成語出處和典故及釋義如下：
1、鞠躬盡瘁（諸葛亮）
出自三國·蜀·諸葛亮《後出師表》：“臣鞠躬盡力，死而後已。”
釋義：指勤勤懇懇，竭盡心力。
2、壹字千金（呂不韋）
出自《史記·呂不韋列傳》：“布鹹陽市門，懸千金其上，延諸侯遊士賓客有能增損壹字者予千金。”
釋義：增損壹字，賞予千金。稱贊文辭精妙，不可更改。
3、壹字之師（鄭谷）
出自宋·計有功《唐詩紀事》：“鄭谷改僧齊己《早梅》詩：‘數枝開’作‘壹枝開’。齊己下拜，人以谷為壹字師。”
釋義：改正壹個字的老師。有些好詩文，經旁人改換壹個字後更為完美，往往稱改字的人為“壹字師”或“壹字之師”。
4、東山再起（謝安）
出自《晉書·謝安傳》：“隱居會稽東山，年逾四十復出為桓溫司馬，累遷中書、司徒等要職，晉室賴以轉危為安。”
釋義：指再度出任要職。也比喻失勢之後又重新得勢。
5、壹飯千金（韓信）
出自《史記·淮陰侯列傳》：“信釣於城下，諸漂母漂，有壹母見信饑，飯信，竟漂數十日。”又：“信至國，如所從食漂母，賜千金。”
釋義：比喻厚厚地報答對自己有恩的人。
學習成語的方法
首先，妳可以多讀多聽，尤其是經典文學作品和古代故事，這樣能夠接觸到很多成語的使用。另外，還可以通過看成語詞典或者成語故事書來了解成語的意義和來源。還有，可以參加成語比賽或者遊戲，這樣可以加強記憶和理解。
擴展補充:
此外，還可以結合成語的詞義和背後的典故，通過構建形象化的聯想來記憶成語。例如，成語壹箭雙雕，我們可以想象壹個箭射中兩只雕，形象鮮明，容易記憶。同時，可以嘗試將成語運用到自己的寫作中，這樣可以提高對成語的理解和應用能力。
另外，還可以和朋友們壹起討論成語的意義和用法，這樣能夠互相學習和分享，增加樂趣。總之，學習成語需要多方面的努力和實踐，只有不斷地接觸和運用，才能夠真正掌握它們。