。
定理：
如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那麽a+b=c; 即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
如果三角形的三條邊a，b，c滿足a+b=c ，那麽這個三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）
最早的勾股定理
從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發現“勾股定理”的，這裏只舉壹例。例如公元前1700年的壹塊泥板（編號為BM85196）上第九題，大意為“有壹根長為5米的木梁（AB）豎直靠在墻上，上端（A）下滑壹米至D。問下端（C）離墻根（B）多遠？”他們解此題就是用了勾股定理，如圖
設AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，則BD=l-h=5-1米=4米
a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5為邊的勾股形。
《周髀算經》簡介
勾股。 《周髀算經》算經十書之壹。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分歷法。唐初規定它為國子監明算科的教材之壹，故改名《周髀算經》。《周髀算經》在數學上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測量上的應用。原書沒有對勾股定理進行證明，其證明是三國時東吳人趙爽在《周髀註》壹書的《勾股圓方圖註》中給出的。 《周髀算經》使用了相當繁復的分數算法和開平方法。
[編輯本段]伽菲爾德證明勾股定理的故事
1876年壹個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有壹位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州***和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的壹個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麽，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在幹什麽。只見壹個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著壹個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在幹什麽？那個小男孩頭也不擡地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麽斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊長分別為5和7，那麽這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不假思索地回答道：“那斜邊的平方壹定等於5的平方加上7的平方。”小男孩又說：“先生，妳能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德壹時語塞，無法解釋了，心裏很不是滋味。
於是，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反復思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。
如下:
解：在網格內，以兩個直角邊為邊長的小三角形面積，等於以斜邊為邊長的的三角形面積。
勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，
a^2;+b^2;=c^2;
說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理成為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關系。
舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c= a+b=9+16=25
則說明斜邊為5。
勾股定理部分習題
第壹章 勾股定理壹、 勾股定理的內容，勾股定理是怎樣得到的，從定理的證明過程中妳得到了什麽啟示？
練習:
1、在△ABC中,∠C =90°. (1) 若a =2,b =3則以c為邊的正方形面積是多少? (2) 若a =5,c =13.則b是多少? .(3) 若c =61,b =11.則a是多少? (4) 若a∶c =3∶5且c =20則 b 是多少? (5) 若∠A =60°且AC =7cm則AB = ＿cm，BC = ＿cm.
2、直角三角形壹條直角邊與斜邊分別為8cm和10cm.則斜邊上的高等於 ＿cm.
3、等腰三角形的周長是20cm,底邊上的高是6cm,則底邊的長為 ＿cm.
4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,則BC邊上的高AD = ＿cm.
5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB於D，BC= ,DB=2cm ,則BC＝＿ cm, AB= ＿cm, AC= ＿cm.
6、如圖，某人欲橫渡壹條河，由於水流的影響，實際上岸地點C偏離欲到達點B200m，結果他在水中實際遊了520m，求該河流的寬度為_______。
7、在壹棵樹的10米高處有兩只猴子，壹只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘的A處。另壹只爬到樹頂D後直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高________米。
8、已知壹個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方是（ ）
A、25 B、14 C、7 D、7或25
9、小豐媽媽買了壹部29英寸(74cm)電視機,下列對29英寸的說法中正確的是
A. 小豐認為指的是屏幕的長度; B. 小豐的媽媽認為指的是屏幕的寬度;
C. 小豐的爸爸認為指的是屏幕的周長; D. 售貨員認為指的是屏幕對角線的長度
二、 妳有幾種證明壹個三角形是直角三角形的方法？
練習：
（×經典練習×）
據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將壹根直尺折成壹個直角，兩端連結得壹個直角三角形，如果勾是三，股是四，那麽弦就等於五，後人概括為“勾三，股四，弦五”。
（1）觀察：3、4、5、，5、12、13、，7、24、25，……發現這幾組勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過。計算0.5（9＋1）與0.5（25－1）、0.5（25＋1），並根據妳發現的規律，分別寫出能表示7、24、25這壹組數的股與弦的算式。
（2）根據（1）的規律，若用n(n為奇數且n≥3)來表示所有這些勾股數的勾，請妳直接用含n的代數式來表示它們的股和弦。
答案：
（1） 0.5（9+1）∧2+0.5（25-1）∧2=169=0.5（25+1）∧2 0.5（13+1）∧2+0.5（49-1）∧2=0.5（49+1）∧2
（2） 股：0.5（n^2-1) 弦：0.5（n^2+1）
三角形的三邊長為（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是( )
A. 等邊三角形; B. 鈍角三角形; C. 直角三角形; D. 銳角三角形.
1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,則∠A + ∠C＝ °。
2、如圖，正方形網格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC是（ ）
（A） 直角三角形 (B)銳角三角形
(C)鈍角三角形 (D)以上答案都不對
已知三角形的三邊長分別是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n為正整數）則最大角等於_________度.
三角形三個內角度數比為1:2:3,它的最大邊為M,那麽它的最小邊是_____.
斜邊上的高為M的等腰直角三角形的面積等於_____.
3、已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四邊形ABCD的面積。
美國總統的證明方法圖各具特色的證明方法三角學裏有壹個很重要的定理，我國稱它為勾股定理，又叫商高定理。因為《周髀算經》提到，商高說過"勾三股四弦五"的話。下面介紹其中的幾種證明。
最初的證明是分割型的。設a、b為直角三角形的直角邊，c為斜邊。考慮下圖兩個邊長都是a+b的正方形A、B。將A分成六部分，將B分成五部分。由於八個小直角三角形是全等的，故從等量中減去等量，便可推出：斜邊上的正方形等於兩個直角邊上的正方形之和。這裏B中的四邊形是邊長為c的正方形是因為，直角三角形三個內角和等於兩個直角。如上證明方法稱為相減全等證法。B圖就是我國《周髀算經》中的“弦圖”。
下圖是H．珀裏加爾（Perigal）在1873年給出的證明，它是壹種相加全等證法。其實這種證明是重新發現的，因為這種劃分方法，labitibn Qorra（826～901）已經知道。（如：右圖）下面的壹種證法，是H?6?1E?6?1杜登尼（Dudeney）在1917年給出的。用的也是壹種相加全等的證法。
如右圖所示，邊長為b的正方形的面積加上邊長為a的正方形的面積，等於邊長為c的正方形面積。
下圖的證明方法，據說是L?6?1達?6?1芬奇（da Vinci, 1452～1519）設計的，用的是相減全等的證明法。
歐幾裏得（Euclid）在他的《原本》第壹卷的命題47中，給出了勾股定理的壹個極其巧妙的證明，如次頁上圖。由於圖形很美，有人稱其為“修士的頭巾”，也有人稱其為“新娘的轎椅”，實在是有趣。華羅庚教授曾建議將此圖發往宇宙，和“外星人”去交流。其證明的梗概是：
(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。
同理，(BC)2=KEBL
所以
(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2
印度數學家兼天文學家婆什迦羅（Bhaskara，活躍於1150年前後）對勾股定理給出壹種奇妙的證明，也是壹種分割型的證明。如下圖所示，把斜邊上的正方形劃分為五部分。其中四部分都是與給定的直角三角形全等的三角形；壹部分為兩直角邊之差為邊長的小正方形。很容易把這五部分重新拼湊在壹起，得到兩個直角邊上的正方形之和。事實上，
婆什迦羅還給出了下圖的壹種證法。畫出直角三角形斜邊上的高，得兩對相似三角形，從而有
c/b=b/m，
c/a=a/n,
cm=b2
cn=a2
兩邊相加得
a2+b2=c(m+n)=c2
這個證明，在十七世紀又由英國數學家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新發現。
有幾位美國總統與數學有著微妙聯系。G?6?1華盛頓曾經是壹個著名的測量員。T?6?1傑弗遜曾大力促進美國高等數學教育。A．林肯是通過研究歐幾裏得的《原本》來學習邏輯的。更有創造性的是第十七任總統J．A．加菲爾德（Garfield, 1831～1888），他在學生時代對初等數學就具有強烈的興趣和高超的才能。在1876年，（當時他是眾議院議員，五年後當選為美國總統）給出了勾股定理壹個漂亮的證明，曾發表於《新英格蘭教育雜誌》。證明的思路是，利用梯形和直角三角形面積公式。如次頁圖所示，是由三個直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面積得
即
a2+2ab+b2=2ab+c2
a2+b2=c2
這種證法，在中學生學習幾何時往往感興趣。
關於這個定理，有許多巧妙的證法（據說有近400種），下面向同學們介紹幾種，它們都是用拼圖的方法來證明的。
證法1 如圖26-2，在直角三角形ABC的外側作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別為c2，b2和a2。我們只要證明大正方形面積等於兩個小正方形面積之和即可。
過C引CM‖BD，交AB於L，連接BC，CE。因為
AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，
所以 △ACE≌△AGB
SAEML=SACFG (1)
同法可證
SBLMD=SBKHC (2)
(1)+(2)得
SABDE=SACFG+SBKHC，
即 c2=a2+b2
證法2 如圖26-3（趙君卿圖），用八個直角三角形ABC拼成壹個大的正方形CFGH，它的邊長是a+b，在它的內部有壹個內接正方形ABED，它的邊長為c，由圖可知。
SCFGH=SABED+4×SABC，
所以 a2+b2=c2
證法3 如圖26-4（梅文鼎圖）。
在直角△ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，在直角邊AC上又作正方形ACGF。可以證明（從略），延長GF必過E；延長CG到K，使GK=BC=a，連結KD，作DH⊥CF於H，則DHCK是邊長為a的正方形。設
五邊形ACKDE的面積=S
壹方面，
S=正方形ABDE面積+2倍△ABC面積
=c2+ab (1)
另壹方面，
S=正方形ACGF面積+正方形DHGK面積
+2倍△ABC面積
=b2+a2+ab. (2)
由(1)，(2)得
c2=a2+b2
證法4 如圖26-5（項名達圖），在直角三角形ABC的斜邊上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的兩個直角邊CA，CB為基礎完成壹個邊長為b的正方形BFGJ（圖26-5）。可以證明（從略），GF的延長線必過D。延長AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF於H，則EKGH必為邊長等於a的正方形。
設五邊形EKJBD的面積為S。壹方面
S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)
另壹方面，
S=SBEFG+2?6?1S△ABC+SGHFK
=b2+ab+a2
由(1)，(2)
得出論證
都是用面積來進行驗證：壹個大的面積等於幾個小面積的和。利用同壹個面積的不同表示法來得到等式，從而化簡得到勾股定理）圖見 /21010000/vcm/0720ggdl.doc
勾股定理是數學上證明方法最多的定理之壹——有四百多種證法！但有記載的第壹個證明——畢達哥拉斯的證明方法已經失傳。目前所能見到的最早的壹種證法，屬於古希臘數學家歐幾裏得。他的證法采用演繹推理的形式，記載在數學巨著《幾何原本》裏。在中國古代的數學家中，最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創制了壹幅“勾股圓方圖”，用數形結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個相等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a） 2 。於是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化簡後便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統壹、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了壹個典範。 以下網址為趙爽的“勾股圓方圖”： /catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以後的數學家大多繼承了這壹風格並且有發展， 只是具體圖形的分合移補略有不同而已。 例如稍後壹點的劉徽在證明勾股定理時也是用以形證數的方法，劉徽用了“出入相補法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區域內(入)，結果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。 以下網址為劉徽的“青朱出入圖”： /catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif
勾股定理應用非常廣泛。我國戰國時期另壹部古籍《路史後記十二註》中就有這樣的記載："禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使註東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也。"這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水註入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結果。
勾股定理在我們生活中有很大範圍的運用.
勾股定理的16種驗證方法（帶圖）：/UploadFiles/2007/11-25/1125862269.doc
練習題：壹個等腰三角形,三個內角的比為1:1:10,腰長為10cm,則這個三角形的面積為____
解：由題意得此三角形各角角度為15度 15的150度
設底邊上的高為h 底邊長為2t
易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h/10
解得h=5(√6-√2)/2
又tan15=(tan60-tan45)/(1-tan60tan45)=5(√6-√2)/2t
解得t=5(√6+√2)
故面積s=th=50</CN> `
勾股定理的別名
勾股定理，是幾何學中壹顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用．正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱．
我國是發現和研究勾股定理最古老的國家．我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另壹直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理．在公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”．因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”．在公元前7~6世紀壹中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之得邪至日．
在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”．還有的國家稱勾股定理為“平方定理”．
在陳子後壹二百年，希臘的著明數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理．為了慶祝這壹定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了壹百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”．