李創造了二次平方根的冪級數展開式和各種三角函數、反三角函數、對數函數。
這是李和中國19世紀在數學領域取得的最重大的成就。李是清代數學史上繼之後的又壹傑出代表。
李從小喜歡數學，勤於思考，經常把身邊的事情和數學聯系起來。
壹天，李和他的父親去海寧的壹位大紳士家裏做客，看見墻上掛著壹幅“鳥兒歸巢”的畫。這位畫家是當時著名的花鳥畫大師。在他精彩的筆觸下，看畫的人仿佛聞到了花香，聽到了鳥鳴。
畫的右上角還有壹首題詩，上面寫著:“壹個經過另壹個，3，4，5，6，7，8。鳳凰裏的鳥那麽多，啄起了世界上成千上萬的石頭。”
李看到這幅畫後，的心也動了理智。題目是《小鳥歸巢》，但全詩沒有壹百字。只是這些數字看似是詩人有意安排的，但其中隱藏著什麽秘密呢？他看著這些數字，想了想，但當時並不理解。
當他回到家時，他還在想這件事。當他看到書架上的數學書櫃時，他突然意識到這是壹道數學題。他在紙上寫下了這些數字:1，3，4，5，6，7，8。它們怎麽會和鳥聯系在壹起呢？就在他翻開書架上的數學書時，腦海裏突然出現了幾個公式:1×2 = 2；3×4=12;5×6=30;7×8=56;2+12+30+56=100。這不就對應了《鳥盡歸巢》裏的“百”嗎？最後兩首詩很諷刺。
官員欺壓百姓，就像烏鴉壹樣，霸占百姓的千糧。這真是壹幅絕妙的畫！看來畫家也有很深的數學造詣。李自幼就讀於私塾，受到良好的家庭教育。他天資聰穎，勤奮好學，讀過的詩他壹眼就能背出來。有壹次，他在父親的書架上發現了壹本中國古代數學名著《九章算術》，非常新奇有趣，從此迷上了數學。
14歲時，李自學了歐幾裏得《幾何原本》前六卷，這是明末徐光啟和利瑪竇共同翻譯的古希臘數學名著。歐幾裏得幾何嚴密的邏輯體系和清晰的數學推理，與中國古代強調實用解法和計算技巧的傳統數學思維大相徑庭，各有特色和長處。
李在《九章算術》的基礎上，吸收了《幾何原本》的新思想，使他的數學造詣越來越深。後來又研究了金元數學家葉莉的《量圓海鏡》壹書，清末數學家戴旭的《畢達哥拉斯與割圓》壹書，越學越多。
1852年，李離開家前往墨海圖書館。
墨海圖書館是英國傳教士馬多克斯於1843年設立的翻譯西文書籍的機構，也是西方傳教士接觸中國知識分子的渠道。李在結識了英國傳教士和艾·約瑟。
當時，墨海圖書館正在尋找能與傳教士合作翻譯的外語人才。
李的到來讓他們很高興，但又不放心，於是拿出西方最難的計算題來考李，結果全是李答出來的，得到傳教士的贊賞。從此，李開始了翻譯西方科學著作的生涯。
李翻譯的第壹部作品是《幾何原本》的後九卷。因為他不懂任何外語，他不得不依靠傳教士的幫助。《幾何原本》全譯本由威利·亞利口述，李·執筆。
錄下來了。其實這並不容易，因為西方的數學思想和中國傳統的數學思想有很大的不同，表達方式也有很大的不同。
雖然這是壹份抄本，但它實際上是偉烈亞力口述的重譯。正如所說，正是因為李“擅長數學”，他才能把書中的意思表達得清楚而正確。
這本書翻譯成功前後花了四年時間。在翻譯《幾何原本》的同時，李與艾壹起翻譯了《再學》二十卷。這是中國近代科學史上第壹部力學專著，在當時影響很大。
1859年，李翻譯了兩部有影響的數學著作，《代數學》(第13卷)和《代數和級差》(第18卷)。前者是中國第壹部以代數命名的符號代數，後者是中國第壹部解析幾何和微積分著作。
這兩本書的翻譯不僅把西方的符號代數、解析幾何和微積分的基本內容引入了中國數學領域，而且創造了中國數學領域的許多新概念、新術語和新符號。
這些新事物雖然是從西方傳入的，但它們以漢語名詞的形式出現是與李的創造分不開的。代數、系數、根、多項式、方程、函數、微分、積分、級數、切線、法線、漸近線等至今仍在使用。
這些數學術語的中文翻譯，顧名思義是可以做到的。在解釋“函數”這個詞時，李說，“這個變量是壹個變量的地方，它就是那個變量的函數。”這裏的“函數”就是蘊涵的意思，很類似於函數的概念強調變量之間的關系的意思。許多譯名後來被日本采用，沿用至今。
書中附有第壹張英漢數學術語對照表，共有330個單詞。相當多的術語被現代數學所接受，有的略有變化，有的被淘汰。
除了翻譯人名，李還在公式、符號等方面做了大量的創造和引用。比如×，γ，=等符號都是從西文書中引用的。
除了與李合作翻譯《幾何原本》、《代數和微分學的產生》外，他還與艾合作翻譯了《圓錐曲線論》。雖然這四部譯著與當時的歐洲數學有較大差距，但這是高等數學第壹次傳入中國，標誌著近代數學在中國已經出現。
就具體的數學內容而言，包括虛數概念、多項式理論、方程理論、解析幾何、圓錐曲線理論、微分學、積分學、級數理論等。所有的內容都是基本的、初步的，然而，它們對中國數學來說是全新的。有了這個起點，中國數學才能逐步走向世界數學之林。
1858年，李向墨海圖書館提出翻譯英國天文學家約翰？赫歇爾的天文學大綱和牛頓的自然哲學的數學原理。此外，他還與英國人魏合作翻譯了的《植物學》8卷。
從1852到1859這七八年間，李翻譯了七八種作品，* * *約七八十萬字。其中不僅有他擅長的數學和天文學，還有他不熟悉的力學和植物學。
在介紹西學方面，值得壹提的是，在李之後，晚清數學家、翻譯家、教育家華也進行了積極的翻譯工作。
華最早與美國的瑪戈特合作翻譯了《金石學》、《地球科學簡述》、《防海新論》、《防風技巧》等5部礦物學、地學、氣象學著作。他和英國人約翰·弗萊爾壹起翻譯了《代數》、《微分積的跡》、《可疑數學》、《三角學》、《三角問題的解法》、《算術的解法》6種，還有4種未出版的譯本，進壹步介紹了近代西方國家的代數、三角學、微積分和概率論。
這些譯本成為中國學者了解和學習西方數學的主要來源。其中，《疑數學》地位突出，是我國第壹部編著的概率論專著。
李在數學研究方面的成就主要包括三個方面:尖錐技巧、堆砌技巧和素數理論。錐尖技術的理論主要見於《方圓的解釋》、《箭的奧秘》和《對數探索》三本書，大約寫於1845年前，當時解析幾何和微積分還沒有傳入中國。
李的著作運用現代數學解決中國傳統問題，取得了卓越的成就。
李創立的“尖錐”概念是壹種處理代數問題的幾何模型。他對“尖錐曲線”的描述，本質上相當於給出了直線、拋物線、三次拋物線等方程。
他創造了“尖錐求積法”，相當於冪函數定積分公式和逐項積分法則。他通過“分離元素個數”獨立得到了二項式平方根的冪級數展開式，結合“尖錐求積”得到了圓周率的無窮級數表達式。
堆積理論主要見於堆積比類，是壹部關於高階等差數列的著作，是早期組合論的代表作。李從研究中國傳統的堆積問題入手，取得了壹些與現代組合數學相當的成果，並創立了著名的“李恒等式”。
素數理論主要見於《查數根法》，是我國最早的素數理論著作。在判斷壹個自然數是否為素數時，李證明了著名的費馬素數定理，並指出其逆定理不成立。
李是清代數學史上繼之後的又壹傑出代表。李也是壹名翻譯。他壹生翻譯了許多西方科技書籍，把從天文學到植物細胞學等近代科學的最新成果介紹到中國，為近代科學的發展做出了卓越的貢獻。