發展歷史
叫做商高定理，更壹般的叫做勾股定理。在中國古代，直角三角形中較短的直角邊叫鉤，較長的直角邊叫弦，斜邊叫弦。
勾股定理是幾何學中壹顆耀眼的明珠，被稱為“幾何學的基石”，在高等數學等學科中也有廣泛的應用。正因為如此，世界上的幾個古文明都被發現並被廣泛研究，所以有很多名字。
中國是發現和研究勾股定理最早的國家之壹。中國古代數學家把直角三角形叫做勾股，直角邊短的叫勾，直角邊長的叫股，斜邊叫弦，所以勾股定理也叫勾股弦定理。公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)回復周公，“故矩折，以為鉤三，股四，徑五。”如果正方形是方的，外半部分是矩，環是* * *，那就是345。兩個矩* * *是二十和五，叫做積矩。”因此，勾股定理在中國也被稱為“商高定理”。公元前7-6世紀，我國學者陳子曾給出過任意直角三角形的三邊關系，即“太陽定為鉤，太陽高為股，鉤與股相乘並分正方形，這樣就會斜對太陽。
其他國家稱勾股定理為“勾股定理”。
在陳子之後壹百二十年，希臘著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家把畢達哥拉斯定理稱為“勾股定理”。為了慶祝這個定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了壹百頭牛，作為祭祀神靈的獎勵，所以這個定理也被稱為“百牛定理”。
江明祖定理:江明祖是公元前11世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會。在中國古代，數學著作《江明祖算卦》中記載了商紂王與周公的壹段對話，這段對話講的是西漢戰國時期的事情。姜明祖說:“...所以折矩，勾寬三，修股四，過角五。”蔣明祖的話的意思是，當直角三角形的兩條直角邊分別為3(短邊)和4(長邊)時，半徑角(也就是弦)為5。以後人們會簡單地把這個事實描述為“勾三股四弦五”。這就是著名的蔣明祖定理。關於勾股定理的發現，蔣明祖的計算說:“所以，余之所以統治世界，是因為這個數是天生的。”“此數”指“三股四弦五”。這句話的意思是:三股四弦五的關系是大禹治水的時候發現的。
畢達哥拉斯樹是畢達哥拉斯根據畢達哥拉斯定理畫出的圖形，可以無限重復。因為重復幾次後形狀像樹，所以叫畢達哥拉斯樹。直角三角形的兩個直角的平方和等於斜邊的平方。兩個相鄰小正方形的面積之和等於壹個相鄰大正方形的面積。不等式A2+B2≥2AB可以用來證明以下結論:三個正方形之間的三角形的面積小於等於大正方形面積的四分之壹，大於等於小正方形面積的二分之壹。
法國和比利時也稱這個定理為“驢橋定理”。他們發現勾股定理比中國晚，中國是最早發現這個幾何寶藏的國家。目前初二學生教材的證明方法是用趙爽的弦圖，證明用的是綠-朱通路圖。勾股定理是壹個基本的幾何定理，它是用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之壹，是數形結合的紐帶之壹。直角三角形的兩個直角的平方和等於斜邊的平方。如果用a，b，c來表示壹個直角三角形的右邊和斜邊，那麽a？+b？=c？。
折疊編輯這壹段定理定義
任意平面直角三角形中的兩個勾股定理直角的平方和必須等於斜邊的平方。又稱“商高定理”。在國外被稱為“畢達哥拉斯定理”。
直角三角形的兩個直角(即“鉤”和“股”)的邊長的平方和等於斜邊(即“弦”)的邊長的平方。也就是說，如果壹個直角三角形的兩個直角是A和B，斜邊是C，那麽勾股定理的公式就是A？+b？=c？。勾股定理的證明方法大約有400種，勾股定理是數學中被證明最多的定理之壹。勾股數組不定方程a？+ b？= c？的正整數群是A，B，c b，c. A = 3，B = 4，C = 5是壹組勾股數組。因為方程包含三個未知數，所以畢達哥拉斯數組有無窮多個解。
勾股定理
折疊編輯此段以驗證推導
折疊式藍墨水存取圖
勾股定理青朱圖是勾股定理的壹種幾何證明，是東漢末年數學家劉徽利用數形關系，按照“挖填法”證明的。其方法富有東方智慧，特色鮮明，通俗易懂。
劉輝這樣描述這個畫面，“鉤乘朱芳，股乘方清，使進與出相輔相成，各按其型，因為其余都是靜止的，合成了和弦的力量。除了藥方，也是壹串。”大意是，任意壹個直角三角形，鉤寬為紅色正方形，稱為朱芳，頭為青色正方形，稱為方清。將朱芳和方清兩個方塊在底部對齊，然後切割填充——以盈補虧，保持在分界線以內，線外“各按其類”。合成和弦的方塊是和弦方塊，合成和弦方塊的方塊是弦長。
折疊趙雙勾股方圖的證明方法
中國三國時期，趙爽為了證明勾股定理，做了壹個勾股方圖，也就是弦圖。按照它的證明思想，它的方法可以覆蓋所有的直角三角形，是壹種具有東方特色的勾股定理的無字證明方法。第24屆國際數學家大會於2002年在北京舉行。中國郵政發行了郵資明信片，郵資地圖是本次大會的會徽——趙雙仙中國古代證明勾股定理的地圖。
畢達哥拉斯折疊定律
勾股定理任何學過代數和幾何的人都會聽說勾股定理。這個著名的定理被廣泛應用於數學、建築和測量的許多分支。古埃及人利用他們對這個定理的了解來構造直角。他們每隔3、4、5個單位綁上繩子，但是畢達哥拉斯樹把三段繩子拉直形成壹個三角形。他們知道與三角形最大邊相對的角總是直角。畢達哥拉斯定理；給定壹個直角三角形，該直角三角形斜邊的平方等於同壹個直角三角形兩條右邊的平方之和。反之亦然；如果三角形兩條邊的平方和等於第三條邊的平方，則該三角形是直角三角形。
歐幾裏德的證明畢達哥拉斯樹是畢達哥拉斯根據畢達哥拉斯定理畫出的圖形，可以無限重復。又叫畢達哥拉斯樹，是因為重復幾次後，形狀像樹。直角三角形的兩個直角的平方和等於斜邊的平方。兩個相鄰小正方形的面積之和等於壹個相鄰大正方形的面積。所有相同度數的小正方形的面積之和等於最大正方形的面積，直角三角形的兩條直角邊的面積之和等於斜邊的面積。利用不等式A 2+B 2 ≥ 2AB
歐幾裏得的《幾何原本》給出了勾股定理的如下證明。設△ABC為直角三角形，其中A為直角。從A點到對面畫壹條直線，使其垂直於對面。延伸這條線將對面的正方形壹分為二，其面積等於另外兩個正方形。
在證明該定理時，我們需要以下四個輔助定理:
如果兩個三角形有兩組對應的邊，並且兩組邊之間的角度相等，那麽這兩個三角形全等。(SAS定理)
三角形的面積是任何底邊和高相同的平行四邊形面積的壹半。
任何正方形的面積都等於它兩邊的乘積。
任何矩形的面積都等於其兩條邊的乘積(根據輔助定理3)。
證明的思路是:通過壹個等高同底的三角形，把上面的兩個正方形轉化為下面兩個面積相等的矩形。
這被證明如下:
設△ABC為直角三角形，其直角為CAB。
它的邊是BC，AB，CA，依次畫成四個方塊CBDE，巴夫，ACIH。
畫出BD和CE與a點相交的平行線，這條線將分別在K和L點與BC和DE成直角相交。
分別連接CF和AD，形成兩個三角形BCF和BDA。
∠CAB和∠BAG是直角，所以C，A，G都是* * *線。同樣，B，A，H***線也可以證明。
∠CBD和∠FBA是直角，所以∠ABD等於∠FBC。
因為AB和BD分別等於FB和BC，△ABD必然等於△FBC。
因為A和K，L在壹條線上，所以BDLK的平方必須是△ABD的兩倍。
因為C，A和G在同壹條直線上，所以BAGF的平方必須是△FBC面積的兩倍。
所以四邊形BDLK壹定有相同的面積BAGF = AB？。
同樣，四邊形的面積也必須相等ACIH = AC？。
把這兩個結果加起來，AB？+ AC？= BD×BK + KL×KC
由於BD=KL，BD×BK+KL×KC = BD(BK+KC) = BD×BC。
既然CBDE是正方形，AB？+ AC？= BC？。
這個證明是在歐幾裏得的《幾何原本》第1.47節提出的。因為這個定理的證明依賴於平行公理，而平行公理可以從這個定理推導出來，所以很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，直到19世紀出現了試圖否定第五公理的非歐幾何。
折疊並編輯這壹段的主要意思
(1)勾股定理是第壹個把數學中兩個最基本、最原始的對象——數和形聯系起來的定理。
(2)勾股定理導致不可公度量的發現，從而深刻揭示了數與量的區別，即所謂“無理數”與有理數的區別。這就是所謂的第壹次數學危機。
(3)勾股定理開始將數學從計算和測量的技術轉變為證明和推理的科學。
⑷勾股定理中的公式是第壹個不定方程，也是最早得到完全解的不定方程。壹方面引出了各種不定方程，另壹方面也為不定方程的求解樹立了典範。