柯西的母親聽到了謠言，寫信問他真相。柯西回信說:“如果基督徒會成為精神病人，瘋人院裏就會擠滿了哲學家。親愛的媽媽，您的孩子就像元葉上的風車，數學和信仰是他的翅膀。風壹吹，風車就會均衡旋轉，產生助人為樂的動力。』
1816年，柯西回到巴黎，成為母校的數學教授。柯西寫道:“我像壹條找到自己河流的鮭魚壹樣興奮。不久他結婚了，幸福的婚姻生活幫助他與他人交流。數學大師伯努利曾說過，“只有數學才能探索無限，無限是上帝的屬性之壹”。物理、化學、生物都是有限的學科，“無限”可以代表永遠無法測量的極限。無限的概念讓哲學家瘋狂，讓神學家嘆息，讓很多人深感恐懼。另壹方面，柯西應用無窮來定義壹個更精確的數學意義。他把數學的微分看作是“無限小時的變化”，把積分表示為“無限個無窮小的和”。柯西用無窮重新定義了微積分，至今仍是每壹本微積分教材的開頭。
1821年，柯西的名聲遠播。遠至柏林、馬德裏、聖彼得堡的學生來到他的教室聽課。他還發表了壹個非常著名的“特征值”理論，寫道:“在純數學領域，似乎沒有實際的物理現象可以證明它，自然界也沒有什麽可以解釋它，但它是數學家從遠處就能看到的壹片樂土。理論數學家不是發現者，而是應許之地的報告者。四十歲之後，柯西不願意效忠新政府。他認為學術應該不受政治影響。他放棄了工作和祖國，帶著妻子去了瑞士和意大利教書。他受到了世界各地大學的歡迎。但他寫道:“數學的刺激在於身體長時間承受不了負荷，很累！柯西四十歲後，下課後就不做研究了。
他的健康逐漸衰弱。1838年，他回到巴黎大學任教，但因為政治忠誠問題再次離開。因為他的堅持，1848年法國大學教授的學術自由是建立在個人良心基礎上的，不在政治限制之內。此後，世界各地的大學都遵循這壹制度，大學成為學術自由的場所。設函數f(x)在點x，在的向心鄰域有壹個定義，如果有壹個常數a，對於任意給定的正數ε(不管它有多小)，總有壹個正數δ，這樣當x滿足不等式0
| f(x)-A | & lt；ε
那麽常數a稱為x → x時的函數f(x)時間極限。
“嚴格來說，沒有所謂的數學證明。到最後，我們除了點什麽都不會做；.....它證明了這就是我和利托伍德所說的上帝吹的東西。是打動人心的修辭，是課堂上黑板上足夠的圖片，是激發學生想象力的方法。“——哈代。
數學如此重要，在中國有著和中國文學壹樣的地位。原因是數學本身就是壹種語言，是壹種具有普遍性的世界語言。因此，嚴格區分數學概念的詞類是非常必要的，這不僅是數學本身的要求，也是語言科學的要求。
說到語言和詞性，了解壹些漢語的基礎知識是很有必要的。
1.名詞:表示人或事物、地點、位置等名稱的詞。
2.動詞:表示動作、發展變化、心理活動等的詞語。
微積分從誕生的第壹天起就沒有離開過矛盾和反駁。比如貝克勒反駁(無窮小反駁)，芝諾悖論等。如果，通過這些論證，我們可以發現，他們其實只是在變相的討論最終的形式！就像萊布尼茨關心粒子的最終命運壹樣。有人說柯西-威爾斯特拉斯對極限的定義有“極限回避”現象。這種說法是片面的，不客觀的，但還是指出了壹些問題(應該說是最終形式避免)。柯西-維爾斯特拉斯對極限的定義在被翻譯到中國的時候是非常經典的。柯西-維爾斯特拉斯對極限的定義不僅定義了極限，而且描繪了壹種運動現象——向極限逼近的運動(最終形式)。最後畫龍點睛，把最終形態稱為A(如果存在，不清楚怎麽來的)極限。
從語法上分析，這種說法實質上是給了“最終形式”壹個標題(名稱)——限制。所以在柯西-威爾斯特拉斯對極限的定義中，極限是名詞，不是動詞。
因此，接近極限的運動稱為極限現象。很多人理解柯西-威爾斯特拉斯對極限的定義，混淆極限現象和極限，籠統地把“極限現象”和“極限”叫做極限。
關於最終形式的學習，我曾經在《微積分4》的秘密報告中簡單講過。由於函數極限的現代定義沒有解釋最終形式(避免)！那麽，函數的極限定義要講什麽故事呢？相關的數學證明證明是什麽？
其實是在說壹件事:有極限(最終形態)就壹定有極限現象；反之，有極限現象，必有極限！簡單來說就是極限現象是極限(最終形式)的充要條件。所以，要證明極限的存在(不用研究它是怎麽來的)，就足以證明極限現象的存在，這確實有投機取巧的嫌疑！
正因為如此，極限的現代定義不能告訴妳極限從何而來，只能告訴妳極限是存在的(並且是可以證明的)。極限現象本質上是壹種運動現象。描述運動現象的理想工具是什麽——函數？所以，在函數(專業)極限的現代定義中，有些函數有味道(壹壹對應，總有ε和δ對應)也就不足為奇了。
有些人也挺離譜的，說極限是個動詞。原因是極限的本質是:“壹個可變的量無限接近壹個固定的量。”這是極端現象的本質，不是極端。
然而，要描述極限現象。壹定要有柯西-威爾斯特拉斯模型嗎？當然不是，模型是可以改變的，初等微積分已經改變了這個模型。簡化了壹些復雜的數學證明，如極限的唯壹性、函數的單調性等。
在柯西的著作中，沒有共同的語言，他的陳述似乎不準確，有時會導致錯誤，例如由於沒有建立壹致連續和壹致收斂的概念而產生的錯誤。但是關於微積分的原理，他的概念主要是正確的，其清晰程度是前所未有的。比如他對連續函數及其積分的定義就是準確的。他首先精確地證明了泰勒公式，他給出了級數斂散性的定義和壹些判別方法。雖然柯西主要研究分析，但他在數學的各個領域都做出了貢獻。至於其他運用數學的學科，他在天文學和光學方面的成就是次要的，但他是數學彈性理論的創始人之壹。除上述之外，他在數學方面的其他貢獻如下:
1.解析:壹階偏微分方程理論中行進特征線的基本概念；實現傅裏葉變換在解微分方程等方面的功能。
2.幾何學:創立了積分幾何學，得到了用平面直線上的壹些正交投影表示平面凸曲線長度的公式。
3.代數:首先證明階數超過的矩陣有特征值；首先，明確提出了置換群的概念，得到了群論中壹些非常規的結果。獨立發現所謂的“代數本質”，即格拉斯曼的外代數原理。