數列通項公式直接表達了數列的本質，是給出數列的重要方法。級數的通項公式有兩個作用。第壹，級數的任何壹項都可以由級數的通項公式求出。其次，我們可以通過數列的通項公式來判斷壹個數是不是數列的項，是哪壹項。所以求級數的通項公式是高中數學最常見的題型之壹。既考查了等價變換和化歸的數學思想，又反映了學生對級數的理解。它具有壹定的技能，是衡量學生數學素質的要素之壹，所以它經常滲透在高考和數學競賽中。本文介紹了幾種常見的求級數通項的方法，以期給讀者壹些啟示。
第壹，常規序列的壹般術語
例1:求下列數列的通項公式
(1)2(22—1),3(32—1),4(42—1),5(52—1),…
(2)-1×2(1),2×3(1),-3×4(1),4×5(1),…
(3)3(2),1,7(10),9(17),11(26),…
解:(1)安= n (N2-1) (2)安= n (n+1) (-1) n) (3)安= 2n+1 (N2+6538)
點評:仔細觀察給定數據的結構特征，找出an和n的對應關系，正確寫出對應的表達式。
二、算術和幾何級數的通稱
利用通項公式an = a1+(n-1) d和an = a1qn-1直接寫出通項，但先根據條件求第壹項、容差和公比。
第三，揮桿序列的壹般術語
例2:寫出數列1，-1，1，-1，…
解:an = (-1) n-1
變式1:求數列0，2，0，2，0，2，…
分析與求解:如果從1中減去每壹項，則順序為-1，1，-1，1，…
所以級數的通式是an = 1+(-1) n。
變式2:求數列3，0，3，0，3，0，…的通式。
分析與解答:如果每項乘以3(2)，數列就變成2，0，2，0，…
所以級數的通式是an = 2(3)[1+(-1)n-1]。
變式3:求數列5，1，5，1，5，1，…
分析與求解1:如果從1中減去每壹項，數列就會變成4，0，4，0，…
所以數列的通式是an = 1+2×3(2)[1+(-1)n-1]= 1+3(4)[1+(-65438)
分析與解答2:如果從3中減去每壹項，數列就變成2，-2，2，-2，…
所以數列的通式是an = 3+2 (-1) n-1。
第四，循環序列的通項
例3:寫出數列0.1，0.01，0.001，0.0001，…
解:an= 10n(1)
變式1:求數列0.5，0.05，0.005，…
解:an= 10n(5)
變式2:求數列0.9，0.99，0.999，…的通式。
分析求解:本數列的每壹項加上數列的每壹項0.1，0.01，0.001，0.0001，...而所有的項都是1，所以an = 1-65438。
變式3:求數列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的通式。
解:An = 9(7)(1-10N(1))
例4:寫出數列1，10，100，1000，…
解:an = 10n-1。
變式1:求數列9，99，999，…
分析和解決方法:將這個數列的每壹項加1得到數列10，100，1000，…所以an = 10N-1。
變式2:寫出數列4，44，444，4444…的通式。
解:An = 9 (4) (10N-1)
解說:在平日的教與學過程中，需要通過數列的基本通式，這就要求提高課堂教與學的效率，多總結和反思，註重聯想和對比分析，避免類比，也沒有必要害怕復雜數列的通式。
5.用算術和幾何級數求和求通項。
例5:求下列數列的通式。
(1)0.7,0.77,0.777,… (2)3,33,333,3333,…
(3)12,1212,121212,… (4)1,1+2,1+2+3,…
解:(1)an = = 7×= 7×(0.1+0.01+0.001+…+)
= 7×(10(1)+102(1)+103(1)+…+10n(1))= = 9(7)(1-10n(1))
(2)an = = 3×= 3×(1+10+100+…+10n)= 3×1-10(1-10n)= 3(1)(10n-1)
(3)an = = 12×(1+100+10000+…+100n-1 = 100(1-100n)= 33(4)(65438+65438
(4)an = 1+2+3+…n = 2(n(n+1))
點評:關鍵是根據數據的變化規律，明確N項的數據特征。
6.用累加法求an = an-1+f (n)的通項。
例6: (1)序列{an}滿足a1=1且an = an-1+3n-2 (n ≥ 2)，求an。
(2)序列{an}滿足a1=1，an = an-1+2n (1) (n ≥ 2)，求an。
解:(1)我們從an = an-1知道an-an-1 = 3n-2，f (n) = 3n-2 = an-an-1。
那麽an =(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+……(A2-a 1)+a 1。
= f(n)+f(n-1)+f(n-2)+…f(2)+a 1
=(3n-2)+[3(n-1)-2]+[3(n-2)-2]+…+(3×2-2)+1
= 3[n+(n-1)+(n-2)+…+2]-2(n-1)+1
= 3×2((n+2)(n-1))-2n+3 = 2(3n 2-n)
(2)我們知道an-an-1+2n (1)是an-an-1 = 2n (1)，f (n) = 2n (1) = an-an-65438+。
那麽an =(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+……(A2-a 1)+a 1。
= f(n)+f(n-1)+f(n-2)+…f(2)+a 1
= 2n(1)+2n-1(1)+2n-2(1)+…+22(1)+1 = 2(1)-2n(1)
點評:當f(n)=d(d為常數)時，數列{an}為等差數列，課本上對等差數列通項公式的推導實際上是用累加的方法得到的。
七、用累加法求an = f (n) An-1型通項。
例7:(1)若已知序列{an}滿足a1=1且an = n(2(n-1))an-1(n≥2)，求an。
(2)序列{an}滿足a1=2(1)和an = 2n (1) an-1，所以求an。
解:(1)由條件an-1 (an) = n (2 (n-1))，f (n) = n (2 (n-1))給出。
an = an-1(an)an-2(an-1)…a 1(a2)a 1 = f(n)f(n-1)f(n-2)…f(2)f(2)a 1
= n(2(n-1))n-1(2(n-2))n-2(2(n-3))…3(2×2)2(2×1)1 = n(2n-1)
(2)an = an—1(an)an—2(an—1)…a 1(a2)a 1 = 2n(1)2n-1(1)…22(1)2(1)= 21+2+…+n(1)= 2
註釋:若f(n)=q(q為常數)，則{an}為幾何級數，an = f (n) an-1級數為幾何級數的推廣。實際上，教材中對幾何級數通式的推導是用累加法推導出來的。
八、用待定系數法求an = AAN-1+B數列的通項。
例8:數列{an}滿足a1=1，an+1+2an = 1，求其通式。
解:已知an+1+2AN = 1，即an =-2AN-1+1。
設an+x =-2 (an-1+x)，則an =-2 an-1-3x，所以-3x = 1，所以x =-3 (1)。
∴安-3(1)=-2(安-1-3(1))
因此，{an-3 (1)}是壹個公比q為-2，第壹項為an-3 (1) = 3 (2)的幾何級數。
∴an-3(1)=3(2)(-2)n-1=3(1-(-2)n)
評論:壹般來說，如果an+x = a (an-1+x)有an = an-1+(a-1) x，則有。
(a-1) x = b知道x = a-1 (b)，所以an+a-1(b)= a(an-1+a-1(b))，所以序列{
An =(A 1+A-1(B))An-1-A-1(B)；特別地，當A=0時，{an}是等差數列；當A≠0，B=0時，數列{an}是等比數列。
推廣:對於通項公式an = an-1+f (n) (A ≠ 0且A∈R)，通項公式也可以用待定系數法求解。
例9:序列{an}滿足a1=1，an = 2an-1+3n (1) (n ≥ 2)，所以求an。
解法:設an+x 3n(1)= 2(an+x 3n-1(1))，則an = 2an-1+2x 3n-1(1)。
而從已知的an = 2an-1+3n (1)所以5x=1，那麽x=5(1)。所以an+5(1)3n(1)= 2(an-1+5(1)3n-1(1))。
因此，{an+5 (1) 3n (1)}為q=2，第壹項為a 1+5(1)3(1)= 15(65438)。
所以an+5(1)3n(1)= 15(16)×2n-1，那麽an = 15 (16) × 2n-65438。
評論:壹般來說，對於條件an = AAN-1+f (n)，an+g(n)= a[an-1+g(n-1)]，那麽就有Ag (n-1)。值得註意的是an+g(n)與an-1+g (n-1)的對應關系。特別地，當f(n)=B(B是常數)時，就是前述的例子8。
這種做法能否進壹步推廣？對於an = f (n) an-1+g (n)級數，能否用待定系數法求通項公式？
我們舉個例子來類比壹下:設an+k(n)= f(n)[an-1+k(n-1)]展開得到。
an = f(n)an-1+f(n)k(n-1)-k(n)，這樣f (n) k (n-1)-k (n) = g (n)，理論上，由
序列{an}滿足a1=1，an = 2n(n)an-1+n+1(1)。求其通式。
這樣就得到了2n(n)k(n-1)-k(n)= n+1(1)。顯然，目前我們還不能用高中數學的知識輕易算出k (n)。
九、通過Sn找到壹個
例10:序列{an}滿足an = 5sn-3，所以求an。
解:設n=1，用A1 = 5an-3，∴a1=4(3).As an = 5Sn-3......................................................................................................................................................................
那麽an-1 = 5Sn-1-3................
①-②安-安-1 = 5 (sn-sn-1) ∴安-安-1 = 5an。
所以an =-4 (1) an-1，那麽{an}就是q =-4 (1)且第壹項an=4(3)的幾何級數，那麽an = 4 (3) (-4 (1)。
註釋:遞推關系包含Sn，通項公式通常由Sn與an的關系得到(an = sn-sn-1 (n ≥ 2))。具體有兩種:壹是將遞推關系揭示的前n項與通項之間的關系轉化為項與項之間的關系，然後根據新的遞推關系得到通項。二是通過an = sn-sn-1將遞推關系揭示的前n項之和與通項的關系轉化為前n項之和與前n-1項之和的關系，然後根據新的遞推關系得到通項公式。
十、把倒數變成等差數列。
例11:已知序列{an}滿足a1=1和a。
n+1=
An+2(2An)，求an。
解決方案:由a
n+1=
An+2(2an)有壹個+1(1)= 2an(an+2)= 2(1)+an(1)，意思是an+1 (1)-an。
所以數列{an(1)}是壹個第壹項為a1(1)=1，容差為d=2(1)的等差數列。
那麽an(1)= 1+(n-1)2(1)= 2(n+1)，所以an=n+1(2)。
點評:註意觀察和分析題目條件的結構特征，修改給定的遞歸關系，使與所求數列(本例中為數列{an(1)})相關的數列為算術或幾何級數，只需解方程即可得到通項公式。
十壹、構造函數模型成幾何級數。
例12:已知序列{an}滿足a1=3和a。
n+1=
(an-1) 2+1，找安。
解決方案:根據條件a
n+1=
(an-1) 2+1得了個a。
n+1-1=
(an-1)2
兩邊的對數都是lg(a
n+1-1)= LG((an-1)2)= 2LG(an-1)，也就是
所以數列{LG (an-1)}是壹個第壹項LG (a1-1) = lg2，公比為2的幾何級數。
因此，LG(an-1)= lg2 2n-1 = LG。
那麽an-1 =也就是an=+1
點評:通過構造對數函數，達到降階的程度，將原來的遞歸關系轉化為幾何級數。
十二、數學歸納法
例13:序列{an}滿足a1=4和a。
n=4-
An-1 (4) (n ≥ 2)，求An。
解答:通過遞歸關系找到數列的前幾項，如下所示
a1=4=2+1(2) a2=4-
a1(4)=3=2+2(2) a3=4-
a2(4)=3(8)=2+3(2)
a4=4-
a3(4)=2(5)=2+4(2) a5=4-
a4(4)=5(12)=2+5(2) a6=4-
a5(4)=3(7)=2+6(2)
猜測:通式為an=2+n(2)。證明是用歸納法給出的
顯然，當n=1，a1=4=2+1(2)時，等式成立。
假設當n=k時，等式成立，即ak=2+k(2)
那麽當n=k+1時，a
k+1=4-
ak(4)=4-
k(2))k(2)= 4-k+1(2k)= 2+2-k+1(2k)= 2+k+1(2)
根據歸納原理，對所有n∈N+都存在an=2+n(2)。
點評:先根據遞推關系計算前幾項，通過觀察數據特征猜測總結出通項公式，再用數學歸納法證明。
十三。綜合應用
示例14:其項目已知為正的數列{a
n2=a
N-12+2 (n ≥ 2)，求壹個。
解決方案:由a
n2=a
N-12+2知道壹個
n2-a
n-12=2
然後系列{a
12=1的等差數列。
所以a
N2 = 1+2(n-1)= 2n-1，這意味著an=
示例15:序列{a
n+1=a
n+6a
N-1 (n ≥ 2)，求壹個。
解決方案:讓a
n+1+λa
n=μ(a
n+λa
N-1)，然後
n+1=(μ-λ)a
n+μλa
n-1
和壹個
n+1=a
n+6a
N-1是解決方案或。
當λ=2且μ=3時，A
n+1+2a
n=3(a
n+2a
N-1)，即
n+1+2a
不適用
n+2a
n-1) =3
然後系列{a
2+2a
1=15的幾何級數。
所以，壹
n+2a
n-1 = 15×3N-1 = 5×3N是a。
n=-2a
n-1+5×3n
淩
n+x 3n =-2(a
N-1+x 3n-1)那麽a。
n=-2a
N-1-x 3n，所以x =-1。
所以，壹
n-3n =-2(a
n-1-3n-1)
從而{a
1-3 = 2的幾何級數。
所以，壹
N-3N = 2× (-2) N-1是a。
n=3n+2×(-2)n-1=3n-(-2)n
當λ =-3，μ =-2時，同樣可以得到A。
n=3n-(-2)n
因此，序列{a
n=3n-(-2)n
小結:本文只介紹幾種常用的求數列通項公式的方法。可見，求數列的通項公式(尤其是遞歸關系給出的數列)確實是很有技巧的，這與我們所學的基礎知識技能、基本思想方法有很大的關系。因此，在平日的教與學過程中，既要加強基礎知識、基本方法、基本技能、基本思想的學習，又要註重培養和提高數學素質和能力。這就要求師生雙方都要提高課堂教與學的效率，更加註重總結和反思，註重聯想和比較分析，避免類比，對壹些看似不起眼的基本命題進行橫向和縱向的拓寬和深化，通過弱化或強化條件和結論來揭示其與某些問題的聯系和區別，使之變成新的命題。這樣，無論從內容的發散，還是解題思維的深化，都能得到“秀出壹枝，嫁接成林”的效果，有利於創新思維的形成和發展。