初二 第2試
2006年4月16日 上午8：30至lO：30 得分___________
壹、選擇題(每小題4分，***40分．)以下每題的四個選項中，僅有壹個是正確的，請將表示正確答案的英文字母填在每題後面的圓括號內．
1．下列四組根式中，是同類二次根式的壹組是( )
2．要使代數式 有意義，那麽實數x的取值範圍是( )
3．以線段a=13，b=13，c=10，d=6為邊作梯形，其中a，c為梯形的兩底，這樣的梯形( )
(A)能作壹個． (B)能作兩個． (C)能作無數個． (D)壹個也不能作．
(英漢詞典：Fig．figure的縮寫，圖；quadrilateral四邊形；diagonal對角線；value數值；variable變量；to depend on取決於；position位置)
(A)是完全平方數，還是奇數． (B)是完全平方數，還是偶數．
(C)不是完全平方數，但是奇數． (D)不是完全平方數，但是偶數．
6．將任意壹張凸四邊形的紙片對折，使它的兩個不相鄰的頂點重合，然後剪去紙片的不重合部分，展開紙片，再壹次對折，使另外的兩個頂點重合，再剪去不重合的部分後展開，此時紙片的形狀是( )
(A)正方形． (B)長方形． (C)菱形． (D)等腰梯形．
7．若a,b,c都是大於l的自然數，且 =252b,則n的最小值是( )
(A)42． (B)24． (C)21 (D)15
(英漢詞典：two-placed number兩位數；number數，個數；to satisfy滿足；complete square完全平方(數)；total總的，總數)
9．下表是某電臺本星期的流行歌曲排行榜，其中歌曲J是新上榜的歌曲，箭頭“↑”或“↓”分別表示該歌曲相對於上星期名次的變化情況，“↑”表示上升，“↓”表示下降，不標註的則表明名次沒有變化，已知每首歌的名次變化都不超過兩位，則上星期排在第1，5，7名的歌曲分別是( )
(A)D，E，H． (B)C，F，I． (C)C，E，I． (D)C，F，H．
10．設n(n≥2)個正整數 ， ，…， ，任意改變它們的順序後，記作 ， ，…， ，若P=( - )( - )( )…( 壹 )，則( )
(A)P壹定是奇數． (B)P壹定是偶數．
(C)當n是奇數時，P是偶數． (D)當”是偶數時，P是奇數．
二、填空題(每小題4分，***40分．)
11．消防雲梯的長度是34米，在壹次執行任務時，它只能停在離大樓16米遠的地方，則雲梯能達到大樓的高度是______米．
15．從凸n邊形的壹個頂點引出的所有對角線把這個凸n邊形分成了m個小三角形，若m等於這個凸n邊形對角線條數的 ，那麽此n邊形的內角和為_____．
16．某種球形病毒，直徑是0.01納米，每壹個病毒每過壹分鐘就能繁殖出9個與自己同樣的病毒，假如這種病毒在人體中聚集到壹定數量，按這樣的數量排列成壹串，長度達到1分米時，人就會感到不適，那麽人從感染第壹個病毒後，經過_______分鐘，就會感到不適．(1米=10 納米)
19．如圖2，等腰△ABC中，AB=AC，P點在BC邊上的高AD上，且 ，
BP的延長線交AC於E，若 =10，則 =______， =_______.
20．壹個圓周上依次放有1，2，3，…，20***20個號碼牌，隨意選定壹個號碼牌(如8)，從它開始，先把它拿掉，然後每隔壹個拿掉壹個(如依次拿掉8，10，12，…)，並壹直循環下去，直到剩余兩個號碼牌時停止，則最後剩余的兩個號碼的差的絕對值是______或_______．
三、解答題(本大題***3小題，***40分．) 要求：寫出推算過程．
21．(本小題滿分10分)
如圖3，正方形ABCD的邊長為a，點E、F、G、H分別在正方形的四條邊上，已知EF‖GH．EF=GH．
(1)若AE=AH= ，求四邊形EFGH的周長和面積；
(2)求四邊形EFGH的周長的最小值．
22．(本小題滿分15分)
已知A港在B港的上遊，小船於淩晨3:00從A港出發開往B港，到達後立即返回，來回穿梭於A、B港之間，若小船在靜水中的速度為16千米／小時，水流速度為4千米／小時，在當晚23：OO時，有人看見小船在距離A港80千米處行駛．求A、B兩個港口之間的距離.
23．(本小題滿分15分)
在2,3兩個數之間，第壹次寫上 ，第二次在2，5之間和5，3之間分別寫上 和 ,如下所示：
第k次操作是在上壹次操作的基礎上，在每兩個相鄰的數之間寫上這兩個數的和的 .
(1)請寫出第3次操作後所得到的9個數，並求出它們的和；
(2)經過k次操作後所有數的和記為 ，第k+1次操作後所有數的和記為 ，寫出 與 之間的關系式；
(3)求 的值.
第十七屆“希望杯”全國數學邀請賽
參考答案及評分標準
初中二年級 第2試
壹．選擇題(每小題4分)
二．填空題(每小題4分)
三、解答題
21．(1)如圖1，連結HF．由題知四邊形EFGH是平行四
邊形，所以
又
所以
所以 (3分)
所以△AHE和△DHG都是等腰直角三角形，故∠EHG= ，四邊形EFGH是矩形．
易求得
所以四邊形EFGH的周長
為2 ，面積為 ．(5分)
(2)如圖2，作點H關於AB邊的對稱點 ，連結 ，交AB於 ，連結
H．顯然，點E選在 處時．EH+EF的值最小，最小值等於 .
(7分)
仿(1)可知當AE≠AH時，亦有
(8分)
所以
因此，四邊形EFGH周長的最小值為2 ．
(10分)
22．設A、B兩個港口之間的距離為L，顯然
(1分)
(1)若小船在23：00時正順流而下，則小船由A港到達下遊80千米處需用
即19：00時小船在A港，那麽在3：00到19：00的時間段內，小船順流行駛的路程與逆流行駛的路程相同，而所用的時間與速度成反比，設小船順流行駛用了t小時，則逆流行駛用了(16壹t)小時，所以
解得 t=6 (5分)
即順流行駛了
由於
所以A、B兩個港口之間的距離是120千米．
(7分)
(2)若小船在23：00時正逆流而上，則小船到達A港需再用
即小船在
內順流行駛的路程與逆流行駛的路程相同，而所用的時間與速度成反比，設小船順流行駛用了 小時，則逆流行駛用了 小時，所以
解得 (12分)
即順流行駛了
由於
所以A、B兩個港口之間的距離可能是100千米或200千米． (14分)
綜上所述，A、B兩港口之間的距離可能是100千米或120千米或200千米． （15分)
23．(1)第3次操作後所得到的9個數為
它們的和為 (4分)
(2)由題設知 =5，則
(10分)
(3)因為
所以
(15分)