證明
壹、準備知識: 引理1.剩余系定理2 若a,b,c為任意3個整數,m為正整數,且(m,c)=1,則當ac≡bc(mod m)時,有a≡b(mod m) 證明:ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因為(m,c)=1即m,c互質,c可以約去,a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m) 引理2.剩余系定理5 若m為整數且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]為m個整數,若在這m個數中任取2個整數對m不同余,則這m個整數對m構成完全剩余系。 證明:構造m的完全剩余系(0,1,2,…m-1),所有的整數必然這些整數中的1個對模m同余。取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m。令(1):a[1]≡r[1](mod m),a[2]≡r[2](mod m),a≡r(mod m)(順序可以不同),因為只有在這種情況下才能保證集合{a1,a2,a3,a4,…am}中的任意2個數不同余,否則必然有2個數同余。由式(1)自然得到集合{a1,a2,a3,a4,…am}對m構成完全剩余系。 引理3.剩余系定理7 設m是壹個整數,且m>1,b是壹個整數且(m,b)=1。如果a1,a2,a3,a4,…am是模m的壹個完全剩余系,則ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也構成模m的壹個完全剩余系。 證明:若存在2個整數ba和ba[j]同余即ba≡ba[j](mod m),根據引理1則有a≡a[j](mod m)。根據完全剩余系的定義和引理4(完全剩余系中任意2個數之間不同余,易證明)可知這是不可能的,因此不存在2個整數ba和ba[j]同余。由引理5可知ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]構成模m的壹個完全剩余系。 引理4.同余定理6 如果a,b,c,d是四個整數,且a≡b(mod m),c≡d(mod m),則有ac≡bd(mod m) 證明:由題設得ac≡bc(mod m),bc≡bd(mod m),由模運算的傳遞性可得ac≡bd(mod m) 二、證明過程: 構造素數p的完全剩余系P={1,2,3,4…(p-1)},因為(a,p)=1,由引理3可得A={a,2a,3a,4a,…(p-1)a}也是p的壹個完全剩余系。令W=1*2*3*4…*(p-1),顯然W≡W(mod p)。令Y=a*2a*3a*4a*…(p-1)a,因為{a,2a,3a,4a,…(p-1)a}是p的完全剩余系,由引理2以及引理4可得a*2a*3a*…(p-1)a≡1*2*3*…(p-1)(mod p)即W*a^(p-1)≡W(modp)。易知(W,p)=1,由引理1可知a^(p-1)≡1(modp)