初壹 第壹試
2007年3月18日 上午8：30至10：00
壹、選擇題（每小題4分，***40分）以下每題的四個選項中，僅有壹個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在下面的表格內。
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ***得
答案
1． 在 ， ， ，18這四個有理數中，負數***有（ ）
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
2．小明在作業本上畫了4個角，它們的度數如圖1所示，這些角中鈍角有（ ）
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
3．If the n-th prime number is 47, then n is( )
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
(英漢詞典：the n-th prime number第n個質數)
4．有理數a,b,c在數軸上對應的點的位置如圖2所示，給出下面四個命題：
（A）abc<0 （B）
（C）(a-b)(b-c)(c-a)>0 （D）
其中正確的命題有（ ）
（A）4個 （B）3個 （C）2個 （D）1個
5．如圖3，“人文奧運”這4個藝術字中，軸對稱圖形有（ ）
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
6．已知p，q，r，s是互不相同的正整數，且滿足 ，則（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．韓老師特制了4個同樣的立方塊，並將它們如圖4（a）放置，然後又如圖4（b）放置，則圖4（b）中四個底面正方形中的點數之和為（ ）
（A）11 （B）13 （C）14 （D）16
8．如圖5，若AB//CD，則∠B、∠C、∠E三者之間的關系是（ ）
（A）∠B+∠C+∠E=180? （B）∠B+∠E-∠C=180?
（C）∠B+∠C-∠E=180? （D）∠C+∠E-∠B=180?
9．以x 為未知數的方程2007x+2007a+2008a=0（a,b為有理數，且b>0）有正整數解，則ab是（ ）
（A）負數 （B）非負數 （C）正數 （D）零
10．對任意四個有理數a，b，c，d定義新運算： =ad-bc，已知 =18，則x=（ ）
（A）-1 （B）2 （C）3 （D）4
二、A組填空題（每小題4分，***40分）
11．小明已進行了20場比賽，其中贏的場數占95%，若以後小明壹場都不輸，則贏的場數恰好占96%，小明還需要進行 場比賽。
12．如圖6，D點在Rt△ABC的直角邊上BC上，且BD=2，DC=3，若AB=m，AD=n，那麽
= 。
13．The average number of p,q,r is 4,and average number of p,q,r,x is 5,then x = 。
(英文詞典：average number平均數)
14. 計算： = 。
15．如果 與 互為相反數，那麽 = 。
16．如圖7，正方形ABCD的面積為25平方厘米，點E在AB上，BE=1.5AE,點F在BC上，BE=4CF，則點D到EF的距離為 平方厘米。
17．三個有理數a，b，c滿足a：b：c=2：3：5, 且 ，則a+b+c= 。
18．男女運動員各壹名，在環行跑道上練習長跑，男運動員比女運動員速度快，如果他們從同壹起跑點沿相反方向同時出發，那麽每隔25分鐘相遇壹次，現在他們從同壹起跑點沿相同方向同時出發，男運動員經過15分鐘追上女運動員，並且比女運動員多跑了16圈，女運動員跑了 圈。
19．已知m，n，p都整數，且 ，則 = 。
20．已知 ，則 = 。
三、B組填空題（每小題8分，***49分，每壹題兩個空，每空4分）
21．現在含有鹽水15%的鹽水100千克，若要使此鹽水含鹽百分比增加5%，需加純鹽 千克；若要使此鹽水含鹽百分比降低5%，需加水 千克。
22．我國著名田徑運動員劉翔以12秒88創110米跨欄世界新記錄後，專家組將劉翔歷次比賽和訓練時的圖象與數據輸入電腦後分析，顯示出他跨過10欄（相鄰兩個欄間的距離相等）的每個“欄周期”（跨過相鄰兩個欄所用時間）都不超過壹秒，最快的壹個“欄周期”達到了驚人的0.96秒，從起跑線到第壹個欄的距離為13.72米，劉翔此段的最好成績是2.5秒，；最後壹個欄到終點線的距離為14.02米，劉翔在此段的最好成績是1.4秒。根據上述數據計算：相鄰兩個欄間的距離是 秒，在理論上，劉翔110米跨欄的最好成績可達到 秒。
23．有位詩人這樣贊美漓江的水：情壹樣的深啊，夢壹樣美。/如情似夢漓江的水。翻譯出版的詩集中，這段話的英譯文是：“Deep as feeling and sweet dremas/The lijiang River ever runs”請統計在段英文詩句中英文字母（26個）出現的次數，出現次數最少的英文字母有 個；出現次數最多的英文字母的頻率是 。
24．如果 ，那麽 = = 。
25．將長度為25厘米的細鐵折成邊長都是質數（單位：厘米）的三角形，若這樣的三角形的三邊的長分別是a,b,c,且滿足a≤b≤c, 則（a,b,c）有 組解，所構成的三角形都是 三角形。
第十八屆“希望杯”全國數學邀請賽試題答案（初壹）
壹、選擇題：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B C C D B A C
提示：2、90°<鈍角<180°
3、如果第n個質數是47，那麽n=____.2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47…
7、由（a）得： 1—5 ，2—4 ，3—6，所以1+3+6+6=16
8、過E作EG//AB 可得：∠B+∠E-∠C=180°
9、解方程得：x= 為正整數，所以-2007a-2008b>0,因為b>0，所以a<0,可得ab<0.
二、A組填空題
提示：11、設還需進行x場，則20×95%+x=（20+x）×96%解得：x=5
12、勾股定理：m2=BC2+AC2=52+AC2 n2=DC2+AC2=32+AC2 可得：m2 - n2 =16
13、p,q,r的平均數是4，p，q，r，x的平均數是5，x=？
P+q+r=4×3=12 ， p+q+r+x=5×4=20，所以x=8
14、原式= = =
15、-1
16、連DE，DF，由已知得AB=BC=CD=DA=5，AE=2，BE=3，BF=4，CF=1，可得EF=5，且S△DEF=11.5,所以h=4.6.
17、設a=2k,b=3k,c=5k代入可得k= ，所以a+b+c=10k=
18、設女運動員跑了x圈，則男運動員跑了x+16圈，
則：
解得：x=10
19、由題意得：m=n+1,p=m或m=n,p=m+1,當m=n+1,p=m時原式=3；,當m=n,p=m+1時原式=3。所以原式=3
20、原式=3a6+12a4-(a3+2a)+12a2-4
=3a6+12a4+12a2-2
=3a3(a3+2a+2a)+12a2-2
=3(-2a-2)(-2+2a)+12a2-2
=12-12a2+12a2-2
=10
三、B組填空題
提示：
21、6.25 50 解略
22、(110-13.72-14.02)÷(10-1)=9.14
2.5+0.96×9+1.4=12.54
23、8；
24、楊輝三角： 1
2 -1 1次
4 -4 1 2次
8 -12 6 -1 3次
…
64 -192 240 -160 60 -12 1 6次
所以：壹式=1-12+60-160+240-192+64=1
二式=1+60+240+64=365
25、有11+11+3=25，7+7+11=25，兩組；且都是等腰三角形